【F#从入门到实战】14. F#实现分部积分法
欢迎大家来到【F#从入门到实战】，在这里我将分享关于F#编程语言的系列文章，带大家一起去学习和成长，并探索函数编程语言F#这个有趣的世界。所有文章都会结合示例代码和笔者的经验进行讲解，真心想把十余年的IT经验分享给大家，希望对您有所帮助，文章中也定有不足之处，请海涵！本系统文章将从F#基本语法入手，逐步通过自定义类型来实现数学表达式的各种常见解析操作，如对表达式进行求值、化简、展开、求导和求积分等。此系统博文也是了解和实现一个简易的计算机代数系统的基础。
下面给出【F#从入门到实战】系统专题文章的目录：
【F#从入门到实战】01. F#语言快速入门
【F#从入门到实战】02. F#数组常见用法
【F#从入门到实战】03. F#自定义操作符
【F#从入门到实战】04. F#5.0新特征总结
【F#从入门到实战】05. F#表达式求值
【F#从入门到实战】06. F#表达式化简
【F#从入门到实战】07. F#表达式展开
【F#从入门到实战】08. F#大整数阶乘
【F#从入门到实战】09. F#表达式求导
【F#从入门到实战】10. F#表达式积分
【F#从入门到实战】11. F#库FParsec入门
【F#从入门到实战】12. F#库FParsec解析表达式
【F#从入门到实战】13. F#库FParsec实现求导符号计算
【F#从入门到实战】14. F#实现分部积分法
下面将正式开始本文的介绍：
大学高等数学中的微积分是一门重要的基础课程，它广泛应用于数学、物理和工程中。对于求不定积分来说，有一种重要的方法就是分部积分法（integration by parts），它是一种不容易求出积分的情况下，一种很好的尝试方法。关于分部积分法的算法公式如下：
∫ u v' dx = uv - ∫ u' v dx
根据百度百科定义，分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。它是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。它的主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。下面给出一个具体的示例，需要求出如下的不定积分：
.jpg)
那么分部积分法的基本步骤如下：
.jpg)
那么，如何用F#语言实现这样一种积分算法呢？经过多次尝试，发现一种可行的方法。下面给出核心代码示例。先给出Expr定义：
type Expr =
| CstF of float
| Sym of string
| Sin of Expr
| Cos of Expr
| Ln of Expr
| Exp of Expr
| Pow of Expr * Expr
| Add of Expr * Expr
| Sub of Expr * Expr
| Mul of Expr * Expr
| Div of Expr * Expr
| Pi of float
| Neg of Expr
//~ 一元运算符 -
static member (~-) (x:Expr) =
Neg(x)
// 减法
static member (-) (x:Expr, y:Expr) =
Sub(x,y)
static member (-) (x:Expr, y:float) =
Sub(x,CstF y)
//加法
static member (+) (x:Expr, y:Expr) =
Add(x,y)
static member (+) (x:float, y:Expr) =
Add(CstF x,y)
static member (+) (x:Expr, y:float) =
Add(x,CstF y)
static member (*) (x:Expr, y:Expr) =
Mul(x,y)
//乘法
static member (*) (x:float, y:Expr) =
Mul(CstF x,y)
static member (*) (x:Expr, y: float) =
Mul(x,CstF y)
//除法
static member (/) (x:Expr, y:Expr) =
Div(x,y)
static member (/) (x:Expr, y:float) =
Div(x,CstF y)
static member (/) (x:float, y:Expr) =
Div(CstF x,y)
// ^是特殊符号，这里用 .^ 表示 Power 如 2^3
static member (.^) (x:Expr, y:Expr) =
Pow(x,y)
static member (.^) (x:Expr, y:float) =
Pow(x,CstF y)
//e^x
static member exp (x:Expr) =
Exp(x)这里的自定义Expr中定义了静态成员方法，是一个自定义操作符，涉及到加减乘除，且支持不同的重载(Overload) 。由于分部积分涉及到求导和基本的积分规则，下面给出定义：
let rec diff (expr : Expr , v ) =
match expr with
| CstF x -> CstF 0.
| Sym x when x = v -> CstF 1.
| Sym x when x <> v -> CstF 0.
| Sin(x) when x = Sym v -> Cos(x)
| Sin(x) -> Cos(x) * diff(x,v)
| Cos(x) when x = Sym v -> -Sin(x)
| Cos(x) -> -Sin(x) * diff(x,v)
| Pow(a,x) when x = Sym v -> Ln(a) * Pow(a,x)
| Ln(x) when x = Sym v -> 1. / x
| Pow(x,y) when x = Sym v -> y * Pow(x, y - 1.)
| Exp(x) when x = Sym v -> Exp(x)
| Exp(x) -> Exp(x) * diff(x,v)
| Add(x,y) -> diff(x,v) + diff(y,v) //(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)
| Sub(x,y) -> diff(x,v) - diff(y,v) //(f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x)
| Mul(CstF n,f) -> n * diff(f,v)
| Mul(f,g) -> diff(f,v)* g - f * diff(g,v) //(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
| Div(f,g) -> (diff(g,v) * f - diff(f,v) * g)/ (f .^ 2.) //(g(x)/f(x))'=(g'(x)f(x)-f'(x)g(x))/(f(x))^2
| e -> e
let rec simp expr =
match expr with
| CstF f -> CstF f
| Sym x -> Sym x
| Neg(Neg(e)) -> simp e
| Add(CstF f ,CstF f2) -> CstF (f+f2)
| Sub(CstF f ,CstF f2) -> CstF (f-f2)
| Mul(CstF f ,CstF f2) -> CstF (f * f2)
| Mul(CstF f ,Mul(CstF f2,e)) -> simp (Mul(CstF (f * f2),simp e))
| Div(CstF f ,CstF f2) -> CstF (f / f2)
| Div(Div(e, CstF f), CstF f2) -> Div(simp e,CstF (f * f2))
| Sub(e1 ,Neg(e2)) -> Add(e1,e2)
| Sub(x,y) -> Sub(simp x,simp y)
| Add(CstF 0. ,e) -> simp e
| Add(e,CstF 0. ) -> simp e
| Add(x,y) -> Add(simp x,simp y)
| Mul(CstF 1.,e) -> simp e
| Mul(CstF 0.,e) -> CstF 0.
