【F#从入门到实战】10. F#表达式积分

       欢迎大家来到【F#从入门到实战】，在这里我将分享关于F#编程语言的系列文章，带大家一起去学习和成长，并探索函数编程语言F#这个有趣的世界。所有文章都会结合示例代码和笔者的经验进行讲解，真心想把十余年的IT经验分享给大家，希望对您有所帮助，文章中也定有不足之处，请海涵！本系统文章将从F#基本语法入手，逐步通过自定义类型来实现数学表达式的各种常见解析操作，如对表达式进行求值、化简、展开、求导和求积分等。此系统博文也是了解和实现一个简易的计算机代数系统的基础。

      下面给出【F#从入门到实战】系统专题文章的目录：

【F#从入门到实战】01. F#语言快速入门 
【F#从入门到实战】02. F#数组常见用法   
【F#从入门到实战】03. F#自定义操作符 
【F#从入门到实战】04. F#5.0新特征总结 
【F#从入门到实战】05. F#表达式求值     
【F#从入门到实战】06. F#表达式化简    
【F#从入门到实战】07. F#表达式展开    
【F#从入门到实战】08. F#大整数阶乘    
【F#从入门到实战】09. F#表达式求导   
【F#从入门到实战】10. F#表达式积分   
【F#从入门到实战】11. F#库FParsec入门  
【F#从入门到实战】12. F#库FParsec解析表达式   
【F#从入门到实战】13. F#库FParsec实现求导符号计算   
【F#从入门到实战】14. F#实现分部积分法   

     下面将正式开始本文的介绍： 

      前面一篇博文，介绍了F#对数学表达式进行求导运算，这里再介绍一下如何用F#对数学表达式求积分。求符号积分比求导要复杂一点，其复杂不在于原理，而在于求导的规则少，而求积分的规则非常多，要想相对全面的涵盖是比较难的。

   这里只是探索一个求积分的思路，而不会实现一个功能完备的积分引擎。首先还是定义一个数据类型：

type Expr = 
  | CstF of float
  | Var of string
  | Add of Expr * Expr  // +
  | Sub of Expr * Expr // -
  | Mul of Expr * Expr // *
  | Div of Expr * Expr // / 
  | Pow of Expr * Expr // ^ 
  | Sin of Expr  
  | Cos of Expr  
  | Neg of Expr  

    再次，给出一个包含少数积分规则的求积分函数：

let rec intf e  =
    match e with
    |CstF f                -> Mul(CstF f, Var "x")
    |Var x                 -> Mul(CstF 0.5, Pow(Var x,CstF 2.))
    |Add(e1, e2)           -> Add(intf e1, intf e2)
    |Sub(e1, e2)           -> Sub(intf e1, intf e2)
    |Pow(Var x,CstF a)     -> Mul(CstF (1./(a+1.)),Pow(Var x,CstF (a + 1.)))
    |e          -> e 

   这里主要就是最后一条，即 x ^ a 求积分为 x^(a+1)/（a+1) 。同样的，给出DSL字符串输出的函数：

let rec printExpr2 e =
    match e with
    | CstF f            -> string f
    | Var x             ->  x 
    | Add(e1 , e2) ->  "(" + (printExpr2 e1) + "+" + (printExpr2 e2) + ")"
    | Sub(e1 , e2) ->  "(" + (printExpr2 e1) + "-" + (printExpr2 e2) + ")"
    | Mul(e1 , e2) ->  "(" + (printExpr2 e1) + "*" + (printExpr2 e2) + ")"
    | Div(e1 , e2) ->  "(" + (printExpr2 e1) + "/" + (printExpr2 e2) + ")"
    | Pow(e1 , e2) ->  "(" + (printExpr2 e1) + "^" + (printExpr2 e2) + ")"
    | Sin(e1) ->  "sin(" + (printExpr2 e1) + ")"
    | Cos(e1) ->  "cos(" + (printExpr2 e1) + ")"
    | Neg(e1) ->  "-(" + (printExpr2 e1) + ")"
    | _          -> failwith "unknown operation";;

   最后，计算一下数学公式(x^3)-x的积分值：

let e1 = Sub(Pow(Var "x", CstF 3.0), Var "x");; 
printExpr2 e1 + " => " + printExpr2 (intf e1) ;;