前面一篇文章通过OpenCV快速实现人脸检测，涉及图像、视频、摄像头。这篇将详细介绍两个重要的算法——傅里叶变换和霍夫变换，万字长文整理，希望对您有所帮助。 同时，该部分知识均为作者查阅资料撰写，未经授权禁止转载，谢谢！！如果有问题随时私聊我，只望您能从这个系列中学到知识，一起加油喔~

PS：写这篇文章另一个重要的原因是Github资源有作者提交了新的贡献，发现提交的是霍夫变换，因此作者也总结这篇文章。CSDN博客专栏9比1分成，真的挺不错的，也希望大家能分享更好的文章。

• https://github.com/eastmountyxz/ImageProcessing-Python

在数字图像处理中，有两个经典的变换被广泛应用——傅里叶变换和霍夫变换。其中，傅里叶变换主要是将时间域上的信号转变为频率域上的信号，用来进行图像除噪、图像增强等处理；霍夫变换主要用来辨别找出物件中的特征，用来进行特征检测、图像分析、数位影像处理等处理。

一.图像傅里叶变换概述

傅里叶变换（Fourier Transform，简称FT）常用于数字信号处理，它的目的是将时间域上的信号转变为频率域上的信号。随着域的不同，对同一个事物的了解角度也随之改变，因此在时域中某些不好处理的地方，在频域就可以较为简单的处理。同时，可以从频域里发现一些原先不易察觉的特征。傅里叶定理指出“任何连续周期信号都可以表示成（或者无限逼近）一系列正弦信号的叠加。”

傅里叶公式（1）如下，其中w表示频率，t表示时间，为复变函数。它将时间域的函数表示为频率域的函数f(t)的积分。

傅里叶变换认为一个周期函数（信号）包含多个频率分量，任意函数（信号）f(t)可通过多个周期函数（或基函数）相加合成。从物理角度理解，傅里叶变换是以一组特殊的函数（三角函数）为正交基，对原函数进行线性变换，物理意义便是原函数在各组基函数的投影。如上图所示，它是由三条正弦曲线组合成。其函数为（2）所示。

傅里叶变换可以应用于图像处理中，经过对图像进行变换得到其频谱图。从谱频图里频率高低来表征图像中灰度变化剧烈程度。图像中的边缘信号和噪声信号往往是高频信号，而图像变化频繁的图像轮廓及背景等信号往往是低频信号。这时可以有针对性的对图像进行相关操作，例如图像除噪、图像增强和锐化等。二维图像的傅里叶变换可以用以下数学公式（3）表达，其中f是空间域（Spatial Domain）)值，F是频域（Frequency Domain）值。

二.图像傅里叶变换操作

对上面的傅里叶变换有了大致的了解之后，下面通过Numpy和OpenCV分别讲解图像傅里叶变换的算法及操作代码。

1.Numpy实现傅里叶变换

Numpy中的 FFT包提供了函数 np.fft.fft2()可以对信号进行快速傅里叶变换，其函数原型如下所示，该输出结果是一个复数数组（Complex Ndarry）。

• fft2(a, s=None, axes=(-2, -1), norm=None)
  – a表示输入图像，阵列状的复杂数组
  – s表示整数序列，可以决定输出数组的大小。输出可选形状（每个转换轴的长度），其中s[0]表示轴0，s[1]表示轴1。对应fit(x,n)函数中的n，沿着每个轴，如果给定的形状小于输入形状，则将剪切输入。如果大于则输入将用零填充。如果未给定’s’，则使用沿’axles’指定的轴的输入形状
  – axes表示整数序列，用于计算FFT的可选轴。如果未给出，则使用最后两个轴。“axes”中的重复索引表示对该轴执行多次转换，一个元素序列意味着执行一维FFT
  – norm包括None和ortho两个选项，规范化模式（请参见numpy.fft）。默认值为无

Numpy中的fft模块有很多函数，相关函数如下：

• numpy.fft.fft(a, n=None, axis=-1, norm=None)
  计算一维傅里叶变换
• numpy.fft.fft2(a, n=None, axis=-1, norm=None)
  计算二维的傅里叶变换
• numpy.fft.fftn()
  计算n维的傅里叶变换
• numpy.fft.rfftn()
  计算n维实数的傅里叶变换
• numpy.fft.fftfreq()
  返回傅里叶变换的采样频率
• numpy.fft.shift()
  将FFT输出中的直流分量移动到频谱中央

下面的代码是通过Numpy库实现傅里叶变换，调用np.fft.fft2()快速傅里叶变换得到频率分布，接着调用np.fft.fftshift()函数将中心位置转移至中间，最终通过Matplotlib显示效果图。

