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希尔伯特(Hilbert)变换信号瞬时频率计算

aqhs 发表于 2022/05/26 11:20:31 2022/05/26

【摘要】通过希尔伯特变换(Hilbert Transform)，可以构建实信号序列的解析信号(复信号序列，原信号为实部，希尔变换序列为虚部)，从而使得对信号进行瞬时幅度和瞬时频率(瞬时相位)计算成为可能，适合于平稳窄带信号分析。

希尔伯特(Hilbert)变换信号瞬时频率计算

通过希尔伯特变换(Hilbert Transform)，可以构建实信号序列的解析信号(复信号序列，原信号为实部，希尔变换序列为虚部)，从而使得对信号进行瞬时幅度和瞬时频率(瞬时相位)计算成为可能，适合于平稳窄带信号分析。

实连续时间信号x(t)的希尔伯特(Hilbert)变换定义为：

希尔伯特变换是幅频特性为1的全通滤波，信号x(t)通过希尔伯特变换后，其负频率成分作+90º 相移，而正频率成分作-90º 相移。

希尔伯特FIR滤波器单位抽样响应为：

n = -N, -N+1, …, -1, 0, 1, 2, …, N-1, N，h(0)=0。

设信号为x(n)，其希尔伯特变化为x’(n)，那么x’(n)=x(n)*h(n)，解析信号为复信号，即z(n) = x(n) + jx’(n)，x(n)是解析信号的实部，x’(n)是解析信号的虚部。希尔伯特变换可以提供90º 的相位变化而不改变频谱分量的幅度，对信号进行希尔伯特变换就相当于对该信号进行了正交移相，使它成为自己的正交对。实部和虚部功率谱相同，⾃相关函数相同。

有了解析信号就可以计算包络(瞬时振幅a(n))和瞬时相位φ(n)，对瞬时相位求导数计算瞬时频率f(n)。

y=arctg(x)是反正切函数，y∈(-π/2, π/2)。

信号通过希尔伯特变换(Hilbert Transform)，使得我们对短信号和复杂信号的瞬时参数的定义及计算成为可能，能够实现真正意义上的瞬时信号提取，因而希尔伯特变换在信号处理上具有十分重要的地位。希尔伯特变换只能近似地应用于窄带信号，对任意给定的t时刻，通过希尔伯特变换运算得到的结果只能存在一个频率，即只能处理任何时刻为单一频率的信号。对于非平稳的信号序列，希尔伯特变换得到的结果很大程度上失去了原有的物理意义。

参考文献：

[1] 梁志国. 用Hilbert变换进行FM信号解调的一种数据处理方式[J]. 计量学报, 2016年11月，第37卷第6期，第644-648页。
[2] 秦毅，王家序，汤宝平. 基于迭代Hilbert变换的多分量信号分解解调方法研究及应用[J]. 机械工程学报，2009年8月，第45卷第8期，第37-44页。

计算举例：

使用多道信号分析软件，计算信号的瞬时幅度、频率以及包络信号，其中包络信号是瞬时幅度经过滑动平均后得到的。菜单操作：《分析》→通用分析》→《Hilbert瞬时频率》，出现如下对话框，要求用户输入计算的参数，

输入参数包括希尔伯特FIR滤波器的阶数(范围[1,200])，以及计算信号包络时的滑动窗口长度(s)。

例子1：以下是一段2分钟脉搏波瞬时幅度、频率和包络计算结果，脉搏波的信号采样率为200Hz。

在以上信号瞬时频率、幅度、包络波形显示窗口中，双击鼠标左键或者回车，可以定位原始信号波形显示窗口中的时间位置；在波形的起点位置按下鼠标左键不松开，移动鼠标至终点后松开鼠标左键，此时弹出对话框，用户可以输入显示的时间段，以便展开显示细节；

在波形中点击鼠标右键弹出菜单：

各菜单项的功能如下：

“与波形同步”：是将瞬时频率、幅度波形的显示与原始信号显示同起点和终点。
“全程显示”：全程显示瞬时幅度、频率和包络曲线。
“通道信息”：显示如下通道的信息，

“通道平滑”：弹出对话框，要求用户输入对当前通道进行平滑的滑动窗口长度，秒。然后对该通道平滑，并更新波形显示。
“新增到信号通道”：将当前通道，复制到原始信号显示窗口的一个新增加的通道之中。
“数据导出”：将该窗口中的四路信号保存为ASCII文件，后缀为*.txt或者*.csv，数据文件包括五列，分别是序号，原信号，瞬时幅度，瞬时频率，包络。数据的第1行是标题。

在右边的通道标记上点击鼠标右键将弹出菜单，