《密码技术与物联网安全：mbedtls开发实战》 —3.5.2　有限域和素域

3.5.2　有限域和素域

由于无限域在密码学中并没有特殊用途，所以我们还需要缩小讨论范围。当域中包含有限个元素时，这种域被称为有限域或伽罗瓦域。域中包含的元素个数称为域的阶。有限域的阶必须是pn，其中p为素数，n为正整数。阶为pn的有限域通常记作GF(pn)，GF表示伽罗瓦域（Galois Field）。

域中的两种操作分别为模整数加法和模整数乘法。为了在素域中进行算术运算，需要遵守以下规则：

加法和乘法均通过模p实现；

域内任意元素a的加法逆元可以通过a+(-a)=0 mod p计算得到；

域内任意非零元素a的乘法逆元可以通过a·a-1=1计算得到。

此处需要关注一种特殊情况，当n=1时的有限域GF(p)，这种特殊的有限域又被称为素域。GF(p)与GF(pn)有着不同的结构，这两种不同的域的关系如图3-2所示。

本节先来讨论当p=7时有限域GF(7)的结构。表3-8为有限域GF(7)的加法运算结果，表3-9为有限域GF(7)的乘法运算结果，表3-10为域内元素的加法逆元和乘法逆元结果。从计算结果中可以看出，有限域GF(7)满足域的两个基本条件—存在加法逆元和乘法逆元。与表3-3和表3-4模8运算结果不同，集合Z8={1,2,3,4,5,6,7}通过模8算术运算并不能构成域，Z8中存在非零元素没有乘法逆元的情况，例如整数4不存在关于模8的乘法逆元。

表3-8　有限域GF（7）加法运算

表3-9　有限域GF（7） 乘法运算

表3-10　有限域GF（7）加法逆元和乘法逆元

经过有限域GF(7)的讨论之后，我们熟悉了有限域的基本性质。接着我们把讨论范围继续缩小，讨论当p=2的情况，也就是素域GF(2)。素域GF(2)是有限域中最简单的域，但却是非常重要的一个有限域。表3-11为GF(2)加法运算结果和乘法运算结果，从该表可以看出，GF(7)加法运算等价于异或（XOR）运算，而乘法运算等价于逻辑与（AND）运算。有限域GF(2)加法逆元和乘法逆元如表3-12所示。有限域GF(2)在高级加密标准AES算法中至关重要。

表3-11　有限域GF（2）加法运算和乘法运算

表3-12　有限域GF（2）加法逆元和乘法逆元