| Mul(e,CstF 0.) -> CstF 0.
| Mul(x,y) -> Mul(simp x,simp y)
| e -> e
let rec int2 (expr : Expr , v ) =
match expr with
| CstF f -> Sym v
| Sym v -> 0.5 * Pow(Sym v, CstF 2.)
| Sin(x) when x = Sym v -> -Cos(x)
| Cos(x) when x = Sym v -> Sin(x)
| Cos (Div (x, CstF n)) when x = Sym v -> n * Sin (Div (x, CstF n))
| Sin (Div (x, CstF n)) when x = Sym v -> - n * Cos (Div (x, CstF n))
| Exp(x) when x = Sym v -> Exp(x)
| Exp(Mul(CstF n,x)) when x = Sym v -> Exp(Mul(CstF n,x)) / n
| Exp(Mul(x,CstF n)) when x = Sym v -> Exp(Mul(CstF n,x)) / n
| Add(x,y) -> int2(x,v) + int2(y,v)
| Sub(x,y) -> int2(x,v) - int2(y,v)
| Mul(CstF 1.,e) -> int2(e,v)
| Mul(CstF n,e) -> n * int2(e,v)
| Pow(x,y) when x = Sym v -> Pow(x, y + 1.) / ( y + 1.)
| Div(e,CstF 1.) -> int2(e,v)
| Div(e,CstF n) -> int2(e,v) / n
| e -> e
let rec int (expr : Expr , v ) =
match expr with
| CstF f -> Sym v
| Sym v -> 0.5 * Pow(Sym v, CstF 2.)
| Sin(x) when x = Sym v -> -Cos(x)
| Cos(x) when x = Sym v -> Sin(x)
| Cos (Div (x, CstF n)) when x = Sym v -> n * Sin (Div (x, CstF n))
| Sin (Div (x, CstF n)) when x = Sym v -> - n * Cos (Div (x, CstF n))
| Exp(x) when x = Sym v -> Exp(x)
| Exp(Mul(CstF n,x)) when x = Sym v -> Exp(Mul(CstF n,x)) / n
| Exp(Mul(x,CstF n)) when x = Sym v -> Exp(Mul(CstF n,x)) / n
| Add(x,y) -> int(x,v) + int(y,v)
| Sub(x,y) -> int(x,v) - int(y,v)
| Pow(x,y) when x = Sym v -> Pow(x, y + 1.) / ( y + 1.)
| Mul(CstF 1.,e) -> int(e,v) //防止无限循环
| Mul(CstF n,e) -> n * int(e,v) //防止无限循环
| Div(e,CstF 1.) -> int2(e,v)
| Div(e,CstF n) -> int2(e,v) / n
| Mul(u,t) ->
printfn "%O" u
printfn "%O" t
let tf = simp (int2(t,v))
printfn "%O" tf
let du = simp (diff(u,v))
let z = u * tf - int2(du*tf ,v) //分部积分法
z
| e -> e其中的分部积分规则匹配一个uv的乘法，通过反求积分后，对算法进行改造，即 z = u * int(t,x) - int(diff(u,x)*int(t,x) ,x) 。这里省略了打印的函数定义。另外，需要注意，代码中定义了一个两个非常相似的积分函数，即int和int2。其中差异就是int2中未有分部积分定义，这样可以防止无限循环。
let x = Sym "x"
let y = (CstF 6.) * x // 6*x
let f = x * Exp(y)
let z = int(f,"x")
printfn "%s" (simp z |> printExpr)在主程序中，需要注意的就是6x不能直接写成 6.*x，而需要写成 (CstF 6.) * x ，这个好像Expr里面定义的乘法重载未生效，只生效了Expr * Expr这种形式的，具体原因不明，可能是内部的自定义操作符，不是全局定义的。 执行后结果如下，这与开头的示例一致：
((x*(exp((6*x))/6))-(exp((6*x))/36))同理，再给出一个示例：
let f = x * Cos(x)
let z = int(f,"x")
printfn "%s" (simp z |> printExpr)输出结果如下：
(x*sin(x))+cos(x)在给出一个相对复杂一点的案例：
.jpg)
其解题步骤为：
.jpg)
let t = Sym "t"
let y = (CstF 3. * t + CstF 5. )* Cos( t / CstF 4. )
let z = int(y,"t")
printfn "%s" (simp z |> printExpr)执行代码，结果如下：
((((3*t)+5)*(4*sin((t/4))))-(-48*cos((t/4))))化简后为：
12*sin(t/4)*t+20*sin(t/4)+48*cos(t/4)这与上述示例结果一致。注意，如果其他的积分求的不对，则需要补充特定规则的积分和求导规则，让其分部积分可以正确处理。
- 点赞
- 收藏
- 关注作者
评论（0）