一、求 sinωn 傅里叶变换

求 $\sin {\omega }_{0}n$ 的傅里叶变换 $SFT[\sin {\omega }_{0}n]$ ?

0、sinωn 序列分析

$$\sum _{n=-\infty }^{+\infty }|\sin {\omega }_{0}n|=\infty$$

$\sin {\omega }_{0}n$ 序列不是绝对可和的 , 序列值相加值为 $\infty$ , 但是其有傅里叶变换 ;

绝对可和 与 存在傅里叶变换 关系如下 :

• 如果 " $x(n)$序列绝对可和 " , 则 " 序列傅里叶变换 SFT " 一定存在 ;
• 如果 " 序列傅里叶变换 SFT " 存在 , 不一定 " $x(n)$序列绝对可和 " ; 某些 " 非绝对可和序列 " , 引入 广义函数 $\delta (\omega )$ 后 , 其 傅里叶变换也存在 ;

1、傅里叶变换与反变换公式介绍

傅里叶变换 : 时域 " 离散非周期 " 信号 , 其频域就是 " 连续周期 " 的 , 其频域 可以 展开成一个 " 正交函数的无穷级数加权和 " , 如下公式

$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x(n)e^{-j\omega n}$$

傅里叶反变换 : 利用 " 正交函数 " 可以推导出 " 傅里叶反变换 " , 即 根据 傅里叶变换 推导 序列 ;

$$x(n)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega k}d\omega$$

2、复变函数欧拉公式介绍

复变函数 欧拉公式 :

$$e^{ix}=\cos x+i\sin x①$$

$$e^{-ix}=\cos x-i\sin x②$$

单位复指数序列特点 :

$$e^{j({\omega }_{0}n+2k\pi n)}=e^{j{\omega }_{0}n}k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots$$

对 $\omega$ 来说 一定是以 $2\pi$ 为周期 ;

① 与 ② 相加 , 可以得到 :

$$\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}公式③$$

① 与 ② 相减 , 可以得到 :

$$\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}公式④$$

可参考百度百科 : https://baike.baidu.com/item/欧拉公式/92066

3、求 sinωn 的傅里叶变换推导过程

直接 对

$$\sin {\omega }_{0}n$$

使用

$$\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}公式④$$

公式 ,

可以得到 :

$$\sin {\omega }_{0}n=\frac{e^{i{\omega }_{0}n}-e^{-i{\omega }_{0}n}}{2i}⑤$$

求上述

$$\frac{e^{i{\omega }_{0}n}-e^{-i{\omega }_{0}n}}{2i}$$

序列的傅里叶变换 ,

在 【数字信号处理】序列傅里叶变换 ( 基本序列的傅里叶变换 | e^jωn 的傅里叶变换 ) 博客中 , 已经求出了 $e^{i{\omega }_{0}n}$ 的傅里叶变换 , 结果是 :

$$SFT[e^{j{\omega }_{0}n}]=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{e}^{-j(\omega -{\omega }_0)}=2\pi \tilde{\delta }(\omega -{\omega }_0)$$

将 $j$ 替换成 $i$ 可以得到 :

$$SFT[e^{i{\omega }_{0}n}]=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{e}^{-i(\omega -{\omega }_0)}=2\pi \tilde{\delta }(\omega -{\omega }_0)⑥$$

将 ${\omega }_0$ 替换成 $-{\omega }_0$ 可以得到 :

$$SFT[e^{i(-{\omega }_0)n}]=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{e}^{-i(\omega +{\omega }_0)}=2\pi \tilde{\delta }(\omega +{\omega }_0)⑦$$

将 ⑥ 和 ⑦ 带入到 ⑤ 式子中 , 可以得到 :

$$SFT[\sin {\omega }_{0}n]=\frac{2\pi \tilde{\delta }(\omega -{\omega }_0)-2\pi \tilde{\delta }(\omega +{\omega }_0)}{2i}$$

最终得到 :

$$SFT[\sin {\omega }_{0}n]=\frac{\pi \tilde{\delta }(\omega -{\omega }_0)-\pi \tilde{\delta }(\omega +{\omega }_0)}{i}$$

将 $\pi$ 提取出来 , 得到 :

$$SFT[\sin {\omega }_{0}n]=\frac{\pi [\tilde{\delta }(\omega -{\omega }_0)-\tilde{\delta }(\omega +{\omega }_0)]}{i}$$

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