离散小波变换用于信号滤波(信号的小波分解与合成)

离散小波变换用于信号滤波
(信号的小波分解与合成)

使用离散小波变换将信号分解成多个分量，用其中的一些有效分量合成新的信号，达到滤波的效果。

小波系数选择：可以从47种小波系数(小波基)中选择其一来对信号进行变换，可选择的小波系数如下表。

小波系数的长度选择：小波系数长度是2的整数次幂，可以根据信号长度和特性，从32、64、128、256、512、1024、2048、4096、8192、16384、32768中选择之一。小波系数的长度决定了信号分量的个数，如果小波系数的长度为2的k次方，那么信号分解后的分量个数为k-1，如小波系数长度为1024，那么信号分量个数为9。

打开信号数据文件：信号数据文件可以是ASCII文件（*.txt、*.csv，单列数据）或者二进制文件(*.bin16bits)，文件中保存一段信号数据，如果数据长度超过8192点，则只能处理前8192点。点击“打开”按钮弹出对话框选择要打开的数据文件。

保存信号分量：原始信号以及各信号的各分量可以保存到ASCII文件中(*.txt，多列数据)。在分量显示波形中点击鼠标右键弹出菜单，出现四个菜单项：【重叠】【网格】【属性】【保存】，选择其中【保存】菜单项，可以将原始信号以及各分量保存到ASCII文件之中(*.txt)，其中第1列为原始信号数据，其他列为各分量。

保存小波系数：可以保存小波系数到ASCII文件(*.txt)，操作：点击FilterID，弹出菜单，选择【Save Filter】保存小波系数。小波系数以ASCII文本文件保存(*.txt)，共四列系数分别代表：分解低通、分解高通、复原低通、复原高通。

查看小波系数波形：操作：点击FilterID，弹出菜单，选择【View Wavelet】查看小波系数波形。如下图所示Daub8小波系数波形，其中蓝色曲线为概貌滤波器系数，红色曲线为细节滤波器系数。

合成信号分量选择：通过左边的勾选框，可以选择用于合成信号的分量，打勾的分量参与信号合成。

重新计算信号分量：在调整小波参数（小波系数类型以及小波系数长度）之后，点击“计算”按钮可以按照新的参数重新计算信号小波变换分量。

小波变换信号滤波举例：打开原始信号数据文件，原始信号长度为3000点，选择小波变换系数为Daub8 (Daubechies德比切斯小波)，小波系数长度为4096，点击“计算”按钮，将信号分解为11各分量，选择其中第3，4，5，6，7，8分量(打勾的分量)叠加产生合成信号，达到信号滤波的目的。如下图所示。

命令行启动运行：例如：D:\cbsMSA\cbsWavelet\cbsWavelet.exe "d:\3033_rri.bin16bits"。

软件运行环境：个人计算机(PC)，Windows操作系统（Windows95, 98, 2000, XP, Windows7, 10）。

作者邮箱：chengbowork@163.com

离散小波变换基础

(1)小波分析概述

“小波(Wavelet)”就是小的波形，“小”是指它具有衰减性；“波”是指它具有波动性，其振幅具有正负相间的震荡形式。与Fourier变换相比，小波变换是时间(空间)频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier变换的困难问题，成为继Fourier变换以来在科学方法上的重大突破。有人把小波变换称为“数学显微镜”。

(1.1)产生历史
小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际经验的需要建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。正如1807年法国的热学工程师J.B.J.Fourier提出任一函数都能展开成三角函数的无穷级数的创新概念未能得到著名数学家J.L.Lagrange，P.S.Laplace以及A.M.Legendre的认可一样。幸运的是，早在七十年代，A.Calderon表示定理的发现、Hardy空间的原子分解和无条件基的深入研究为小波变换的诞生做了理论上的准备，而且J.O.Stromberg还构造了历史上非常类似于当前的小波基；1986年著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的统一方法与多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来，其中比利时女数学家I.Daubechies撰写的《小波十讲（Ten Lectures on Wavelets）》对小波的普及起了重要的推动作用。它与Fourier变换、窗口Fourier变换（Gabor变换）相比，这是一个时间和频率的局域变换，因而能有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis），解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题，从而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进展。

(1.2)分析方法
小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起的。它已经在科技信息产业领域取得了令人瞩目的成就。电子信息技术是六大高新技术中重要的一个领域，它的重要方面是图像和信号处理。现今，信号处理已经成为当代科学技术工作的重要部分，信号处理的目的就是：准确的分析、诊断、编码压缩和量化、快速传递或存储、精确地重构（或恢复）。从数学地角度来看，信号与图像处理可以统一看作是信号处理（图像可以看作是二维信号），在小波分析的许多应用中，都可以归结为信号处理问题。对于其性质随时间是稳定不变的信号，处理的理想工具仍然是傅立叶分析。但是在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的，而特别适用于非稳定信号的工具就是小波分析。

