《计算机组成与体系结构（原书第4版）》 —2.3　不同进制之间的转换

2.3　不同进制之间的转换

戈特弗里德·莱布尼茨（1646—1716）首次将十进制系统推广到基于其他基的计数系统中。他认为任何整数都可以由一系列的1和0表示。直到20世纪40年代末建成第一个二进制数字计算机之前，这个二进制系统只是一种数学上的好奇心。今天，它几乎成为每一个依赖数字控制的电子设备的核心。

由于其简单性，所以二进制系统可以很容易地转换为电子电路，同时，也便于人们理解。经验丰富的计算机专业人员可以很轻松地识别较小的二进制数（如表2-1所示）。但是，通常在转换较大值和分数时，需要一台计算器或者铅笔和纸。幸运的是，转换技术通过一点练习就可以很容易地掌握。我们将在下面的小节中展示一些较简单的转换技术。

表2-1　一些需要记住的数字　

2.3.1　无符号整数的转换

我们从无符号数的基本转换开始。转换有符号数（可以是正数或负数）更复杂，重要的是，在继续转换有符号数之前需要首先了解转换的基本技术。

基数系统之间的转换可以通过使用重复减法或除留余数法来完成。减法比较麻烦，并且需要熟悉所使用的基数的幂。但是由于它是两种方法中更直观的，所以我们将首先解释它。

例如，假设我们要将10410转换为基数为3的数。我们知道34=81，它是小于104的3的最大幂，所以基数3的数字将会有5位数的宽度（每个基数幂一个：0～4）。我们用104减去81，差值为23。我们知道下一个幂为3，但33=27太大了，23不够减，所以注意到零“占位符”，并寻找需要多少次用32=9去分23。我们看到它可以执行两次并减去18。剩下5，从中减去31结果为3，留下2，2=2×30。这些步骤显示在例2.2中。

例2.2使用重复减法将10410转换为基数为3的数。

104-8123=34×1

-023=33×0

-185=32×2

-32=31×1

-20=30×2

10410＝102123　　除留余数方法是比重复减法更快更容易的方法。它采用的想法是使用基数的连续除法，实际上是基数幂的连续减法。我们顺序地除以基数，然后从底部到顶部读取得到的余数。该方法见例2.3。

例2.3转换10410到基数为3的数。

3104　2　104除以3结果是34，余数为2

334　1　34除以3结果是11，余数为1

311　2　11除以3结果是3，余数为2

33　0　3除以3结果是1，余数为0

31　1　1除以3结果是0，余数为1

　　0

从下向上读余数部分，得到：10410=102123。

此方法适用于任何基数，并且由于计算的简单性，所以它在从十进制到二进制的转换中特别有用。例2.4显示这样的转换过程。

例2.4把14710转换为二进制。

2147　1　147除以2结果是73，余数为1

273　1　73除以2结果是36，余数为1

236　0　36除以2结果是18，余数为0

218　0　18除以2结果是9，余数为0

29　1　9除以2结果是4，余数为1

24　0　4除以2结果是2，余数为0

22　0　2除以2结果是1，余数为0

21　1　1除以2结果是0，余数为1

　　0

从下向上读余数，得到：14710=10 010 0112。

具有N位的二进制数可以表示无符号整数的范围为0～2N-1。例如，4位可以表示十进制数0～15，而8位可以表示数0～255。当进行二进制数的算术操作时，可以由给定位数表示值的范围，这非常重要。考虑有一个4位长度的二进制数，我们希望把11112（1510）加到11112上。我们知道15加15是30，但30不能仅使用4位来表示。这是一个有溢出的例子，其发生在无符号二进制表示中，当算术运算的结果在给定位数允许的精度范围之外出现溢出时。在2.4节讨论有符号数字时，我们会更详细地解释溢出。