【优化覆盖】基于matlab改进的鲸鱼算法求解无线传感器WSN覆盖优化问题【含Matlab源码 XYQMDXP001期】

一、鲸鱼算法简介

1 鲸鱼算法
鲸鱼算法(Whale Optimization Algorithm, WOA)[15]是一种模仿大自然海洋中的鲸鱼动物进行捕食猎物的元启发式的智能优化算法，它的核心思想主要包括三个行为：包围捕食、气泡袭击和寻找猎物。在鲸鱼算法中，设定整个鲸鱼种群规模为N,在D维搜索空间中搜索最优解，第i只鲸鱼在第D维空间中的位置表示为Xi=(X1i,X2i,…XDi),i=1,2,…N,猎物的位置就是对应问题的全局最优解。

1.1 包围捕食
在算法的初始阶段，鲸鱼能够识别猎物的位置并进行包围，但是算法并没有事先设定全局最优的位置，因此设定当前群体中的最优位置为所需要捕获的猎物，指引种群中的其他鲸鱼个体向着当前的最优个体靠拢捕食，使用式(10)进行个体的更新位置：
X(t+1)=Xp(t)-A|CXp(t)-X(t)| (10)
式中：t为当前迭代次数，Xp(t)=(X1p,X2p,…,XDp)为局部最优解，A|CXp(t)-X(t)|为包围步长，参数A和C表达如下所示：
A=2arand1-a (11)
C=2rand2 (12)
式中：rand1和rand2表示(0,1)之间的随机数，a为收敛因子，伴随着迭代次数的逐渐增加，其值从2线性递减到0。a的表达如下
a=2−2ttmax (13)
式中：tmax为最大迭代次数。

1.2 气泡攻击
鲸鱼算法通过收缩包围和螺旋更新位置模拟鲸鱼捕食吐出气泡捕捉食物的行为，从而达到鲸鱼局部寻优的目的。
①收缩包围机制
根据式(11)、式(13)模拟鲸鱼进行收缩包围，当|A|<1的时，鲸鱼个体向着当前最优位置的鲸鱼个体靠近，并且|A|值越大，鲸鱼个体的游走步伐就越大，否则步伐就减少。
②螺旋更新位置
鲸鱼个体计算与当前最优位置鲸鱼之间的距离，以螺旋方式进行猎物的搜索，螺旋游走方式的表达式如下所示：
X(t+1)=D′elbcos(2πl)+Xp(t) (14)
式中：D′=|Xp(t)-X(t)|表示第i只鲸鱼个体与最优位置的鲸鱼之间的距离，b表示用于限定对数螺旋形状的常数，l表示一个随机数，其值为[-1,1]。在优化过程中选择收缩包围机制和螺旋位置更新的概率相同都取值为0.5。

1.3 寻觅猎物阶段
上述行为都是鲸鱼在进行局部范围的寻找解的方式，其实鲸鱼算法也可以随机寻找当前鲸鱼个体进行全局优化，其表达式为：
X(t+1)=Xrand(t)-A|CXrand(t)-X(t)| (15)
式中：Xrand(t)是当前群体中随机选取的鲸鱼个体位置。

2 改进的鲸鱼算法的节点定位研究
像大部分元启发式算法一样，鲸鱼算法存在易陷入局部最优且收敛速度慢等缺点。为了更好提高鲸鱼算法在节点定位中效果。从以下三个方面进行算法改进：采用神经网络算法提高鲸鱼初始位置的多样性；通过优化非线性和自适应策略避免算法过早陷入局部最优；通过二次插值进行个体筛选缓解鲸鱼位置多样性衰减。

2.1 种群初始化
本文提出一种基于深度神经网络(Deep Neural Network, DNN)构架的最优种群初始化过程。其整体结构如图1所示。

图1 基于深度神经网络的种群初始化过程
图1显示了鲸鱼算法通过深度神经网络初始化的过程，其步骤如下：

步骤1 假设随机初始化种群xi,i∈1,2,…,N;假设一共有M层网络，其中第j层网络层第i个节点多对应的N个网络权值为wk,i,j,k∈1,2,…,N,j∈1,2,…,M;第j个网络层的输入为Ii,j;第j个网络层的输出为Oi,j;第j个网络层的激活函数为ψj;第j个网络层的第i个节点偏移值为θi,j;那么Oi,j的表达式可以表示为：

