计算机基础-----数据的表示
【摘要】 数据的表示主要涉及到数制转换、数据编码、浮点数计算三个方面的内容。1. 数制转换（1）R进制数转换成十进制数R进制数转换成十进制数通常使用按权展开法。具体操作方式为：将R进制数的每一位数值用Rk形式表示，即幂的底数是R，指数为k，k与该位和小数点之间的距离有关。当该位位于小数点左边， k值是该位和小数点之间数码的个数，而当该位位于小数点右边，k值是负值，其绝对值是该位和小数点之间数码的个数加...
数据的表示主要涉及到数制转换、数据编码、浮点数计算三个方面的内容。
1. 数制转换
（1）R进制数转换成十进制数
R进制数转换成十进制数通常使用按权展开法。具体操作方式为：将R进制数的每一位数值用Rk形式表示，即幂的底数是R，指数为k，k与该位和小数点之间的距离有关。当该位位于小数点左边， k值是该位和小数点之间数码的个数，而当该位位于小数点右边，k值是负值，其绝对值是该位和小数点之间数码的个数加1。
例如二进制数l0101.01的值可计算如下：
l0101.01=1×24+1×22+1×20+1×
按照上面的表示法，即可计算出R进制数十进制的值。
（2）十进制数转换为R进制数
最常用的是“除以R取余法”。例如将十进制数85转换为二进制数：
2|85余1
2|420
2|21 1
2|100
2|5 1
2|2 0
1 1
将所得的余数从低位到高位排列（1010101）2就是85的二进制数。
（3）二进制数与八进制数、十六进制数之间的转换
二进制转八进制：将每3个二进制数转换为八进制数；
二进制转十六进制数：将每4个二进制数转换为八进制数；
八进制转二进制：将每个八进制数转换为3位二进制数；
十六进制转二进制：将每个十六进制数转换为4位二进制数。
上面的转换都是以小数点作为计算数码个数的起点。八进制数和十六进制数转换可先转换为二 进制数，然后再转换为目标进制。
2. 原码、反码、补码、移码
在计算机中，数据编码方式可以有多种，最为常见的有原码、反码、补码、移码。一个正数的原码、补码、反码是相同的，负数则不同。
（1）原码
将最高位用做符号位（0表示正数，1表示负数），其余各位代表数值本身的绝对值的表示形 式。这种方式是最容易理解的。
例如，+1的原码是00000001，–1的原码是10000001。
但是直接使用原码在计算时却会有麻烦，比如(1)10+(–1)10=0，如果直接使用原码则：
(00000001)2＋(10000001)2=(10000010)2
这样计算的结果是–2，也就是说，使用原码直接参与计算可能会出现错误的结果。所以，原码的符号位不能直接参与计算，必须和其它位分开，这样会增加硬件的开销和复杂性。（2）反码
正数的反码与原码相同。负数的反码符号位为1，其余各位为该数绝对值的原码按位取反。这个取反的过程使得这种编码称为“反码”。
例如，–1的反码：11111110。
同样对上面的加法，使用反码的结果是：
(00000001)2+(11111110)2=(11111111)2
这样的结果是负0，而在人们普遍的观念中，0是不分正负的。反码的符号位可以直接参与计算，而且减法也可以转换为加法计算。
（3）补码
正数的补码与原码相同。负数的补码是该数的反码加1，这个加1就是“补”。
例如，–1的补码：11111110+1=11111111。
再次做加法是这样的：
(00000001)2+(11111111)2=(00000000)2
直接使用补码进行计算的结果是正确的。
对一个补码表示的数，要计算其原码，只要对它再次求补，可得该数的原码。
由于补码能使符号位与有效值部分一起参加运算，从而简化运算规则，同时它也使减法运算转换为加法运算，进一步简化计算机中运算器的电路，这使得在大部分计算机系统中，数据都使用补码表示。
（3）移码
移码是对补码的符号位取反得到的一种编码。移码只用于表示浮点数的阶码，所以只用于整
数。
例如，-1的移码为：01111111。
3. 浮点数计算
在数学中，要表示一个很大的数时，我们常常使用一种称为科学计数法的方式：
N=M*Re
其中M称为尾数，e是指数，R为基数。
浮点数就是使用这种方法来表示大范围的数，其中指数一般是2，8，16。而且对于特定机器而言，指数是固定不变的，所以在浮点数中指数并不出现。从这个表达式可以看出：浮点数表示的精读取决于尾数的宽度，范围取决于基数的大小和指数的宽度。浮点数的运算主要有三个步骤：对阶、尾数计数、结果格式化。
（1）对阶
首先计算两个数的指数差，把指数小的向指数大的对齐，并将尾数右移指数差的位数，这样两个浮点数就完成了对阶的操作。可以看出，对阶的过程可能使得指数小的浮点数失去一些有效位。
如果两个浮点数阶数相差很大，大于指数小的浮点数的尾数宽度，那么对阶后那个浮点数的尾数就变成了0，即当做机器零处理了。
（2）尾数计算
对阶完成后，两个浮点数尾数就如同定点数，计算过程同定点数计算。
（3）结果格式化
尾数计算后，可能会产生溢出，此时将尾数右移，同时指数加1，如果指数加1后发生了溢出则表示两个浮点数的运算发生了溢出。
如果尾数计算没有溢出，则尾数不断左移，同时指数减1，直到尾数为格式化数。如果这个过程 中，指数小于机器能表达的最小数，则将结果置“机器零”，这种情况称为下溢。
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