排序算法（Python）

一、冒泡排序

冒泡排序 （英语：Bubble Sort）是一种简单的排序算法。它重复地遍历要排序的数列，一次比较两个元素，如果他们的顺序错误就把他们交换过来。遍历数列的工作是重复地进行直到没有再需要交换，也就是说该数列已经排序完成。这个算法的名字由来是因为越小的元素会经由交换慢慢“浮”到数列的顶端。

冒泡排序算法的运作如下：

• 比较相邻的元素。如果第一个比第二个大（升序），就交换他们两个。

• 对每一对相邻元素作同样的工作，从开始第一对到结尾的最后一对。这步做完后，最后的元素会是最大的数。

• 针对所有的元素重复以上的步骤，除了最后一个。

• 持续每次对越来越少的元素重复上面的步骤，直到没有任何一对数字需要比较。

冒泡排序的分析

交换过程图示(第一次)：

那么我们需要进行n-1次冒泡过程，每次对应的比较次数如下图所示：

def bubble_sort(alist):

for j in range(len(alist)-1,0,-1):

# j 表示每次遍历需要比较的次数，是逐渐减小的

for i in range(j):

if alist[i] > alist[i+1]:

alist[i], alist[i+1] = alist[i+1], alist[i]

li = [54,26,93,17,77,31,44,55,20]

bubble_sort(li)

print(li)

时间复杂度

• 最优时间复杂度：O(n) （表示遍历一次发现没有任何可以交换的元素，排序结束。）

• 最坏时间复杂度：O(n2)

• 稳定性：稳定

二、选择排序

选择排序（Selection sort）是一种简单直观的排序算法。它的工作原理如下。首先在未排序序列中找到最小（大）元素，存放到排序序列的起始位置，然后，再从剩余未排序元素中继续寻找最小（大）元素，然后放到已排序序列的末尾。以此类推，直到所有元素均排序完毕。

选择排序的主要优点与数据移动有关。如果某个元素位于正确的最终位置上，则它不会被移动。选择排序每次交换一对元素，它们当中至少有一个将被移到其最终位置上，因此对n个元素的表进行排序总共进行至 多n-1次交换。在所有的完全依靠交换去移动元素的排序方法中，选择排序属于非常好的一种。

选择排序分析

排序过程：

def selection_sort(alist):

n = len(alist)

# 需要进行 n-1 次选择操作

for i in range(n-1):

# 记录最小位置

min_index = i

# 从 i+1 位置到末尾选择出最小数据

for j in range(i+1, n):

if alist[j] < alist[min_index]:

min_index = j

# 如果选择出的数据不在正确位置，进行交换

if min_index != i:

alist[i], alist[min_index] = alist[min_index], alist[i]

alist = [54,226,93,17,77,31,44,55,20]

selection_sort(alist)

print(alist)

时间复杂度

• 最优时间复杂度：O(n2)

• 最坏时间复杂度：O(n2)

• 稳定性：不稳定（考虑升序每次选择最大的情况）

三、插入排序

插入排序（英语：Insertion Sort）是一种简单直观的排序算法。它的工作原理是通过构建有序序列，对于未排序数据，在已排序序列中从后向前扫描，找到相应位置并插入。插入排序在实现上，在从后向前扫描过程中，需要反复把已排序元素逐步向后挪位，为最新元素提供插入空间。

插入排序分析

def insert_sort(alist):

# 从第二个位置，即下标为 1 的元素开始向前插入

for i in range(1, len(alist)):

# 从第 i 个元素开始向前比较，如果小于前一个元素，交换位置

for j in range(i, 0, -1):

if alist[j] < alist[j-1]:

alist[j], alist[j-1] = alist[j-1], alist[j]

alist = [54,26,93,17,77,31,44,55,20]

insert_sort(alist)

print(alist)

时间复杂度

• 最优时间复杂度：O(n) （升序排列，序列已经处于升序状态）

• 最坏时间复杂度：O(n2)

• 稳定性：稳定

四、快速排序

快速排序（英语：Quicksort），又称划分交换排序（partition-exchange sort），通过一趟排序将要排序的数据分割成独立的两部分，其中一部 分的所有数据都比另外一部分的所有数据都要小，然后再按此方法对这两部分数据分别进行快速排序，整个排序过程可以递归进行，以此达到整个数据变成有序序列。

步骤为：

1. 从数列中挑出一个元素，称为"基准"（pivot），

2. 重新排序数列，所有元素比基准值小的摆放在基准前面，所有元素比基准值大的摆在基准的后面（相同的数可以到任一边）。在这个分区结束之后，该基准就处于数列的中间位置。这个称为分区（partition）操作。

3. 递归地（recursive）把小于基准值元素的子数列和大于基准值元素的子数列排序。

递归的最底部情形，是数列的大小是零或一，也就是永远都已经被排序好了。虽然一直递归下去，但是这个算法总会结束，因为在每次的迭代（iteration）中，它至少会把一个元素摆到它最后的位置去。

快速排序的分析

def quick_sort(alist, start, end):

""" 快速排序 """

# 递归的退出条件

if start >= end:

return

# 设定起始元素为要寻找位置的基准元素

mid = alist[start]

# low 为序列左边的由左向右移动的游标

low = start

# high 为序列右边的由右向左移动的游标

high = end

while low < high:

# 如果 low 与 high 未重合， high 指向的元素不比基准元素小，则 high 向左移动

while low < high and alist[high] >= mid:

high -= 1

# 将 high 指向的元素放到 low 的位置上

alist[low] = alist[high]

# 如果 low 与 high 未重合， low 指向的元素比基准元素小，则 low 向右移动

while low < high and alist[low] < mid:

low += 1

# 将 low 指向的元素放到 high 的位置上

alist[high] = alist[low]

# 退出循环后， low 与 high 重合，此时所指位置为基准元素的正确位置

# 将基准元素放到该位置

alist[low] = mid

# 对基准元素左边的子序列进行快速排序

quick_sort(alist, start, low-1)

# 对基准元素右边的子序列进行快速排序

quick_sort(alist, low+1, end)

alist = [54,26,93,17,77,31,44,55,20]

quick_sort(alist,0,len(alist)-1)

print(alist)

时间复杂度

• 最优时间复杂度：O(nlogn)

• 最坏时间复杂度：O(n2)

• 稳定性：不稳定

从一开始快速排序平均需要花费O(n log n)时间的描述并不明显。但是不难观察到的是分区运算，数组的元素都会在每次循环中走访过一次，使用O(n)的时间。在使用结合（concatenation）的版本中，这项运算也是O(n)。

在最好的情况，每次我们运行一次分区，我们会把一个数列分为两个几近相等的片段。这个意思就是每次递归调用处理一半大小的数列。因此， 在到达大小为一的数列前，我们只要作log n次嵌套的调用。这个意思就是调用树的深度是O(log n)。但是在同一层次结构的两个程序调用中，不会处理到原来数列的相同部分；因此，程序调用的每一层次结构总共全部仅需要O(n)的时间（每个调用有某些共同的额外耗费，但是因为在每一层次结构仅仅只有O(n)个调用，这些被归纳在O(n)系数中）。结果是这个算法仅需使用O(n log n)时间。

五、希尔排序

希尔排序(Shell Sort)是插入排序的一种。也称缩小增量排序，是直接插入排序算法的一种更高效的改进版本。希尔排序是非稳定排序算法。该方法因DL．Shell于1959年提出而得名。 希尔排序是把记录按下标的一定增量分组，对每组使用直接插入排序算法排序；随着增量逐渐减少，每组包含的关键词越来越多，当增量减至1时，整个文件恰被分成一组，算法便终止

希尔排序过程

希尔排序的基本思想是：将数组列在一个表中并对列分别进行插入排序，重复这过程，不过每次用更长的列（步长更长了，列数更少了）来进行。最后整个表就只有一列了。将数组转换至表是为了更好地理解这算法，算法本身还是使用数组进行排序。

例如，假设有这样一组数[ 13 14 94 33 82 25 59 94 65 23 45 27 73 25 39 10 ]，如果我们以步长为5开始进行排序，我们可以通过将这列表放在有5列的表中来更好地描述算法，这样他们就应该看起来是这样(竖着的元素是步长组成)：

13 14 94 33 82

25 59 94 65 23

45 27 73 25 39

10

然后我们对每列进行排序：

10 14 73 25 23

13 27 94 33 39

25 59 94 65 82

45

将上述四行数字，依序接在一起时我们得到：[ 10 14 73 25 23 13 27 94 33 39 25 59 94 65 82 45 ]。这时10已经移至正确位置了，然后再以3为步长进行排序：

10 14 73

25 23 13

27 94 33

39 25 59

94 65 82

45

排序之后变为：

10 14 13

25 23 33

27 25 59

39 65 73

45 94 82

94

最后以1步长进行排序（此时就是简单的插入排序了）

def shell_sort(alist):

n = len(alist)

# 初始步长

gap = n / 2

while gap > 0:

# 按步长进行插入排序

for i in range(gap, n):

j = i

# 插入排序

while j>=gap and alist[j-gap] > alist[j]:

alist[j-gap], alist[j] = alist[j], alist[j-gap]

j -= gap

# 得到新的步长

gap = gap / 2

alist = [54,26,93,17,77,31,44,55,20]

shell_sort(alist)

print(alist)

时间复杂度

• 最优时间复杂度：根据步长序列的不同而不同

• 最坏时间复杂度：O(n2)

• 稳定想：不稳定

六、归并排序

归并排序是采用分治法的一个非常典型的应用。归并排序的思想就是先递归分解数组，再合并数组。

将数组分解最小之后，然后合并两个有序数组，基本思路是比较两个数组的最前面的数，谁小就先取谁，取了后相应的指针就往后移一位。然后再比较，直至一个数组为空，最后把另一个数组的剩余部分复制过来即可。

def merge_sort(alist):

if len(alist) <= 1:

return alist

# 二分分解

num = len(alist)/2

left = merge_sort(alist[:num])

right = merge_sort(alist[num:])

# 合并

return merge(left,right)

def merge(left, right):

''' 合并操作，将两个有序数组 left[] 和 right[] 合并成一个大的有序数组 '''

#left 与 right 的下标指针

l, r = 0, 0

result = []

while l<len(left) and r<len(right):

if left[l] < right[r]:

result.append(left[l])

l += 1

else:

result.append(right[r])

r += 1

result += left[l:]

result += right[r:]

return result

alist = [54,26,93,17,77,31,44,55,20]

sorted_alist = mergeSort(alist)

print(sorted_alist)

时间复杂度

• 最优时间复杂度：O(nlogn)

• 最坏时间复杂度：O(nlogn)

• 稳定性：稳定