根据式(16)可以获得第j+1个网络层的输出为Oi,j+1,其可以表示为：

步骤2 深度学习神经网络的学习和训练。首先通过穷举法产生一定规模范围内的样本数据，然后通过深度学习进行训练获得可以满足任意规模的网络模型。深度学习神经网络根据初始化产生的种群，依靠深度神经网络中的训练和学习使得种群具有多样性。为了能够让神经网络收敛，因此引入熵函数作为该模型的激活函数，即式(18)所示。深度学习神经网络中定义训练目标函数为归一化后的初始位置和重心之间的距离，如式(19)所示：

式中：μ表示xi的均值，当式(18)的结果为0,表示种群完全没有多样性，当结果越接近1,则表示多样性越大。在深度学习神经网络中将随机产生的种群xi作为网络的输入数据，将网络输出结代入式(18)得到的值作为深度学习神经网络的训练目标。

步骤3 获得多样性种群。假设通过训练之后，得到网络权值为wlearningk,i,j,熵激活函数ψj=Hj(X),然后将随机产生的鲸鱼经过神经网络变换后得到熵更大的鲸鱼集合，作为鲸鱼算法的输入。其数学表达式为：

此时，由式(20)得到的Oi,j,i∈1,2,…,N即具有尽可能大的多样性种群。

2.2 参数优化
在鲸鱼算法中，参数A和C决定着鲸鱼个体位置的更新，而另一个参数a直接决定着A的数值变化，由于算法中参数a的值被设定为2～0之间的线性变化范围，因此一定程度上无法有效的体现算法的个体寻优的过程，容易导致算法在后期才进行局部搜索，延长了算法的搜索时间，为了使个体能够尽快进入局部搜索阶段，针对参数a提出一种非线性变化的策略，公式如下：

a=1-arctan(t/tmax) (23)

从式(23)的中发现非线性变化策略能够使得参数a的值在算法前期迅速减小，使得鲸鱼个体尽早进入局部搜索阶段，提升算法求解精度与收敛速度，而另外一个参数C在鲸鱼算法仅仅是一个(0,2)随机数，根据粒子群算法中关于位置更新的启发，在鲸鱼的全局阶段中优化参数C能够减少了搜索的不确定性，使得鲸鱼个体位置更新具有自适应性，较好的保持区域搜索和局部勘探的能力。因此，本文针对参数C进行如下优化：

式中：Cmin和Cmax分别表示参数的最小值，最大值，f表示当前鲸鱼个体的适应度值，fmin和fave分别表示适应度值的最小值和平均值。

随着迭代次数的不断增大，算法逐渐运行到后期，鲸鱼个体的搜索能力会呈现逐渐减弱的趋势，这主要是因为种群多样性正在逐渐消失。二次插值[16]16]作为一个搜索算子，它能够提高启发式算法中的个体的搜索寻优能力，其中心思想是不断使用二次多项式来近似目标函数，并使用插值多项式中的极小的值逼近搜索问题的极小点。假设X=(x1,x2,…,xd),Y=(y1,y2,…,yd),Z=(z1,z2,…,zd)是三个个体，适应度值分别是f(X),f(Y),f(Z),采用二次插值法，根据式(25)产生一个个体

2.3 个体筛选
在更新所有个体位置的同时将所有个体的适应度值从小到大进行排序，依次取出个体Mk,Mk+1,Mk+2,通过式(25)生成新的个体M¯¯¯¯k,按照式(26)对比Mk和M¯¯¯¯k的适应度值，然后选择优秀的个体进行下一次迭代。

2.4 改进算法渐近性分析
定理1 IWOA算法具有适应度渐进性，假设在第t次迭代的时，算法找到的最优鲸鱼个体位置为xt,{dt|dt=f(xt)-f(x*),1≤t≤T}为算法生成的非负随机过程。当f(xt)>f(x),存在一个正常数τ,使得E(dt+1)≤E(dt)-τ,则该优化算法具有适应度渐进性。

