@TOC

前言

在编程竞赛中，数学基础是许多算法和问题求解的核心，尤其是在中国计算机学会（CSP-J）竞赛中，初等数论常常是考察的重点。初等数论研究整数的基本性质及其应用，涵盖了如最大公因数、最小公倍数、质数、同余理论等基本概念和方法。掌握这些内容不仅有助于解答数论相关题目，还能为后续学习复杂的算法打下坚实的基础。

在本文中，我们将深入探讨CSP-J中常见的初等数论知识，从整数的基本运算到辗转相除法、最小公倍数、质数判定、素数筛等经典算法，帮助你快速掌握这些关键数学概念及其应用场景。

声明

此课程是针对全国青少年信息学奥林匹克竞赛而创建的，针对人群有小学，初中，高中，所以各位大学生们嘴下留情！

初等数论是什么

初等数论是研究数的规律，特别是整数性质的数学分支。它是数论的一个最古老的分支。

初等数论历史

初等数学是数学的基础部分，涵盖了算术、代数、几何和初步的三角学等内容。其发展历史可以追溯到几千年前，伴随着人类文明的演进，逐渐形成了如今的体系。以下是初等数学发展的一些重要阶段：

1. 古代时期

• 古埃及和巴比伦（约公元前3000年 - 公元前300年）：最早的数学记录来自古埃及和巴比伦。这些文明使用数学进行日常事务，如土地测量、建筑工程、农业和天文计算。巴比伦人使用了60进制系统，这在时间和角度的测量中至今仍然使用。
• 古希腊（公元前600年 - 公元300年）：古希腊数学家，如毕达哥拉斯、欧几里得和阿基米德，为数学奠定了理论基础。欧几里得的《几何原本》系统地整理了几何学，成为几何学教学的标准。

2. 中世纪时期

• 印度和伊斯兰数学（公元500年 - 公元1500年）：印度数学家引入了“零”的概念，并发展了十进制记数法和代数。9世纪的波斯数学家花拉子米的著作《代数学》不仅推广了代数的应用，还奠定了现代代数的基础。伊斯兰数学家通过翻译希腊和印度的数学著作，对欧洲数学发展产生了重要影响。
• 中国古代数学：在中国，《九章算术》（约公元前2世纪）系统性地介绍了分数、比例、面积和体积计算等内容，并提出了“盈不足”方法（类似于代数解方程）。《周髀算经》等经典数学著作也推动了中国数学的发展。

3. 文艺复兴与近代

• 欧洲文艺复兴（公元15世纪 - 17世纪）：随着古希腊与阿拉伯数学著作的重新发现，欧洲开始了数学的复兴。意大利数学家如斐波那契引入了阿拉伯数字，并推广了代数的应用。笛卡尔的解析几何学和牛顿、莱布尼兹的微积分理论的创立标志着近代数学的诞生，极大扩展了初等数学的范畴。

4. 现代时期

• 19世纪 - 20世纪：随着数学领域的进一步分化和专业化，初等数学逐渐在教育体系中独立为一门基础学科。代数、几何和三角学被系统化地整理为中小学的基础课程，而数学教学的形式和内容也得到了标准化。现代初等数学仍然是今天数学教育的重要部分，并且不断通过新的技术和教育理论得以创新。

整数的整除性

约数

约数是一个整数能够整除另一个整数的数，通俗地说，就是“能够把另一个数分成整数份的数”。

比如说：

• 6 的约数是什么？能够把 6 分成整数份的数有 1、2、3 和 6。因为 6 可以被这些数整除，没有余数，所以它们是 6 的约数。具体来说：
  • 6 ÷ 1 = 6
  • 6 ÷ 2 = 3
  • 6 ÷ 3 = 2
  • 6 ÷ 6 = 1

总结一下：如果你能用某个整数去除另一个整数，而且结果是整数（没有小数或余数），那么前面的那个数就是后面那个数的约数。

什么样的整数除什么样的整数才能得到整数？

对于两个整数 ( a ) 和 ( b ) 来说，如果它们的除法结果是整数，即 ( a \div b ) 得到整数，那么这意味着 ( b ) 是 ( a ) 的约数，或者说 ( a ) 能被 ( b ) 整除。可以用数学语言来描述：

条件：

设 ( a ) 和 ( b ) 是两个整数，( a \div b ) 的结果是整数的条件是：

其中 ( k ) 是一个整数，表示 ( b ) 可以整除 ( a )。这等价于说 ( b ) 是 ( a ) 的约数，或者说 ( a ) 是 ( b ) 的倍数。