# -*- coding: utf-8 -*-
import cv2 as cv
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
import matplotlib

#读取图像
img = cv.imread('test.png', 0)

#快速傅里叶变换算法得到频率分布
f = np.fft.fft2(img)

#默认结果中心点位置是在左上角,
#调用fftshift()函数转移到中间位置
fshift = np.fft.fftshift(f)       

#fft结果是复数, 其绝对值结果是振幅
fimg = np.log(np.abs(fshift))

#设置字体
matplotlib.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']

#展示结果
plt.subplot(121), plt.imshow(img, 'gray'), plt.title('(a)原始图像')
plt.axis('off')
plt.subplot(122), plt.imshow(fimg, 'gray'), plt.title('(b)傅里叶变换处理')
plt.axis('off')
plt.show()

输出结果如图2所示，图2(a)为原始图像，图2(b)为频率分布图谱，其中越靠近中心位置频率越低，越亮（灰度值越高）的位置代表该频率的信号振幅越大。

需要注意，傅里叶变换得到低频、高频信息，针对低频和高频处理能够实现不同的目的。同时，傅里叶过程是可逆的，图像经过傅里叶变换、逆傅里叶变换能够恢复原始图像。

下列代码呈现了原始图像在变化方面的一种表示：图像最明亮的像素放到中央，然后逐渐变暗，在边缘上的像素最暗。这样可以发现图像中亮、暗像素的百分比，即为频域中的振幅AA的强度。

# -*- coding: utf-8 -*-
import cv2 as cv
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt

#读取图像
img = cv.imread('Na.png', 0)

#傅里叶变换
f = np.fft.fft2(img)

#转移像素做幅度普
fshift = np.fft.fftshift(f)       

#取绝对值：将复数变化成实数取对数的目的为了将数据变化到0-255
res = np.log(np.abs(fshift))

#展示结果
plt.subplot(121), plt.imshow(img, 'gray'), plt.title('Original Image')
plt.subplot(122), plt.imshow(res, 'gray'), plt.title('Fourier Image')
plt.show()

输出结果如图3所示，图3(a)为原始图像，图3(b)为频率分布图谱。

2.Numpy实现傅里叶逆变换

下面介绍Numpy实现傅里叶逆变换，它是傅里叶变换的逆操作，将频谱图像转换为原始图像的过程。通过傅里叶变换将转换为频谱图，并对高频（边界）和低频（细节）部分进行处理，接着需要通过傅里叶逆变换恢复为原始效果图。频域上对图像的处理会反映在逆变换图像上，从而更好地进行图像处理。

图像傅里叶变化主要使用的函数如下所示：

• numpy.fft.ifft2(a, n=None, axis=-1, norm=None)
  实现图像逆傅里叶变换，返回一个复数数组
• numpy.fft.fftshift()
  fftshit()函数的逆函数，它将频谱图像的中心低频部分移动至左上角
• iimg = numpy.abs(逆傅里叶变换结果)
  将复数转换为0至255范围

下面的代码分别实现了傅里叶变换和傅里叶逆变换。

# -*- coding: utf-8 -*-
import cv2 as cv
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
import matplotlib

#读取图像
img = cv.imread('Lena.png', 0)

#傅里叶变换
f = np.fft.fft2(img)
fshift = np.fft.fftshift(f)
res = np.log(np.abs(fshift))

#傅里叶逆变换
ishift = np.fft.ifftshift(fshift)
iimg = np.fft.ifft2(ishift)
iimg = np.abs(iimg)

#设置字体
matplotlib.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']

#展示结果
plt.subplot(131), plt.imshow(img, 'gray'), plt.title(u'(a)原始图像')
plt.axis('off')
plt.subplot(132), plt.imshow(res, 'gray'), plt.title(u'(b)傅里叶变换处理')
plt.axis('off')
plt.subplot(133), plt.imshow(iimg, 'gray'), plt.title(u'(c)傅里叶逆变换处理')
plt.axis('off')
plt.show()

输出结果如图4所示，从左至右分别为原始图像、频谱图像、逆傅里叶变换转换图像。

3.OpenCV实现傅里叶变换

OpenCV 中相应的函数是cv2.dft()和用Numpy输出的结果一样，但是是双通道的。第一个通道是结果的实数部分，第二个通道是结果的虚数部分，并且输入图像要首先转换成 np.float32 格式。其函数原型如下所示：