(1.3)发展现状
小波分析是当前应用数学和工程学科中一个迅速发展的新领域，经过近10年的探索研究，重要的数学形式化体系已经建立，理论基础更加扎实。与Fourier变换相比，小波变换是空间(时间)和频率的局部变换，因而能有效地从信号中提取信息。通过伸缩和平移等运算功能可对函数或信号进行多尺度的细化分析，解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。小波变换联系了应用数学、物理学、计算机科学、信号与信息处理、图像处理、地震勘探等多个学科。数学家认为，小波分析是一个新的数学分支，它是泛函分析、Fourier分析、样条分析、数值分析的完美结晶；信号和信息处理专家认为，小波分析是时间-尺度分析和多分辨分析的一种新技术，它在信号分析、语音合成、图像识别、计算机视觉、数据压缩、地震勘探、大气与海洋波分析等方面的研究都取得了有科学意义和应用价值的成果。小波分析是当前数学中一个迅速发展的新领域，它同时具有理论深刻和应用十分广泛的双重意义。

(1.4)应用领域
事实上小波分析的应用领域十分广泛，它包括：数学领域的许多学科；信号分析、图像处理；量子力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化；计算机分类与识别；音乐与语言的人工合成；医学成像与诊断；地震勘探数据处理；大型机械的故障诊断等方面；例如，在数学方面，它已用于数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等。在图像处理方面的图像压缩、分类、识别与诊断、去污等。在医学成像方面的减少B超、CT、核磁共振成像的时间，提高分辨率等。(a)小波分析用于信号与图像压缩是小波分析应用的一个重要方面。它的特点是压缩比高，压缩速度快，压缩后能保持信号与图像的特征不变，且在传递中可以抗干扰。基于小波分析的压缩方法很多，比较成功的有小波包最好基方法、小波域纹理模型方法、小波变换零树压缩、小波变换向量压缩等。(b)小波在信号分析中的应用也十分广泛。它可以用于边界的处理与滤波、时频分析、信噪分离与提取弱信号、求分形指数、信号的识别与诊断以及多尺度边缘检测等。(c)在工程技术等方面的应用。包括计算机视觉、计算机图形学、曲线设计、湍流、远程宇宙的研究与生物医学方面。(d)离散小波变换已经应用到新一代图像压缩标准算法中。

(2)小波变换

(3)离散小波变换计算

离散小波变换是一种快速线性运算，它对长度是2的幂次数据向量进行操作，将它变换成同样长度但在数字上不同的量，小波变换是可逆的变换。小波变换为信号分析提供了多分辨率和多标度的分析观点。信号粗略的看是平稳的，而在细节处用一个很小的窗口观察则信号的不连续性变得明显起来，小波变换的目的是既要看到信号的概貌又要看到信号的细节。小波变换在信号与图象分析、信号的奇异性检测、地球物理信号处理、计算机视觉和编码、语音合成与分析、谱估计等的理论和实践中得到了广泛的应用。一组特定的小波由一组称为小波滤波系数的数集标定。这里我们讨论由德比契斯（Daubechies）发明的一种滤波器。这种滤波器组包括从高度局部到高度光滑的滤波系数。以下以四个系数为例，讨论这种变换的概念。考虑下面的变换矩阵，将它作用于一列数据向量的左边。

这里空处表示零。注意此矩阵的结构：奇数行产生一个数据与滤波系数c0, c1, c2, c3卷积的分量，而偶数行是数据与系数c3, -c2, c1, -c0进行卷积。整个矩阵的作用就是进行两个相关的卷积，然后各去掉一半数值，将剩下的各一半溶在一起。将滤波器c0, c1, c2, c3看成是一个光滑滤波器（H），H有点象四点移动平均；滤波器c3, -c2, c1, -c0看成是一个不光滑滤波器（G），G对足够光滑的数据产生零响应。这导致H的输出在去掉一半后精确地代表了数据的光滑信息，G的输出去掉一半以后称为数据的细节信息。上述矩阵的逆矩阵就是它的转置，作用于数据向量的左边产生逆变换。通过上述变换矩阵T可以定义离散小波变换（DWT），DWT的输出可通过分级地应用上述小波系数矩阵而得到，可用如下框图来表示该过程：

首先是长度为N的全部向量，接着是长度为N/2的光滑向量，再接着是长度为N/4的“光滑-光滑”向量，这样一直下去直到一个数目非常小的（通常为2）的“光滑-光滑-…-光滑”分量留下来。这个过程有时称为“角锥形算法”。上述框图表示中，di一旦产生就保留到下一级，终点永远是两个S，所以细节分量在这个过程中逐步积累起来了。一维小波变换很容易就可以扩展到多维小波变换，一个d维数组的小波变换根据其下标顺序的做一维小波变换即可完成，首先是第一个下标对应的所有值，接下来是第二个下标对应的所有值，等等。小波变换不同于其他变换, 它没有独特的小波集，实际上可能有无限多个，不同的小波在空间上局域的疏密程度和光滑程度进行权衡。下面我们给出一组德比切斯（Daubechies）发明的一种滤波器。

参考文献：

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[4] 徐佩霞，孙功宪 编著. 小波分析与应用实例[M]. 合肥 中国科学技术大学出版社. 1996年7月第1版.

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作者邮箱：chengbowork@163.com