举例说明：

1.
，因为 2 是 10 的约数，5 是整数。
2.
，因为 3 是 15 的约数，5 是整数。
3.
，因为 4 不是 14 的约数，结果不是整数。

一般化：

• 如果 b整除a，即 b整除a（余数为 0），那么 b整除a 的结果是整数。
• 如果 a/b 的结果是整数，意味着 a是b的倍数。

因此，只有当一个整数是另一个整数的倍数时，它们的除法结果才是整数。

总结：

1. 当两个数整除时，如果没有余数，他们相除就是得到整数
2. 如果一个数是一个整数是另一个整数的倍数时，它们的除法结果也是整数a = b * k

判断两个数能否被整除

bool candiv(int a, int b)
{
    return (a % b) == 0;
}

因数与倍数

定义1:设a,b是整数， b≠0. 如果有一个整数c,它使得 a=bc, 则a叫做b的倍数，b叫做a的因数。我们有时说，b能整除a 或a能被b整除;

12 = 3 x 4
12 是 3 的倍数，3 是 12 的因数。3能整除12，或12能被3整除

如果b能整除a, 我们可以用 b|a这个符号来表示。如：

以下是几个例子，展示了整除关系及符号表示：

1. ( 3 | 6 )，因为 3 能整除 6。
2. ( 5 | 15 )，因为 5 能整除 15。
3. ( 4 | 12 )，因为 4 能整除 12。
4. ( 7 | 21 )，因为 7 能整除 21。
5. ( 9 | 18 )，因为 9 能整除 18。

在每个例子中，左侧的数（如 3, 5, 4, 7, 9）是右侧数的因数。

质数与复合数

引理1:设a,b是两个整数， b≠0. 则一定有并且只有两个整数q,r, 可使以下表达式成立：

定义2:一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，不能被其它正整除整除，这样的正整数叫做素数（也叫做质数）。

定义3:一个正整数除了能被1和它本身整除以外，还能被另外的正整数整除，这样的正整数叫做复合数（也叫做合数）。

由素数和复合数的定义，可知, 全体正整数可分为三类:
(1) 1这个数
(2)全体素数（质数）
(3)全体复合数（合数）

定义4:如果一个正整数a由一个因数b, 而b又是素数，则b就叫做a的素因数（质因数）。例如，12 = 3 × 4，3是素数，而4不是素数，所以3是12的素因数（质因数）。而4不是12的素因数。

引理1:如果a是一个大于1的整数，则a的大于1的最小因数一定是素数。（可以分素数和合数讨论证明）
这个引理说明了：任何大于1的整数都至少有一个素因数。

引理2:如果a是一个大于1的整数，而所有≤ 根号a 的素数都除不尽a, 则a是素数。
引理2的意思可以用更通俗的语言表述为：

如果 ( a ) 是一个大于 1 的整数，并且所有小于等于 ( \sqrt{a} ) 的素数都不能整除 ( a )，那么 ( a ) 一定是一个素数。

换句话说，要判断一个数 ( a ) 是否是素数，只需要检查比 ( \sqrt{a} ) 小的素数。如果这些素数都不能整除 ( a )，那么 ( a ) 就是素数。

举例：
比如，假设 ( a = 29 )。我们只需要检查 ( \sqrt{29} \approx 5.39 ) 以下的素数，即 2、3、5：

• 29 除以 2，得不到整数；
• 29 除以 3，得不到整数；
• 29 除以 5，得不到整数。

因此，29 是素数，因为这些素数都无法整除它。

这个引理提供了一个有效的素数判定方法，避免了对所有小于 ( a ) 的数进行检查。

使用开根号法判定质数

bool isPrime(int n) {
    if (n == 0 || n == 1) return false;
    for (int i = 2; i <= sqrt(n); i++) {
        if (n % i == 0) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

我们通过引言二可以得到上面的代码。
有一个问题，为什么i是2~sqrt(n)而不是2~sqrt(n)中间的素数呢？
这个代码不需要标明 i 是素数的原因是：

如果一个数 ( n ) 能被某个合数（非素数）整除，那么它也一定能被这个合数的因数整除。换句话说，只要检查从 2 到 ( \sqrt{n} ) 之间的所有整数是否能整除 ( n )，就足够判断 ( n ) 是否是素数。

具体原因可以通过以下解释来理解：

1. 合数的因数分解：
   假设 ( n ) 是一个合数，那么它可以写成两个数的乘积 ( n = a \times b )，其中 ( a ) 和 ( b ) 都大于 1。假设 ( a \leq b )，那么必然有 ( a \leq \sqrt{n} )。因此，只要我们检查 ( \sqrt{n} ) 以内的所有整数，肯定可以找到 ( n ) 的一个因数 ( a )（如果存在的话）。

2. 不需要单独检查素数：
   假如 ( i ) 是合数，比如 ( i = 6 )，如果 ( n ) 能被 6 整除，说明 ( n ) 也能被 2 或 3 整除（因为 6 是 2 和 3 的乘积）。而在遍历时，程序已经检查了 2 和 3，没必要再单独检查 6 这个合数。换句话说，合数的因数会在之前的循环中通过它们的较小素数因子被检测到。