• dst = cv2.dft(src, dst=None, flags=None, nonzeroRows=None)
  – src表示输入图像，需要通过np.float32转换格式
  – dst表示输出图像，包括输出大小和尺寸
  – flags表示转换标记，其中DFT _INVERSE执行反向一维或二维转换，而不是默认的正向转换；DFT _SCALE表示缩放结果，由阵列元素的数量除以它；DFT _ROWS执行正向或反向变换输入矩阵的每个单独的行，该标志可以同时转换多个矢量，并可用于减少开销以执行3D和更高维度的转换等；DFT _COMPLEX_OUTPUT执行1D或2D实数组的正向转换，这是最快的选择，默认功能；DFT _REAL_OUTPUT执行一维或二维复数阵列的逆变换，结果通常是相同大小的复数数组，但如果输入数组具有共轭复数对称性，则输出为真实数组
  – nonzeroRows表示当参数不为零时，函数假定只有nonzeroRows输入数组的第一行（未设置）或者只有输出数组的第一个（设置）包含非零，因此函数可以处理其余的行更有效率，并节省一些时间；这种技术对计算阵列互相关或使用DFT卷积非常有用

注意，由于输出的频谱结果是一个复数，需要调用cv2.magnitude()函数将傅里叶变换的双通道结果转换为0到255的范围。其函数原型如下：

• cv2.magnitude(x, y)
  – x表示浮点型X坐标值，即实部
  – y表示浮点型Y坐标值，即虚部

该函数最终输出结果为幅值，即：

下面的代码是调用cv2.dft()进行傅里叶变换的一个简单示例。

# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np
import cv2
from matplotlib import pyplot as plt
import matplotlib

#读取图像
img = cv2.imread('Lena.png', 0)

#傅里叶变换
dft = cv2.dft(np.float32(img), flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)

#将频谱低频从左上角移动至中心位置
dft_shift = np.fft.fftshift(dft)

#频谱图像双通道复数转换为0-255区间
result = 20*np.log(cv2.magnitude(dft_shift[:,:,0], dft_shift[:,:,1]))

#设置字体
matplotlib.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']

#显示图像
plt.subplot(121), plt.imshow(img, cmap = 'gray')
plt.title(u'(a)原始图像'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(122), plt.imshow(result, cmap = 'gray')
plt.title(u'(b)傅里叶变换处理'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.show()

输出结果如图5所示，图5(a)为原始“Lena”图，图5(b)为转换后的频谱图像，并且保证低频位于中心位置。

4.OpenCV实现傅里叶逆变换

在OpenCV 中，通过函数cv2.idft()实现傅里叶逆变换，其返回结果取决于原始图像的类型和大小，原始图像可以为实数或复数。其函数原型如下所示：

• dst = cv2.idft(src[, dst[, flags[, nonzeroRows]]])
  – src表示输入图像，包括实数或复数
  – dst表示输出图像
  – flags表示转换标记
  – nonzeroRows表示要处理的dst行数，其余行的内容未定义（请参阅dft描述中的卷积示例）

注意，由于输出的频谱结果是一个复数，需要调用cv2.magnitude()函数将傅里叶变换的双通道结果转换为0到255的范围。其函数原型如下：

• cv2.magnitude(x, y)
  – x表示浮点型X坐标值，即实部
  – y表示浮点型Y坐标值，即虚部

该函数最终输出结果为幅值，即：

下面的代码是调用cv2.idft()进行傅里叶逆变换的一个简单示例。

# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np
import cv2
from matplotlib import pyplot as plt
import matplotlib

#读取图像
img = cv2.imread('Lena.png', 0)

#傅里叶变换
dft = cv2.dft(np.float32(img), flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
dftshift = np.fft.fftshift(dft)
res1= 20*np.log(cv2.magnitude(dftshift[:,:,0], dftshift[:,:,1]))

#傅里叶逆变换
ishift = np.fft.ifftshift(dftshift)
iimg = cv2.idft(ishift)
res2 = cv2.magnitude(iimg[:,:,0], iimg[:,:,1])

#设置字体
matplotlib.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']

#显示图像
plt.subplot(131), plt.imshow(img, 'gray'), plt.title(u'(a)原始图像')
plt.axis('off')
plt.subplot(132), plt.imshow(res1, 'gray'), plt.title(u'(b)傅里叶变换处理')
plt.axis('off')
plt.subplot(133), plt.imshow(res2, 'gray'), plt.title(u'(b)傅里叶变换逆处理')
plt.axis('off')
plt.show()

