【F#从入门到实战】09. F#表达式求导

        欢迎大家来到【F#从入门到实战】，在这里我将分享关于F#编程语言的系列文章，带大家一起去学习和成长，并探索函数编程语言F#这个有趣的世界。所有文章都会结合示例代码和笔者的经验进行讲解，真心想把十余年的IT经验分享给大家，希望对您有所帮助，文章中也定有不足之处，请海涵！本系统文章将从F#基本语法入手，逐步通过自定义类型来实现数学表达式的各种常见解析操作，如对表达式进行求值、化简、展开、求导和求积分等。此系统博文也是了解和实现一个简易的计算机代数系统的基础。

      下面给出【F#从入门到实战】系统专题文章的目录：

【F#从入门到实战】01. F#语言快速入门 
【F#从入门到实战】02. F#数组常见用法   
【F#从入门到实战】03. F#自定义操作符 
【F#从入门到实战】04. F#5.0新特征总结 
【F#从入门到实战】05. F#表达式求值     
【F#从入门到实战】06. F#表达式化简    
【F#从入门到实战】07. F#表达式展开    
【F#从入门到实战】08. F#大整数阶乘    
【F#从入门到实战】09. F#表达式求导   
【F#从入门到实战】10. F#表达式积分   
【F#从入门到实战】11. F#库FParsec入门  
【F#从入门到实战】12. F#库FParsec解析表达式   
【F#从入门到实战】13. F#库FParsec实现求导符号计算   
【F#从入门到实战】14. F#实现分部积分法   

     下面将正式开始本文的介绍： 

      Matlab可以对数学公式进行求导操作，这里用F#实现一个简单的表达式求导推理。首先还是定义一个自定义的Expr数据类型：

type Expr = 
  | CstF of float
  | Var of string
  | Add of Expr * Expr  // +
  | Sub of Expr * Expr // -
  | Mul of Expr * Expr // *
  | Div of Expr * Expr // / 
  | Pow of Expr * Expr // ^ 
  | Sin of Expr  
  | Cos of Expr  
  | Neg of Expr  

   定义一个递归的求导函数diff，由于求导的规则比较多，这里就简单的实现几个场景的求导公式：

let rec diff e  =
    match e with
    | CstF f                -> CstF 0.0
    | Var x                 -> CstF 1.0 
    | Add(CstF a, Var x)   ->  CstF 1.0 
    | Add(e1, e2)  -> Add(diff e1, diff e2)
    | Sub(e1, e2)  -> Sub(diff e1, diff e2)
    | Mul(CstF a, Var x) ->  CstF a 
    | Mul(e1, e2) ->  Mul(diff e1, diff e2)
    | Pow(Var x,CstF a) -> Mul(CstF a,Pow(Var x,CstF (a - 1.)))
    | Pow(e1,e2)  -> Mul(e2,Pow(e1, Sub(e2,CstF 1.)))
    | Sin(e1)  -> Mul(Cos(e1),diff e1)
    | Cos(e1)  -> Mul(Neg(Sin(e1)),diff e1)
    | Neg(e1)  -> Neg(diff e1)
    | e          -> e ;;

   为了更到的输出DSL到控制台，定义一个打印表达式的函数：

let rec printExpr2 e =
    match e with
    | CstF f            -> string f
    | Var x             ->  x 
    | Add(e1 , e2) ->  "(" + (printExpr2 e1) + "+" + (printExpr2 e2) + ")"
    | Sub(e1 , e2) ->  "(" + (printExpr2 e1) + "-" + (printExpr2 e2) + ")"
    | Mul(e1 , e2) ->  "(" + (printExpr2 e1) + "*" + (printExpr2 e2) + ")"
    | Div(e1 , e2) ->  "(" + (printExpr2 e1) + "/" + (printExpr2 e2) + ")"
    | Pow(e1 , e2) ->  "(" + (printExpr2 e1) + "^" + (printExpr2 e2) + ")"
    | Sin(e1) ->  "sin(" + (printExpr2 e1) + ")"
    | Cos(e1) ->  "cos(" + (printExpr2 e1) + ")"
    | Neg(e1) ->  "-(" + (printExpr2 e1) + ")"
    | _          -> failwith "unknown operation";;

    严格来讲，每个操作的前后用()进行分组应该更加严谨，但是过多的()嵌套会让数学表达式不容易理解。但，关于括号的嵌套化简问题，还需要一定的工作才能工作，这里先不进行处理。下面定义一个求导示例：

let e1 = Sin(Sub(Pow(Var "x", CstF 3.0), Var "x")) ;; 
let e2 = diff e1;;
printExpr2 e2;;

  执行如上代码，则输出如下图所示：

  这与网上的求导工具（https://zh.numberempire.com/derivativecalculator.php）求出的一致：