证明过程：
由于优化过程是搜索最小化寻优参数，那么存在某个迭代次数t,使得下一次迭代t+1的xt+1大于t次的xt,他们对应的适应度函数值满足f(xt+1)<f(xt)。(xt表示的是最优鲸鱼个体的位置),那么本文可以假设E[f(xt+1)-f(xt)]=-τt+1,τt+1为一个正常数。
E(dt+1)-E(dt)=E(dt+1-dt)=E[f(xt+1)-f(x*t)]=-τt+1

那么对于0<t≤T,则存在τ1,τ2,…,τT的最小值，我们假设τ=min{τ1,τ2,…,τT},那么上面的公式可以表示为：E(dt+1)-E(dt)=-τt+1≤-τ。
证明完毕
定理2IWOA算法具有全局最优解渐进性。令第t次迭代时算法找到的距离全局最优解最近的鲸鱼个体位置为x′t,{Dt|Dt=f(x′t)-f(x*),1≤t≤T}为算法生成的非负随机过程，当x′t≠x*时，存在一个正常数ε,使得E(Dt+1)=E(Dt)-ε。
证明过程：
E(Dt+1)-E(Dt)=E(Dt+1-Dt)=E[f(x′t+1)-f(x′t)]

假设第t次迭代IWOA算法最优解的集合为St,其通过算法中的行为更新之后，得到新的集合S′t,那么第t次迭代将要搜索的最优解的空间范围为S1=St∪S′t,选择更新前后，最优解空间的相同解空间为为S2=St∩S′t,那么新的最优解可以表示为S′t-St∩S′t,那么存在如下两个情况：①如果新的最优解比原来的t次迭代时的最优解差，那么此时，最优解的鲸鱼个体依然选择原来的最优解对应的鲸鱼个体。那么存在一个参数k使得在迭代次数t-k+1时，S′t-k+1-St-k+1∩S′t-k+1≠Φ即t-k+1时刻，其相对于t-k时刻，新增加的最优解不是空集。那么在St-k+1中存在最优解x′t-k+1使得其更接近最优解x*,但x′t-k+1≠x*,那么显然E[f(x′t-k+1)-f(x′t-k)]=E(-ε)=-ε,此时E(Dt-k+1)-E(Dt-k)=-ε,取t′=t-k,即得到E(Dt′+1)-E(Dt′)=-ε;②如果新的最优解数值比原来的t次迭代时的最优解好，那么在最优解鲸鱼个体在选择过程中将从优化后的鲸鱼算法选择得到。此时，S′t-St∩S′t≠Φ那么在St′中存在最优解x′t使得其更接近最优解x*,但x′t≠x*,那么显然E[f(x′t+1)-f(x′t)]=E(-ε)=-ε,此时E(Dt+1)-E(Dt)=-ε。

证明完毕

2.5 算法步骤
步骤1 建立无线传感网络中的节点定位与鲸鱼算法之间的对应关系。即鲸鱼算法将节点定位问题中的每一个解当作鲸鱼个体。在鲸鱼算法的每次迭代中，通过设定的适应度函数来判别当前鲸鱼的优劣，最后寻找最优的鲸鱼个体来获得最佳的节点定位。鲸鱼算法适应度函数表达式如下：

式中：(x,y)表示待观测的节点的位置，(xi,yi)表示第i个已知节点的位置，通过求解的fitness(i)最小值来获得节点位置；
步骤2 初始化鲸鱼算法的相关参数和节点定位相关参数，设置最大迭代次数；
步骤3 按照3.1节采用基于深度神经网络的种群初始化；
步骤4 按照3.2节中的式(22)、式(23)对式(10)、式(11)进行包围捕食行为进行更新；
步骤5 执行气泡攻击和寻觅食物；
步骤6 按照3.3节在每次迭代后根据式(25)、式(26)进行个体筛选；
步骤7 判断是否优化达到Tmax,如果达到则找到最优的鲸鱼个体即待测节点最优位置的近似值，否则转步骤4,迭代次数加1。

二、部分源代码

三、运行结果

四、matlab版本及参考文献

1 matlab版本
2014a

2 参考文献
[1] 包子阳,余继周,杨杉.智能优化算法及其MATLAB实例（第2版）[M].电子工业出版社，2016.
[2]张岩,吴水根.MATLAB优化算法源代码[M].清华大学出版社，2017.
[3]陈暄,顾锦,毛科技,吴吉义.一种改进鲸鱼算法的无线传感器网络定位优化研究[J].传感技术学报. 2021,34(10)

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