因此，通过遍历从 2 到 ( \sqrt{n} ) 之间的所有整数，我们已经能有效地判断 ( n ) 是否是素数，而不需要特别标明 ( i ) 是否是素数。

哥德巴赫猜想

哥德巴赫猜想：凡是大于2的偶数都是两个奇素数之和！如：

6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5,
12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7, 16 = 3 + 13,
18 = 5 + 13, 20 = 7 + 13, 22 = 3 + 19

哥德巴赫猜想并未完全验证，只是在一个特定范围内的数有效果

最大公因数与辗转相除法

最大公因数（Greatest Common Divisor, GCD），又称为最大公约数，是指两个或多个整数的共有因数中最大的那个数。换句话说，最大公因数是能够整除这些整数的最大的正整数。

计算最大公因数的常用方法：

1. 列出所有因数法：分别列出每个数的所有因数，然后找出它们的公共因数中的最大者。
2. 欧几里得算法（辗转相除法）：基于以下定理：对于两个整数 (a) 和 (b)，它们的最大公因数等于 (b) 和 (a % b) 的最大公因数，反复进行这个过程直到余数为 0，最后的非零余数即为最大公因数。

举几个例子：

例子 1: 计算 12 和 18 的最大公因数

1. 列出因数法：

   • 12 的因数：1, 2, 3, 4, 6, 12
   • 18 的因数：1, 2, 3, 6, 9, 18
   • 公共因数：1, 2, 3, 6
   • 最大的公共因数是 6，因此 ( \text{GCD}(12, 18) = 6 )。

2. 欧几里得算法：
   

例子 2: 计算 56 和 98 的最大公因数

1. 列出因数法：

   • 56 的因数：1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56
   • 98 的因数：1, 2, 7, 14, 49, 98
   • 公共因数：1, 2, 7, 14
   • 最大的公共因数是 14，因此 ( \text{GCD}(56, 98) = 14 )。

2. 欧几里得算法：
   

例子 3: 计算 25 和 40 的最大公因数

1. 列出因数法：

   • 25 的因数：1, 5, 25
   • 40 的因数：1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40
   • 公共因数：1, 5
   • 最大的公共因数是 5，因此 ( \text{GCD}(25, 40) = 5 )。

2. 欧几里得算法：
   

编程使用辗转相除法

根据定义，我们可以写出下面代码

int gcd(int a, int b) {
    while (b != 0) {
        int temp = b;
        b = a % b;
        a = temp;
    }
    return a;
}

如果这里用递归会更加简洁

最小公倍数与求解方法

最小公倍数（Least Common Multiple, LCM）是指能够同时被两个或多个整数整除的最小正整数。换句话说，最小公倍数是这些整数的公倍数中最小的一个。

求解方法：

1. 质因数分解法：将每个数分解为质因数，然后取每个质因数的最高次幂相乘。

2. 最大公因数法：利用两个数的最大公因数（GCD）与最小公倍数的关系：
   

   这里 ( GCD(a, b) ) 是两个数的最大公因数。

例子：

• LCM(12, 18)：
  1. 求 GCD(12, 18) = 6（可以通过辗转相除法求得）。
  2. 计算 LCM(12, 18) = ( )。
     

C语言函数实现：

我们可以结合先求最大公因数（GCD），然后通过公式计算最小公倍数（LCM）。以下是一个完整的 C 语言实现：

#include <stdio.h>

// 计算最大公因数（GCD）的函数，使用辗转相除法
int gcd(int a, int b) {
    while (b != 0) {
        int temp = b;
        b = a % b;
        a = temp;
    }
    return a;
}

// 计算最小公倍数（LCM）的函数
int lcm(int a, int b) {
    return (a * b) / gcd(a, b);  // 利用LCM与GCD的关系
}

int main() {
    int num1, num2;
    printf("请输入两个整数：");
    scanf("%d %d", &num1, &num2);

    printf("最小公倍数是：%d\n", lcm(num1, num2));

    return 0;
}

解释：

1. 函数 gcd：使用辗转相除法计算最大公因数。
2. 函数 lcm：利用 ( \text{LCM}(a, b) = \frac{|a \times b|}{\text{GCD}(a, b)} ) 公式计算最小公倍数。
3. main 函数：接受用户输入两个整数，并输出它们的最小公倍数。

示例运行：

请输入两个整数：12 18
最小公倍数是：36

这个程序通过先计算最大公因数，再利用公式求解最小公倍数。

总结

通过本文的学习，你应该对初等数论的基础知识有了全面的理解。从最大公因数、最小公倍数的求解方法到质数的判定，我们不仅分析了这些概念的数学原理，还提供了高效的算法实现。初等数论不仅是竞赛中的重要模块，也是许多算法的基础。掌握这些数学技巧后，你将能够应对更多复杂的数论问题，为解决更高级别的编程挑战奠定基础。

希望本文能够为你的CSP-J备考提供帮助，并激发你对数论的进一步兴趣与探索。