由于GAMES101与LearnOpenGL课程中，对透视投影变换、视口变换、法线变换等介绍相对简单，因此本文通过总结大量资料，手推了相关公式，可以说这是网上能看到的最详实、严谨的推导过程之一（谦虚）。

关于一个模型投影到屏幕上所要经历过程如下：

一、透视投影过程推导

1.1 正交投影矩阵推导

正交投影过程主要为先将中心点平移到原点，再缩放至 $cube[-1,1]^3$

正交投影本身使用相对较少，这里推导的目的为后续透视投影变换做准备。

1.1.1 纯右手坐标系的推导过程

说明：

1. 这里统一都是用右手坐标系，即z轴始终朝外。
2. 这里n、f都在z轴负半轴上的坐标值，都是负数。
3. 为了行文方便下面统一称这种为标准右手坐标系，GAMES101即是在这种情况下推导的。

其中，平移变换矩阵为：

$$T= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -\frac{r+l}{2} \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{t+b}{2} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{f+n}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \tag{平移变换矩阵}$$

缩放变换矩阵(注意这里边长为2)为：

$$S= \begin{bmatrix} \frac{2}{r-l} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{t - b} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{n - f} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \tag{缩放变换矩阵}$$

因此，正交投影矩阵 $M_{ortho} = S*T$:

$$M_{ortho} = \begin{bmatrix} \frac{2}{r-l} & 0 & 0 & -\frac{r+l}{r-l} \\ 0 & \frac{2}{t - b} & 0 & -\frac{t+b}{t-b} \\ 0 & 0 & \frac{2}{n - f} & -\frac{f+n}{n - f} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \tag{标准右手正交投影矩阵}$$

如果视椎体是上下、左右对称（r=-l, t=-b, r+l=0, t+b=0）的，则 $M_{ortho}$ 矩阵可以简化为：

$$M_{ortho} = \begin{bmatrix} \frac{1}{r} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{t} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{n - f} & -\frac{f+n}{n - f} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \tag{简化版右手正交投影矩阵}$$

1.1.2 OpenGL中的正交投影变换推导

在OpenGL中需要特别注意：

1. 观察空间坐标系为右手系，而NDC中+z轴向内，为左手系。 因此在做缩放时不再是将n映射到1，f映射到-1而是[f,n]映射到NDC中的[1,-1]
2. 在OpenGL中n、f分别定义为近平面和远平面的距离值，都是正数，因此这里代入矩阵前需要加负号以表示正确的坐标值。
3. 为了行文方便下面统一称这种情况为OpenGL坐标系。

此时平移变换矩阵变为：

$$T= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -\frac{r+l}{2} \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{t+b}{2} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{f+n}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \tag{OpenGL平移变换矩阵}$$

缩放变换矩阵为：

注意这里f、n有一个翻转，即由 $\frac{2}{(-n)-(-f)}$ 翻转为 $-\frac{2}{(-n)-(-f)}$，最终结果如下所示：

$$S= \begin{bmatrix} \frac{2}{r-l} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{t - b} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{n - f} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \tag{OpenGL缩放变换矩阵}$$

这里亦可以用更数学的形式理解为z轴做了一次翻转，相当于变换过程中左乘了一个翻转矩阵 $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

因此，OpenGL正交投影矩阵 $M_{ortho} = S*T$:

$$M_{ortho} = \begin{bmatrix} \frac{2}{r-l} & 0 & 0 & -\frac{r+l}{r-l} \\ 0 & \frac{2}{t - b} & 0 & -\frac{t+b}{t-b} \\ 0 & 0 & \frac{2}{n - f} & \frac{f+n}{n - f} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \tag{OpenGL正交投影矩阵}$$

同样可推出简化版OpenGL正交投影坐标系

$$M_{ortho} = \begin{bmatrix} \frac{1}{r} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{t} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{n - f} & \frac{f+n}{n - f} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \tag{简化OpenGL正交投影矩阵}$$

1.2 透视投影矩阵推导

对于透视投影，分成两步操作：

• 首先，“压扁”视锥体成一个长方体（n->n,f->f）（ $M_{persp−>ortho}$）；

  注意：这里是在右手坐标系下进行推导，不再考虑坐标变换问题，但根据n、f的正负情况仍然有两种推导情况。

  