输出结果如图6所示，图6(a)为原始“Lena”图，图6(b)为傅里叶变换后的频谱图像，图6©为傅里叶逆变换，频谱图像转换为原始图像的过程。

三.基于傅里叶变换的高通滤波和低通滤波

傅里叶变换的目的并不是为了观察图像的频率分布（至少不是最终目的），更多情况下是为了对频率进行过滤，通过修改频率以达到图像增强、图像去噪、边缘检测、特征提取、压缩加密等目的。

过滤的方法一般有三种：低通（Low-pass）、高通（High-pass）、带通（Band-pass）。所谓低通就是保留图像中的低频成分，过滤高频成分，可以把过滤器想象成一张渔网，想要低通过滤器，就是将高频区域的信号全部拉黑，而低频区域全部保留。例如，在一幅大草原的图像中，低频对应着广袤且颜色趋于一致的草原，表示图像变换缓慢的灰度分量；高频对应着草原图像中的老虎等边缘信息，表示图像变换较快的灰度分量，由于灰度尖锐过度造成。

1.高通滤波器

高通滤波器是指通过高频的滤波器，衰减低频而通过高频，常用于增强尖锐的细节，但会导致图像的对比度会降低。该滤波器将检测图像的某个区域，根据像素与周围像素的差值来提升像素的亮度。图7展示了“Lena”图对应的频谱图像，其中心区域为低频部分。

接着通过高通滤波器覆盖掉中心低频部分，将255两点变换为0，同时保留高频部分，高通滤波器处理过程如图8所示。

其中心黑色模板生成的核心代码如下：

• rows, cols = img.shape
• crow,ccol = int(rows/2), int(cols/2)
• fshift[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 0

通过高通滤波器将提取图像的边缘轮廓，生成如图9所示图像。

完整代码如下所示：

# -*- coding: utf-8 -*-
import cv2 as cv
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
import matplotlib

#读取图像
img = cv.imread('Lena.png', 0)

#傅里叶变换
f = np.fft.fft2(img)
fshift = np.fft.fftshift(f)

#设置高通滤波器
rows, cols = img.shape
crow,ccol = int(rows/2), int(cols/2)
fshift[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 0

#傅里叶逆变换
ishift = np.fft.ifftshift(fshift)
iimg = np.fft.ifft2(ishift)
iimg = np.abs(iimg)

#设置字体
matplotlib.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']

#显示原始图像和高通滤波处理图像
plt.subplot(121), plt.imshow(img, 'gray'), plt.title(u'(a)原始图像')
plt.axis('off')
plt.subplot(122), plt.imshow(iimg, 'gray'), plt.title(u'(b)结果图像')
plt.axis('off')
plt.show()

输出结果如图10所示，图10(a)为原始“Na”图，图10(b)为高通滤波器提取的边缘轮廓图像。它通过傅里叶变换转换为频谱图像，再将中心的低频部分设置为0，再通过傅里叶逆变换转换为最终输出图像。

2.低通滤波器

低通滤波器是指通过低频的滤波器，衰减高频而通过低频，常用于模糊图像。低通滤波器与高通滤波器相反，当一个像素与周围像素的插值小于一个特定值时，平滑该像素的亮度，常用于去燥和模糊化处理。如PS软件中的高斯模糊，就是常见的模糊滤波器之一，属于削弱高频信号的低通滤波器。

下图展示了“Lena”图对应的频谱图像，其中心区域为低频部分。如果构造低通滤波器，则将频谱图像中心低频部分保留，其他部分替换为黑色0，最终得到的效果图为模糊图像。

那么，如何构造该滤波图像呢？如图12所示，滤波图像是通过低通滤波器和频谱图像形成。其中低通滤波器中心区域为白色255，其他区域为黑色0。

低通滤波器主要通过矩阵设置构造，其核心代码如下：

• rows, cols = img.shape
• crow,ccol = int(rows/2), int(cols/2)
• mask = np.zeros((rows, cols, 2), np.uint8)
• mask[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 1

通过低通滤波器将模糊图像的完整代码如下所示：

# -*- coding: utf-8 -*-
import cv2
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt

#读取图像
img = cv2.imread('Na.png', 0)

#傅里叶变换
dft = cv2.dft(np.float32(img), flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
fshift = np.fft.fftshift(dft)

#设置低通滤波器
rows, cols = img.shape
crow,ccol = int(rows/2), int(cols/2) #中心位置
mask = np.zeros((rows, cols, 2), np.uint8)
mask[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 1

#掩膜图像和频谱图像乘积
f = fshift * mask
print(f.shape, fshift.shape, mask.shape)


