GAMES101 学习2——线代基础复习

参考资料

L2：线代复习（虎书2、5章）

一、向量（Vectors）

1.1 单位向量

$\hat a$ 单位向量，表示方向不表示长度

1.2 向量加法

1.3 向量的点乘

1.3.1 点乘概念

1.3.2 点乘的性质

点乘满足交换律、结合律、分配律

1.3.3 点积的矩阵计算方式

1.3.4 点积的应用

a.找夹角

求 $cosθ$

b.算投影

c.判断“前“与”后“

根据 $cosθ$结果的 正/负/零 判断夹角与方向

d.判断向量的接近程度

与c同理

1.4 向量的叉乘

1.4.1 叉乘概念

长度： $\Vert$ $\vec a$ x $\vec b$ $\Vert$= $\Vert$ $\vec a$ $\Vert$ $\Vert$ $\vec b$ $\Vert$ sin $\phi$
方向：右手定则：四指的方向由 $\vec a$指向 $\vec b$，大拇指的方向即为叉乘后所得向量的方向

1.4.2 叉乘性质

仅满足结合，分配律，不满足交换律

1.4.3 叉积的矩阵计算方式

1.4.4 叉积的应用

a.帮助建立右手坐标系

$\vec x$ x $\vec y$= $\vec z$

b.满足结合律和分配律，不满足交换律

c.判定左右/内外

• 判断左右的方法
  $\vec a$ x $\vec b$ 为正 $\implies$ $\vec b$在 $\vec a$左侧

• 判断内外的方法
  ● $\overrightarrow {AB}$ x $\overrightarrow AP$ 为正 $\implies$ P在AB左侧
  $\overrightarrow BC$ x $\overrightarrow BP$ 为正 $\implies$ P在BC左侧
  同理：P在CA左侧
  P都在点在三条边的左侧，所以P点在 $\Delta$ABC内
  ● 引申：如果点ABC的命名顺序不是逆时针，改为顺时针，此时P都在三条边右侧
  ● 总结：在忽略点命名顺序的情况下：P点都在左侧/右侧 $\implies$在内部

二、右手直角坐标系

①三个向量两两垂直，且都是单位向量
②可以利用投影分解任意向量

三、矩阵（Matrices）

3.1“能乘”的情况，乘的方法

（1）能乘

（2）如何乘

eg：
红圈的=第二行和第四列相乘
即= $\begin{pmatrix} 5 & 2 \end{pmatrix}$ · $\dbinom{4}{3}$=26

3.2.矩阵没有交换律，但是有结合律、分配律

3.3.矩阵和向量的乘法

①向量看成一个m × 1 的矩阵
②是变换的关键
③默认矩阵在左边

3.4.矩阵的转置

①概念： $A^T$ ，行列互换

②性质： $(AB)^T$= $B^TA^T$

3.5.矩阵的逆

①概念： $A·A^{-1}=I$
// $I$为单位矩阵
eg：

②性质：
$AA^{-1}=A^{-1}A=I$
$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$

3.6.向量和向量的点积、叉积都能写成矩阵和向量的乘的形式

①点积

②叉积