• 然后，利用上面的正交投影矩阵得到最终结果。

这里主要以n、f为正数为主，用-n、-f代入坐标的情况进行推导，过程如下：

在把视锥体压缩成长方体的过程中，我们规定三个原则：

1. 近平面的所有点坐标不变

2. 远平面的所有点坐标z值不变 都是-f

3. 远平面的中心点坐标值不变 为(0,0,-f)

下图表示观察空间中的点 $(x_e, y_e, z_e)$ 是投影到近平面 $(x_p, y_p, z_p)$ 上的情况，

从视锥体的顶视图（Top View of Frustum）看，观察空间的 $x_e$映射到 $x_p$，利用相似三角形的比值计算可得：

$$\frac{x_p}{x_e} = \frac{-n}{z_e}, x_p = \frac{n \cdot x_e}{-z_e}$$

同理通过侧视图(Side View of Frustum)可以得到：

$$\frac{y_p}{y_e} = \frac{-n}{z_e} , y_p = \frac{n \cdot y_e}{-z_e}$$

故对于视椎体中任一点 $(x_e, y_e, z_e, 1)$,它在视椎体压缩成长方体之后的坐标应该是 $(\frac{n*x_e}{-z_e}, \frac{n*y_e}{-z_e}, unknown,1)$，即我们需要一个矩阵 $M_{persp->ortho}$使得下面公式成立：

$$\begin{bmatrix} \frac{n*x_e}{-z_e} \\ \frac{n*y_e}{-z_e}\\ unknown \\ 1 \end{bmatrix} = M_{persp->ortho} * \begin{bmatrix} x_{e} \\ y_{e} \\ z_{e} \\ 1 \end{bmatrix}$$

假设 $M_{persp->ortho}$矩阵的第一行为A,B,C,D。可以得到等式: $Ax_e+By_e+Cz_e+D = \frac{n*x_e}{-z_e}$ ，这个等式并不容易求解，如果让A = $\frac{n}{-z_e}$，其他等于0，的确可以得到结果，但是矩阵的值应该是常数，而 $\frac{n}{-z_e}$是个变量。

同理对于矩阵的第二行求 $y_e$时也会遇到如上问题。

因此，这里需要利用其次坐标的性质来进行求解。已知 $(x,y,z,1)与(kx,ky,kz,k!=0)$这两个点是完全等价的关系，所以这里将上面等式左边统一乘以 $-z_e$可改写为如下形式：

$$\begin{bmatrix} {nx_e} \\ {ny_e} \\ unknown \\ -z_e \end{bmatrix} = M_{persp->ortho} * \begin{bmatrix} x_{e} \\ y_{e} \\ z_{e} \\ 1 \end{bmatrix}$$

此时可以很容易推出：

$M_{persp->ortho}$矩阵的第一行：Ax+By+Cz+D = nx，求出 A=n,B=C=D=0

第二行：Ex+Fy+Gz+H = ny，求出F=n,E=G=H=0

第四行：Mx+Ny+Oz+P = z，求出O=-1,M=N=P=0

至此，仅第三行元素还是未知状态， 此时再回过头来思考上面所规定的三个原则:

• 第一个原则：近平面的所有点坐标不变

  也就是点 $(x_e,y_e,-n,1)$通过矩阵 $M_{persp->ortho}$变换后，应该还是等于 $(x_e,y_e,-n,1)$。代入等式可得：

$$\begin{bmatrix} {x_e} \\ {y_e} \\ -n \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ ? & ? & ? & ? \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} x_{e} \\ y_{e} \\ -n \\ 1 \end{bmatrix}$$

对于第一、二、四行，我们写出推导等式：

nx+0y+0n+0*1=x

0x+ny+0n+0*1=y

0x+0y+n+0*1=1

这里，n应该是任意常数，但是现在只有在n等于1时，一、二、四行的运算才成立，这并不是一个合理的解。

因此这里再次利用齐次坐标系的性质将等式左边再乘以n，得到：

$$\begin{bmatrix} n{x_e} \\ n{y_e} \\ -n^2 \\ n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ ? & ? & ? & ? \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} x_{e} \\ y_{e} \\ -n \\ 1 \end{bmatrix}$$