#傅里叶逆变换
ishift = np.fft.ifftshift(f)
iimg = cv2.idft(ishift)
res = cv2.magnitude(iimg[:,:,0], iimg[:,:,1])

#显示原始图像和低通滤波处理图像
plt.subplot(121), plt.imshow(img, 'gray'), plt.title('Original Image')
plt.axis('off')
plt.subplot(122), plt.imshow(res, 'gray'), plt.title('Result Image')
plt.axis('off')
plt.show()

输出结果如图13所示，图13(a)为原始“Nana”图，图13(b)为低通滤波器模糊处理后的图像。

四.图像霍夫变换概述

霍夫变换（Hough Transform）是一种特征检测（Feature Extraction），被广泛应用在图像分析、计算机视觉以及数位影像处理。霍夫变换是在1959年由气泡室（Bubble Chamber）照片的机器分析而发明，发明者Paul Hough在1962年获得美国专利。现在广泛使用的霍夫变换是由Richard Duda和Peter Hart在1972年发明，并称之为广义霍夫变换。经典的霍夫变换是检测图片中的直线，之后，霍夫变换不仅能识别直线，也能够识别任何形状，常见的有圆形、椭圆形。1981年，因为Dana H.Ballard的一篇期刊论文“Generalizing the Hough transform to detect arbitrary shapes”，让霍夫变换开始流行于计算机视觉界。

霍夫变换是一种特征提取技术，用来辨别找出物件中的特征，其目的是通过投票程序在特定类型的形状内找到对象的不完美实例。这个投票程序是在一个参数空间中进行的，在这个参数空间中，候选对象被当作所谓的累加器空间中的局部最大值来获得，累加器空间是由计算霍夫变换的算法明确地构建。霍夫变换主要优点是能容忍特征边界描述中的间隙，并且相对不受图像噪声的影响。

最基本的霍夫变换是从黑白图像中检测直线，它的算法流程大致如下：给定一个物件和要辨别的形状的种类，算法会在参数空间中执行投票来决定物体的形状，而这是由累加空间里的局部最大值来决定。假设存在直线公式如（4）所示，其中m表示斜率，b表示截距。

如果用参数空间表示，则直线为（b, m），但它存在一个问题，垂直线的斜率不存在（或无限大），使得斜率参数m值接近于无限。为此，为了更好的计算，Richard O. Duda和Peter E. Hart在1971年4月，提出了Hesse normal form（Hesse法线式），如公式（5）所示，它转换为直线的离散极坐标公式。

其中r是原点到直线上最近点的距离，θ是x轴与连接原点和最近点直线之间的夹角，如图15-14所示。

对于点(x0, y0)，可以将通过这个点的一族直线统一定义为公式（6）。因此，可以将图像的每一条直线与一对参数(r,θ)相关联，相当于每一对(r0,θ)代表一条通过点的直线(x0, y0)，其中这个参数(r,θ)平面被称为霍夫空间。

然而在实现的图像处理领域，图像的像素坐标P(x, y)是已知的，而(r,θ)是需要寻找的变量。如果能根据像素点坐标P(x, y)值绘制每个(r,θ)值，那么就从图像笛卡尔坐标系统转换到极坐标霍夫空间系统，这种从点到曲线的变换称为直线的霍夫变换。变换通过量化霍夫参数空间为有限个值间隔等分或者累加格子。当霍夫变换算法开始，每个像素坐标点P(x, y)被转换到(r,θ)的曲线点上面，累加到对应的格子数据点，当一个波峰出现时候，说明有直线存在。

如图15所示，三条正弦曲线在平面相交于一点，该点坐标(r0,θ)表示三个点组成的平面内的直线。这就是使用霍夫变换检测直线的过程，它追踪图像中每个点对应曲线间的交点，如果交于一点的曲线的数量超过了阈值，则认为该交点所代表的参数对(r0,θ)在原图像中为一条直线。

同样的原理，可以用来检测圆，对于圆的参数方程变为如下等式：

其中(a, b)为圆的中心点坐标，r圆的半径。这样霍夫参数空间就变成一个三维参数空间。给定圆半径转为二维霍夫参数空间，变换相对简单，也比较常用。

五.图像霍夫线变换操作

在OpenCV中，霍夫变换分为霍夫线变换和霍夫圆变换，其中霍夫线变换支持三种不同方法——标准霍夫变换、多尺度霍夫变换和累计概率霍夫变换。

• 标准霍夫变换主要有HoughLines()函数实现。
• 多尺度霍夫变换是标准霍夫变换在多尺度下的变换，可以通过HoughLines()函数实现。
• 累计概率霍夫变换是标准霍夫变换的改进，它能在一定范围内进行霍夫变换，计算单独线段的方向及范围，从而减少计算量，缩短计算时间，可以通过HoughLinesP()函数实现。

