《计算机组成与体系结构（原书第4版）》 —3.2.3　化简布尔表达式

3.2.3　化简布尔表达式

按照代数课学习的代数定律，能够将代数表达式10x+2y-x+3y化简为它的简单形式9x+5y。布尔定律可以用类似的方式简化布尔表达式。在下面的例子中应用这些定律。

例3.1假设有函数F（x，y）=xy+xy。假设表达式中x和y为布尔变量，使用OR的幂等律简化原始表达式为xy。因此，F（x，y）=xy+xy=xy。

例3.2对于给定函数F（x，y，z）=x′yz+x′yz′+xz，简化如下：

F（x，y，z）=x′yz+x′yz′+xz

=x′y（z+z′）+xz（分配律）

=x′y（1）+xz（逆等律）

=x′y+xz（同一律）　　

例3.3对于给定函数F（x，y）=y+（xy）′，简化如下：

F（x，y）=y+（xy）′

=y+（x′+y′）　　　（德摩根定律）

=y+（y′+x′）（交换律）

=（y+y′）+x′（结合律）

=1+x′（逆等律）

=1（零律）　　

例3.4对于给定函数F（x，y）=（xy）′（x′+y）（y′+y），简化如下：F（x，y）=（xy）′（x′+y）（y′+y）

=（xy）′（x′+y）（1）（逆等律）

=（xy）′（x′+y）（同一律）

=（x′+y′）（x′+y）（德摩根定律）

=x′+y′y（对于与的分配律）

=x′+0（逆等律）

=x′（幂等律）　　

有时，简化是相当简单的，如前面例子所示。但是，使用的定律可能会非常棘手，来看下面两个例子。

例3.5对于给定函数F（x，y）=x′（x+y）+（y+x）（x+y′），简化如下：

F（x，y）=x′（x+y）+（y+x）（x+y′）

=x′（x+y）+（x+y）（x+y′）（交换律）

=x′（x+y）+（x+yy′）（对于与的分配律）

=x′（x+y）+（x+0）（逆等律）

=x′（x+y）+x（同一律）

=x′x+x′y+x（分配律）

=0+x′y+x（逆等律）

=x′y+x　　　　　　　　　　　　　（同一律）

=x+x′y（交换律）

=（x+x′）（x+y）（对于与的分配律）

=1（x+y）（逆等律）

=x+y（同一律）

　　例3.6对于给定函数F（x，y，z）=xy+x′z+yz，简化如下：

F（x，y,z）=xy+x′z+yz

=xy+x′z+yz（1）　　　　　　　　　（同一律）

=xy+x′z+yz（x+x′）（逆等律）

=xy+x′z+（yz）x+（yz）x′（分配律）

=xy+x′z+x（yz）+x′（zy）（交换律）

=xy+x′z+（xy）z+（x′z）y（两次结合律）

=xy+（xy）z+x′z+（x′z）y（交换律）

=xy（1+z）+x′z（1+y）（分配律）

=xy（1）+x′z（1）（零律）

=xy+x′z（同一律）

　　例3.6说明了什么是俗称的共识定理。

如何插入附加法则以简化例3.6中的函数？不幸的是，可以没有任何限定地使用这些定律来化简到最简布尔表达式，只是需要一些经验。后面章节会提到有一些可简化布尔表达式的其他方法。

还可以利用这些定律证明布尔等式，如例3.7所示。

例3.7证明（x+y）（x′+y）=y。（x+y）（x′+y）=xx′+xy+yx′+yy（分配律）

=0+xy+yx′+yy（逆等律）

=0+xy+yx′+y（幂等律）

=xy+yx′+y（同一律）

=yx+yx′+y（交换律）

=y（x+x′）+y（分配律）

=y（1）+y（逆等律）

=y+y（同一律）

=y（幂等律）　　

为了证明两个布尔表达式相等，可以创建真值表进行比较。如果真值表相同，则表达式相等。可以把例3.7作为一个练习来证明真值表相等。