此时再对第一、二、四行，写出推导等式：

nx+0y+0n+0*1=nx,

0x+ny+0n+0*1=ny,

0x+0y+n+0*1=n

发现上面三个等式左右两边相等，且对n没有任何限制，此时设第三行的四个数分别为A、B、C、D可得：Ax+By-Cn+D = -n^2，

不难发现等式右边的x,y与结果没有任何关系，因此可求出：A=0, B=0, 且：

$$C*n-D = n^2 \tag{1}$$

• 第三个原则：远平面的中心点坐标值不变 为(0,0,-f)

同样为了保证之前求的矩阵一、二、四行成立，这里亦需要利用齐次坐标系的性质把(0,0,-f,1)写成(0,0,-f*f,f)，得到如下等式：

$$\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ -f^2 \\ f \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & C & D \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ -f \\ 1 \end{bmatrix}$$

$$C*f-D = f^2 \tag{2}$$

联合(1) (2)可以很容易求得

C = n + f

D = nf

至此，我们终于顺利推导出 $M_{persp->ortho}$矩阵：

$$M_{persp->ortho} = \begin{bmatrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & n+f & nf \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix} \tag{n,f为正值情况}$$

注意：若上面一开始设定n、f为负值则： $x_p = \frac{n \cdot x_e}{z_e}, y_p = \frac{n \cdot y_e}{z_e}$，后面的推导与上述过程完全一致，最终结果为：

$$M_{persp->ortho} = \begin{bmatrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & n+f & -nf \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \tag{n,f为负值情况}$$

此时即可得到透视投影变换矩阵的最终形式 $M_{persp}=M_{ortho} * M_{persp->ortho}$

$$M_{persp}= \begin{bmatrix} \frac{2}{r-l} & 0 & 0 & -\frac{r+l}{r-l} \\ 0 & \frac{2}{t-b} & 0 & -\frac{t+b}{t-b} \\ 0 & 0 & \frac{2}{n - f} & \frac{f+n}{n - f} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & n+f & nf \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{2n}{r-l} & 0 & \frac{r+l}{r-l} & 0 \\ 0 & \frac{2n}{t-b} & \frac{t+b}{t-b} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{f+n}{f-n} & -\frac{2fn}{f-n} \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix} \tag{OpenGL透视投影矩阵}$$

$$M_{persp}= \begin{bmatrix} \frac{n}{r} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{n}{t} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{f+n}{f-n} & -\frac{2fn}{f-n} \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix} \tag{简化OpenGL透视投影矩阵}$$

这里通过查阅GLM库中glm::perspective发现，源码与我们手推的结果完全一致。

// glm/gtc/matrix_transform.inl:222
// 存储方式是列优先
Result[0][0] = (static_cast<T>(2) * nearVal) / (right - left);
Result[1][1] = (static_cast<T>(2) * nearVal) / (top - bottom);
Result[2][0] = (right + left) / (right - left);
Result[2][1] = (top + bottom) / (top - bottom);
Result[2][2] = -(farVal + nearVal) / (farVal - nearVal);
Result[2][3] = static_cast<T>(-1);
Result[3][2] = -(static_cast<T>(2) * farVal * nearVal) / (farVal - nearVal);

1.3 透视除法与NDC空间

符号术语说明：

• $x_c, y_c, z_c, w_c$ 表示剪裁空间（clip space）坐标

• $x_e, y_e, z_e, w_e$ 表示观察空间（eye\view space)坐标

• $x_n, y_n, z_n$ 表示NDC空间坐标

裁剪坐标系与观察坐标系的关系：

$$\begin{bmatrix} x_{c} \\ y_{c} \\ z_{c} \\ w_c \end{bmatrix} = M_{persp} * \begin{bmatrix} x_{e} \\ y_{e} \\ z_{e} \\ w_{e} \end{bmatrix}$$