在OpenCV 中，通过函数HoughLines()检测直线，并且能够调用标准霍夫变换（SHT）和多尺度霍夫变换（MSHT），其函数原型如下所示：

• lines = HoughLines(image, rho, theta, threshold[, lines[, srn[, stn[, min_theta[, max_theta]]]]])
  – image表示输入的二值图像
  – lines表示经过霍夫变换检测到直线的输出矢量，每条直线为(r,θ)
  – rho表示以像素为单位的累加器的距离精度
  – theta表示以弧度为单位的累加器角度精度
  – threshold表示累加平面的阈值参数，识别某部分为图中的一条直线时它在累加平面中必须达到的值，大于该值线段才能被检测返回
  – srn表示多尺度霍夫变换中rho的除数距离，默认值为0。粗略的累加器进步尺寸为rho，而精确的累加器进步尺寸为rho/srn
  – stn表示多尺度霍夫变换中距离精度theta的除数，默认值为0,。如果srn和stn同时为0，使用标准霍夫变换
  – min_theta表示标准和多尺度的霍夫变换中检查线条的最小角度。必须介于0和max_theta之间
  – max_theta表示标准和多尺度的霍夫变换中要检查线条的最大角度。必须介于min_theta和π之间

下面的代码是调用HoughLines()函数检测图像中的直线，并将所有的直线绘制于原图像中。

# -*- coding: utf-8 -*-
import cv2
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt

#读取图像
gray = cv2.imread('judge.png', 0)

#灰度变换
#gray = cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGR2GRAY)

#转换为二值图像
edges = cv2.Canny(gray, 50, 150)

#显示原始图像
plt.subplot(121), plt.imshow(edges, 'gray'), plt.title('Input Image')
plt.axis('off')

#霍夫变换检测直线
lines = cv2.HoughLines(edges, 1, np.pi / 180, 160)

#转换为二维
line = lines[:, 0, :] 

#将检测的线在极坐标中绘制 
for rho,theta in line[:]: 
    a = np.cos(theta)
    b = np.sin(theta)
    x0 = a * rho
    y0 = b * rho
    print x0, y0
    x1 = int(x0 + 1000 * (-b))
    y1 = int(y0 + 1000 * (a))
    x2 = int(x0 - 1000 * (-b))
    y2 = int(y0 - 1000 * (a))
    print x1, y1, x2, y2
    #绘制直线
    cv2.line(gray, (x1, y1), (x2, y2), (255, 0, 0), 2)

#显示处理图像
plt.subplot(122), plt.imshow(gray, 'gray'), plt.title('Result Image')
plt.axis('off')
plt.show()

输出结果如图16所示，第一幅图为原始图像，第二幅检测出的直线。

使用该方法检测大楼图像中的直线如图17所示，可以发现直线会存在越界的情况。

前面的标准霍夫变换会计算图像中的每一个点，计算量比较大，另外它得到的是整条线(r,θ)，并不知道原图中直线的端点。接下来使用累计概率霍夫变换，它是一种改进的霍夫变换，调用HoughLinesP()函数实现。

• lines = HoughLinesP(image, rho, theta, threshold[, lines[, minLineLength[, maxLineGap]]])
  – image表示输入的二值图像
  – lines表示经过霍夫变换检测到直线的输出矢量，每条直线具有4个元素的矢量，即（x1, y1）和（x2, y2）是每个检测线段的端点
  – rho表示以像素为单位的累加器的距离精度
  – theta表示以弧度为单位的累加器角度精度
  – threshold表示累加平面的阈值参数，识别某部分为图中的一条直线时它在累加平面中必须达到的值，大于该值线段才能被检测返回
  – minLineLength表示最低线段的长度，比这个设定参数短的线段不能被显示出来，默认值为0
  – maxLineGap表示允许将同一行点与点之间连接起来的最大距离，默认值0

下面的代码是调用HoughLinesP()函数检测图像中的直线，并将所有的直线绘制于原图像中。

# -*- coding: utf-8 -*-
import cv2
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
import matplotlib

#读取图像
img = cv2.imread('judge.png')

#灰度转换
gray = cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGR2GRAY)

#转换为二值图像
edges = cv2.Canny(gray, 50, 200)

#显示原始图像
plt.subplot(121), plt.imshow(edges, 'gray'), plt.title(u'(a)原始图像')
plt.axis('off')

