【F#从入门到实战】05. F#表达式求值

       欢迎大家来到【F#从入门到实战】，在这里我将分享关于F#编程语言的系列文章，带大家一起去学习和成长，并探索函数编程语言F#这个有趣的世界。所有文章都会结合示例代码和笔者的经验进行讲解，真心想把十余年的IT经验分享给大家，希望对您有所帮助，文章中也定有不足之处，请海涵！本系统文章将从F#基本语法入手，逐步通过自定义类型来实现数学表达式的各种常见解析操作，如对表达式进行求值、化简、展开、求导和求积分等。此系统博文也是了解和实现一个简易的计算机代数系统的基础。

      下面给出【F#从入门到实战】系统专题文章的目录：

【F#从入门到实战】01. F#语言快速入门 
【F#从入门到实战】02. F#数组常见用法   
【F#从入门到实战】03. F#自定义操作符 
【F#从入门到实战】04. F#5.0新特征总结 
【F#从入门到实战】05. F#表达式求值     
【F#从入门到实战】06. F#表达式化简    
【F#从入门到实战】07. F#表达式展开    
【F#从入门到实战】08. F#大整数阶乘    
【F#从入门到实战】09. F#表达式求导   
【F#从入门到实战】10. F#表达式积分   
【F#从入门到实战】11. F#库FParsec入门  
【F#从入门到实战】12. F#库FParsec解析表达式   
【F#从入门到实战】13. F#库FParsec实现求导符号计算   
【F#从入门到实战】14. F#实现分部积分法   

     下面将正式开始本文的介绍： 

     前一个博客简单对F#语言的基本情况和语法进行了一个概述，本篇则重点讲一次，如何用F#实现数学表达式的计算问题，当然了，F#还可以进行代数运算，比如求解微分和积分。这里我们先从简单的表达式开始，比如有一个表达式 ( a + x ) * b ，当 a = 1，b = 3，x = 2时，如何求出该表达式的值。

    这里为了更加通用，并不能定义一个f(a,b,x) =  ( a + x ) * b，而这个表达式可变的，比如 x * 2 或者 (x + 2) * (x + 3 ) 。因此，这里需要定义一个自定义的表达式数据类型：

type Expr = 
  | CstF of float
  | Var of string
  | Add of Expr * Expr  // +
  | Sub of Expr * Expr // -
  | Mul of Expr * Expr // *
  | Div of Expr * Expr // / 
;;

    其中的type关键字定义了一个数据类型Expr , 其中包含CstF常数，这里定义一个float类型的，如2.8，整数的化，可以表示为2.0 。Var 代表一个变量类型，它是一个字符串类型，比如"x" 。定义一个变量可以用 Var "x"表示。

    Add 代表 四则运算中的加法操作，它接收两个参数，都是 Expr。同理，Sub代表减法，Mul代表乘法，Div代表除法。当然其他的操作可以根据需要进行扩展，比如Sin of Expr 。下面给出几个表达式的定义示例:

let e1 = CstF 7.;; // 7.0
let e2 = Add(CstF 3.0, Var "x");; // 3.0 + x
let e3 = Mul(e2, Var "a");; // (3.0 + x) * a

    回到之前提到的问题，如何用F#求表达式 ( a + x ) * b 的值，其中的a , b ，x 在计算的时候，需要指定具体的参数值，比如 a = 7.2，b = 6.5，x = 3.0。首先需要给出一个上下文变量的容器：

(* 上下文变量 (string * float) list *)
let env = [("x", 3.); ("a", 7.2); ("b", 6.5); ("c", 2.)];;

    有了这个上下文环境标量列表，定义一个查找的函数，来根据变量来查询变量值，比如 变量 x 返回 3.0 。

//从上下文环境中查找变量值
let rec lookup env x =
    match env with 
    | []        -> failwith (x + " not found")
    | (y, v)::r -> if x=y then v else lookup r x;;

    这个查找函数是一个递归函数，它会每次取出列表的一个元素，并进行查找，如果找到，则返回变量值，如果未找到，则继续从剩余的列表元素中查找变量值。下面则定义一个执行计算的的函数：

(* 计算 *)
let rec eval e (env : (string * float) list) : float =
    match e with
    | CstF f            -> f
    | Var x             -> lookup env x 
    | Add(e1, e2) -> eval e1 env + eval e2 env
    | Mul(e1, e2) -> eval e1 env * eval e2 env
    | Sub(e1, e2) -> eval e1 env - eval e2 env
    | Div(e1, e2) -> eval e1 env / eval e2 env
    | _          -> failwith "unknown operation";;

    这里用到模式匹配的强大功能，这里需要注意，匹配的规则是有顺序的，它只要匹配到一条后，就会返回结果。因此，越是具体的，详细的，越是要放前面，抽象的，复杂的，放下面。

  执行表达式求值，则结果如下：

  下一步将重点介绍一下，如何对表达式进行化简操作，比如 ( a + x ) + ( a - x ) -> 2*a  。