根据齐次坐标的定义我们知道 (x,y,z,w) 与 (x/w,y/w,z/w,1) 是等价的，即把裁剪空间下的(x,y,z,w)分别除以w，这一步我们称之为透视除法（Perspective Divide）。

$$\begin{bmatrix} x_{n} \\ y_{n} \\ z_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_{c} / w_{c} \\ y_{c} / w_{c} \\ z_{c} / w_{c} \end{bmatrix}$$

由前文推导可知，透视投影变换会把视椎体压缩成一个标准立方体，那么视椎体内的顶点 (x/w,y/w,z/w,1)，其取值范围即为：

$$\begin{cases} -1 < x/w < 1 => -w < x < w, \\ -1 < y/w < 1 => -w < y < w, \\ -1 < z/w < 1 => -w < z < w \end{cases}$$

因此在裁剪空间中任意顶点(x,y,z,w)如果不满足 (-w<x<w && -w<y<w && -w<z<w) 的条件即说明不在视椎体内，需要被裁剪。

裁剪后剩下的顶点，我们做一次透视除法，即可把它们从裁剪空间变换到NDC空间。

1.4 Zfighting问题

由透视投影矩阵以及1.3节中的坐标变换关系可知：

$$z_n = z_c/w_c \\ w_c = -z_e \\ z_c = {-\frac{f+n}{f-n}z_e - \frac{2fn}{f-n}} \\ \\ z_n = z_c/w_c = \frac {-\frac{f+n}{f-n}z_e - \frac{2fn}{f-n}} {-z_e} = \frac{f+n}{f-n} + \frac{2fn}{f-n}/{z_e}$$

从上面 $z_n$公式可画出下图坐标映射关系图，可以看到，在近平面附近值变化比较大，精确度较好；而在远平面附近，有一段距离内，近乎持平，精确度不好。

当增大远近裁剪平面的范围后，如下右图所示，我们可以看到在远平面附近， $z_e$坐标值投影到 $z_n$坐标后值几乎相同，精确度低的现象更为明显，这种深度的精确度引起的问题称之为zFighting。

因此要尽量减小[-n,-f]的范围，以减轻zFighting问题。

1.5 使用FOV推导透视投影

另外一种经常使用 的方式是通过视角(Fov)，宽高比(Aspect)来指定透视投影。

其中指定fovy指定视角，aspect指定宽高比，zNear和zFar指定剪裁平面。fovy的理解如下图所示：

这些参数指定的是一个对称的视见体，如下图所示：

由这些参数，代入上面推导出的OpenGL透视投影矩阵 (简化版)可以得到：

$$t = n * tan(fov/2) \\ \frac{r}{t} = \frac{w}{h} = aspect => r = aspect*t = aspect * n * tan(fov/2) \\$$

代入上述透视变换矩阵可得Fov透视投影矩阵为：

$$P= \begin{bmatrix} \frac{cot(\frac{\theta}{2})}{aspect} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & cot(\frac{\theta}{2}) & 0 & 0 \\ 0& 0 & \frac{-(f+n)}{f-n} & \frac{-2fn}{f-n} \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix} \tag{Fov透视投影矩阵}$$

二、视口变换过程推导

视口变换是将NDC坐标转换为显示屏幕坐标的过程，如下图所示：

$$\begin{cases} -1 \leq x \leq 1 \\ -1 \leq y \leq 1 \\ 0 \leq z \leq 1 \end{cases}$$

说明：

• $x_n，y_n, z_n$ 表示NDC空间坐标值
• $x_s, y_s, z_s$ 表示屏幕空间坐标值
• $n_s, f_s$ 表示屏幕空间近平面、远平面的位置
• $S_x, S_y$ 表示屏幕的起始像素点
• $W_s, H_s$ 表示屏幕的像素宽、高

$$\frac{x_n - (-1)}{2} = \frac{x_s - S_x}{W_s} => x_s = \frac{W_s}{2}x_n + \frac{W_s}{2} + S_x \\ \frac{y_n - (-1)}{2} = \frac{y_s - S_y}{H_s} => y_s = \frac{H_s}{2}y_n + \frac{H_s}{2} + S_y \\ \frac{z_n - (-1)}{2} = \frac{z_s - n_s}{f_s - n_s} => z_s = \frac{f_s - n_s}{2} + \frac{n_s + f_s}{2}$$