#霍夫变换检测直线
minLineLength = 60
maxLineGap = 10
lines = cv2.HoughLinesP(edges, 1, np.pi/180, 30, minLineLength, maxLineGap)

#绘制直线
lines1 = lines[:, 0, :]
for x1,y1,x2,y2 in lines1[:]:
    cv2.line(img, (x1,y1), (x2,y2), (255,0,0), 2)

res = cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGR2RGB)

#设置字体
matplotlib.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']

#显示处理图像
plt.subplot(122), plt.imshow(res), plt.title(u'(b)结果图像')
plt.axis('off')
plt.show()

输出结果如图18所示，图18(a)为原始图像，图18(b)检测出的直线，它有效地提取了线段的起点和终点。

六.图像霍夫圆变换操作

霍夫圆变换的原理与霍夫线变换很类似，只是将线的(r,θ)二维坐标提升为三维坐标，包括圆心点(x_center,y_center,r)和半径r，其数学形式如公式（7）。

从而一个圆的确定需要三个参数，通过三层循环实现，接着寻找参数空间累加器的最大（或者大于某一阈值）的值。随着数据量的增大，导致圆的检测将比直线更耗时，所以一般使用霍夫梯度法减少计算量。在OpenCV中，提供了cv2.HoughCircles()函数检测圆，其原型如下所示：

• circles = HoughCircles(image, method, dp, minDist[, circles[, param1[, param2[, minRadius[, maxRadius]]]]])
  – image表示输入图像，8位灰度单通道图像
  – circles表示经过霍夫变换检测到圆的输出矢量，每个矢量包括3个元素，即（x, y, radius）
  – method表示检测方法，包括HOUGH_GRADIENT值
  – dp表示用来检测圆心的累加器图像的分辨率于输入图像之比的倒数，允许创建一个比输入图像分辨率低的累加器
  – minDist表示霍夫变换检测到的圆的圆心之间的最小距离
  – param1表示参数method设置检测方法的对应参数，对当前唯一的方法霍夫梯度法CV_HOUGH_GRADIENT，它表示传递给Canny边缘检测算子的高阈值，而低阈值为高阈值的一半，默认值100
  – param2表示参数method设置检测方法的对应参数，对当前唯一的方法霍夫梯度法CV_HOUGH_GRADIENT，它表示在检测阶段圆心的累加器阈值，它越小，将检测到更多根本不存在的圆；它越大，能通过检测的圆就更接近完美的圆形
  – minRadius表示圆半径的最小值，默认值为0
  – maxRadius表示圆半径的最大值，默认值0

下列代码是检测图像中的圆。

# -*- coding: utf-8 -*-
import cv2
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt

#读取图像
img = cv2.imread('test01.png')

#灰度转换
gray = cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGR2GRAY)

#显示原始图像
plt.subplot(121), plt.imshow(gray, 'gray'), plt.title('Input Image')
plt.axis('off')

#霍夫变换检测圆
#circles1 = cv2.HoughCircles(gray, cv2.HOUGH_GRADIENT, 1, 100,
#                           param1=100, param2=30, minRadius=200, maxRadius=300)

circles1 = cv2.HoughCircles(gray, cv2.HOUGH_GRADIENT, 1, 20, param2=30)

print(circles1)

#提取为二维
circles = circles1[0, :, :]

#四舍五入取整
circles = np.uint16(np.around(circles))

#绘制圆
for i in circles[:]: 
    cv2.circle(img, (i[0],i[1]), i[2], (255,0,0), 5) #画圆
    cv2.circle(img, (i[0],i[1]), 2, (255,0,255), 10) #画圆心

#显示处理图像
plt.subplot(122), plt.imshow(img), plt.title('Result Image')
plt.axis('off')
plt.show()

输出结果如图19所示，图19(a)为原始图像，图图19(b)检测出的圆形，它有效地提取了圆形的圆心和轮廓。

使用下面的函数能有效提取人类眼睛的轮廓，核心函数如下：

circles1 = cv2.HoughCircles(gray, cv2.HOUGH_GRADIENT, 1, 20,
                            param1=100, param2=30,
                            minRadius=160, maxRadius=300)

输出结果如图20所示，它提取了三条圆形接近于人体的眼睛。

图20中显示了三条曲线，通过不断优化最大半径和最小半径，比如将minRadius设置为160，maxRadius设置为200，将提取更为精准的人体眼睛，如图21所示。

最终代码如下：

# -*- coding: utf-8 -*-
import cv2
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt

#读取图像
img = cv2.imread('eyes.png')

