矩阵求逆

二阶矩阵求逆的口诀及其应用

 

 

矩阵求逆有很多应用

, 

是高等代数中的重要内容

, 

通常有两个方法

: 

伴随矩阵法与

初等变换法

. 

例

1. 

求

A

=

























5

4

0

3

2

0

0

0

3

的逆矩阵

. 

解一

(

伴随矩阵法

) 

先求

A

的行列式

:

|

A

|=

5

4

0

3

2

0

0

0

3





=3

5

4

3

2





=3(-10+12)=6

≠

0. 

再求

A

的代数余子式

: 

A

11

=

5

4

3

2





=2,

A

5

0

3

0

12









=0,

A

4

0

2

0

13



=0,

A

5

4

0

0

21







=0,

A

5

0

0

3

22





=-15, 

A

4

0

0

3

23





=-12,

A

3

2

0

0

31





=0,

A

3

0

0

3

32







=9,

A

2

0

0

3

33



=6. 

于是可求得

A













































































1

2

0

0

0

0

6

12

0

9

15

0

0

0

2

6

1

1

2

3

2

5

3

1

33

23

13

32

22

12

23

21

11

1

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

. 

解二

(

初等变换法

) 

将





AE

初等变换为





1



EA

,

即可求得

A

的逆

: 













































































































1

2

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

1

2

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

1

1

0

0

0

1

0

0

0

5

4

0

3

2

0

0

0

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

5

4

0

3

2

0

0

0

3

2

3

2

5

3

1

2

1

3

1

2

3

3

1

AE

 

 

    

∴

A





























1

2

0

0

0

0

2

3

2

5

3

1

1

. 

显然

,

这两种方法都很繁

.

而二阶矩阵求逆在多次应用伴随矩阵法后

,

我们可以发现

并归纳出如下口诀

: 

二阶矩阵求逆

,

主对角线对调

,

副对角线变号

,

行列式除记牢

. 

即

: 

若











































a

c

b

d

A

A

d

c

b

a

A

1

,

1

则

.   

例如

:



































































1

2

2

4

3

5

2

1

5

4

3

2

2

3

2

5

1

. 

应用这口诀于对角分块矩阵上去

,

可以简化某些高阶矩阵求逆

. 

∵

 

















































1

1

1

1

1

0

0

0

0

n

n

A

A

A

A





.(

参见北京大学《高等代数》

P180-182),

4.4 三阶矩阵求逆公式

高阶矩阵的求逆算法主要有归一法和消元法两种，现将三阶矩阵求逆公式总结如下：

若矩阵

可逆，即时，

(4-14)

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