则由上述式子得到视口变换矩阵为：

$$viewPort=\begin{bmatrix} \frac{W_{s}}{2} & 0 & 0 & S_{x}+\frac{W_{s}}{2} \\ 0 & \frac{H_{s}}{2} & 0 & S_{y}+\frac{H_{s}}{2} \\ 0 & 0 & \frac{f_{s}-n_{s}}{2} & \frac{n_{s} + f_{s}}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \tag{视口变换矩阵}$$

在OpenGL中，一般情况下 $S_x=0, S_y=0, n_s=0, f_s=1$，因此viewPort可简化为：

$$viewPort=\begin{bmatrix} \frac{W_{s}}{2} & 0 & 0 & \frac{W_{s}}{2} \\ 0 & \frac{H_{s}}{2} & 0 & \frac{H_{s}}{2} \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \tag{简化视口变换矩阵}$$

三、线性与非线性深度之间的变换关系

3.1 从NDC空间深度值反推观察空间下的线性深度

已知在1.4节中已经推导出 $z_n 与z_e$之间的变换关系：

$$z_n = z_c/w_c = \frac {-\frac{f+n}{f-n}z_e - \frac{2fn}{f-n}} {-z_e} = \frac{f+n}{f-n} + \frac{2fn}{（f-n）z_e}$$

因此很容易可反推出：

$$z_e = \frac{-2fn}{f+n - z_n(f-n)}$$

这里 $z_e$表示观察空间(右手坐标系)下的坐标值，是负数；

而深度这个概念是针对屏幕空间（左手坐标系）来定义的，这里对 $z_e$取反，可从NDC空间反推出观察空间下的线性深度:

$$linearDepth = -z_e = \frac{2nf}{z_n(f-n) - (f+n)}$$

3.2 从观察空间的线性深度值推导屏幕空间下的非线性深度值

根据5.2 中推出的视口变换矩阵可以很容易得到：

$$z_s = 0.5z_n + 0.5 \\ z_n = z_c/w_c \\$$

代入可得：

\begin{equation*} \begin{aligned} z_s &= \frac{1}{2}(z_n + 1) \\ &= \frac{1}{2}(\frac{f+n}{f-n} + \frac{2fn}{z_e(f-n)} + 1)\\ &= \frac{f - \frac{nf}{z_e}}{f - n} \\ &= \frac{\frac{1}{-z_e} - \frac{1}{n}}{\frac{1}{f} - \frac{1}{n}} \end{aligned} \end{equation*}

同上文，这里 $z_e$表示观察空间(右手坐标系)下的坐标值

但在深度测试文中，定义的 z是代表了近、远平面之间的距离值，它们都是正数，因此这里也要对 $z_e$取反。

最终可以从观察空间推导出屏幕空间的非线性深度值为：

$$F_{depth} = z_s = \frac{\frac{1}{z} - \frac{1}{n}}{\frac{1}{f} - \frac{1}{n}}$$

3.3 通过深度信息还原位置和法线信息

参考资料：

https://zhuanlan.zhihu.com/p/367257314

https://mynameismjp.wordpress.com/2010/09/05/position-from-depth-3

以上两篇资料推理过程比较详尽，这里不再赘述。

四、法线变换说明

参考资料：https://blog.csdn.net/u012419410/article/details/42174839

由上面两图可知，当模型存在缩放变换时，法线向量将会被破坏，因此不能简单使用 $M_{view}*M_{model}$矩阵来变换法线向量。

法线变换矩阵推导过程如下：

假设Model space中的某条切线向量是T，法线向量是N。

那么由他们是垂直的可得到： $T^TN=0$

假设他们变换到Eye space中后分别是 $T'$和 $N'$。那么他们应该仍然是相互垂直的： $T’^TN’=0$

假设切线向量T和法线向量N的变换矩阵为M、G。则有： $(MT)^T(GN)=0$

进一步推出： $T^TM^TGN=0$

由于 $T^TN=0$，因此我们猜想 $M^TG=I$

最终求得： $G=(M^{-1})^T$

即：应用于法线向量的变换矩阵是顶点变换矩阵的逆转置矩阵。