#灰度转换
gray = cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGR2GRAY)

#显示原始图像
plt.subplot(121), plt.imshow(gray, 'gray'), plt.title('Input Image')
plt.axis('off')

#霍夫变换检测圆
circles1 = cv2.HoughCircles(gray, cv2.HOUGH_GRADIENT, 1, 20,
                            param1=100, param2=30,
                            minRadius=160, maxRadius=200)
print(circles1)

#提取为二维
circles = circles1[0, :, :]

#四舍五入取整
circles = np.uint16(np.around(circles))

#绘制圆
for i in circles[:]: 
    cv2.circle(img, (i[0],i[1]), i[2], (255,0,0), 5) #画圆
    cv2.circle(img, (i[0],i[1]), 2, (255,0,255), 8) #画圆心

#显示处理图像
plt.subplot(122), plt.imshow(img), plt.title('Result Image')
plt.axis('off')
plt.show()

七.总结

本文主要讲解傅里叶变换和霍夫变换。傅里叶变换主要用来进行图像除噪、图像增强处理，通过Numpy和OpenCV两种方法分别进行叙述，并结合代码加深了读者的印象；霍夫变换主要用来辨别找出物件中的特征，包括提取图像中的直线和圆，调用cv2.HoughLines()、cv2.HoughLinesP()和cv2.HoughCircles()实现。这些知识在物联网中也经常应用，比如无人驾驶、车道识别、医学图像处理、工业控制识别等。

• 源代码下载地址：https://github.com/eastmountyxz/ImageProcessing-Python

感恩能与大家在华为云遇见！
希望能与大家一起在华为云社区共同成长。原文地址：https://blog.csdn.net/Eastmount/article/details/81461679
【拜托了，物联网！】有奖征文火热进行中：https://bbs.huaweicloud.com/blogs/296704

(By:娜璋之家 Eastmount 2021-10-03 夜于武汉)

参考文献，在此感谢这些大佬，共勉！

• [1]冈萨雷斯著. 数字图像处理（第3版）[M]. 北京：电子工业出版社，2013.
• [2]阮秋琦. 数字图像处理学（第3版）[M]. 北京：电子工业出版社，2008.
• [3]毛星云，冷雪飞. OpenCV3编程入门[M]. 北京：电子工业出版社，2015.
• [4]张铮，王艳平，薛桂香等. 数字图像处理与机器视觉——Visual C++与Matlab实现[M]. 北京：人民邮电出版社，2014.
• [5]百度百科. 傅里叶变换[EB/OL]. (2019.02.05). https://baike.baidu.com/item/傅里叶变换/7119029.
• [6]网易云课堂_高登教育. Python+OpenCV图像处理[EB/OL]. (2019-01-15). https://study.163.com/course/courseLearn.htm?courseId=1005317018.
• [7]安安zoe. 图像的傅里叶变换[EB/OL]. (2018-02-01). https://www.jianshu.com/p/89ce7fdb9e12.
• [8]daduzimama. 图像的傅里叶变换的迷思----频谱居中[EB/OL]. (2018-06-07). https://blog.csdn.net/daduzimama/article/details/80597454.
• [9]tenderwx. [数字图像处理] 傅里叶变换在图像处理中的应用[EB/OL]. (2016-03-05). https://www.cnblogs.com/tenderwx/p/5245859.html.
• [10]小小猫钓小小鱼. 深入浅出的讲解傅里叶变换（真正的通俗易懂）[EB/OL]. (2018-02-02).
• [11]https://www.cnblogs.com/h2zZhou/p/8405717.html.
• [12]百度百科. 霍夫变换[EB/OL]. (2018-11-21). https://baike.baidu.com/item/霍夫变换/4647236.
• [13]yuyuntan. 经典霍夫变换（Hough Transform）[EB/OL]. (2018-04-29). https://blog.csdn.net/yuyuntan/article/details/80141392.
• [14]g20040733. 霍夫变换[EB/OL]. (2016-12-07). https://blog.csdn.net/g200407331/article/details/53507784.
• [15]我i智能. Python下opencv使用笔记（十一）（详解hough变换检测直线与圆）[EB/OL]. (2015-07-23). https://blog.csdn.net/on2way/article/details/47028969.
• [16]ex2tron. Python+OpenCV教程17：霍夫变换[EB/OL]. (2018-01-10). https://www.jianshu.com/p/34d6dc466e81.
• [17]Daetalus. OpenCV-Python教程（9、使用霍夫变换检测直线）[EB/OL]. (2013-07-12). https://blog.csdn.net/sunny2038/article/details/9253823.