离散无记忆与有记忆信源的序列熵

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离散无记忆信源的序列熵

马尔可夫信源的特点：无后效性。

发出单个符号的信源

• 指信源每次只发出一个符号代表一个消息;

发出符号序列的信源

• 指信源每次发出一组含二个以上符号的符号序列代表一个消息。

当信源无记忆时：

$$\begin{aligned} p(\bar{X}&\left.=x_{i}\right)=p\left(x_{i_{1}}, x_{i_{2}}, \cdots, x_{i_{L}}\right) =p\left(x_{i_{1}}\right) p\left(x_{i_{2}}\right) p\left(x_{i_{3}}\right) \cdots p\left(x_{i_{L}}\right)=\prod_{l=1}^{L} p\left(x_{i_{l}}\right) \end{aligned}$$

信源的序列熵

$$\begin{aligned} H(\bar{X}) &=-\sum_{i=1}^{n^{L}} p\left(x_{i}\right) \log p\left(x_{i}\right) \\ &=-\sum_{i} \prod_{l=1}^{L} p\left(x_{i_{i}}\right) \log p\left(x_{i_{i}}\right)=\sum_{l=1}^{L} H\left(X_{l}\right) \end{aligned}$$

• 若又满足平稳特性（平稳信号包含的信息量小，其统计特性随时间不变化）,即与序号l无关时:

  $$p(\overline{\mathrm{X}})=\prod_{l=1}^{L} p\left(x_{i_{\mathrm{i}}}\right)=p^{L}$$

• 信源的序列熵

  $$H(\overline{\mathrm{X}})=\operatorname{LH}(X)$$

• 平均每个符号(消息)熵(符号熵) 为

  $$H_{L}(\bar{X})=\frac{1}{L} H(\bar{X})=H(X)$$

例: 有一个无记忆信源随机变量 $\mathrm{X} \in(0,1)$ , 等概率分布, 若以单个符号出现为一事件, 则此时的信源熵:

$H(X)=\log _{2} 2=1$ bit/符号

即用 1 比特就可表示该事件。

• 如果以两个符号出现 ( $\mathrm{L}=2$ 的序列 )为一事件, 则随机序 列 $\mathrm{X} \in(00,01,10,11)$ , 信源的序列熵

  $H(\bar{X})=\log _{2} 4=2$ bit/序列

即用2比特才能表示该事件。

• 信源的符号熵

  $H_{2}(\overline{\mathrm{X}})=\frac{1}{2} H(\overline{\mathrm{X}})=1$ bit/符号

• 信源的序列熵

$H(\overline{\mathrm{X}})=H\left(X^{L}\right)=-\sum_{i=1}^{9} p\left(a_{i}\right) \log p\left(a_{i}\right)=3 b i t / \text { 序列 }$

• 平均每个符号 (消息) 熵为

$\begin{array}{c} H(X)=-\sum_{i=1}^{3} p\left(x_{i}\right) \log p\left(x_{i}\right)=1.5 \text { bit/符号 } \\ H(\bar{X})=2 H(X)=2 \times 1.5=3 \mathrm{bit} / \text { 序列 } \end{array}$

离散有记忆信源的序列熵

• 对于有记忆信源,就不像无记忆信源那样简单, 它必须引入条件熵的概念, 而且只能在某些特殊情况下才能得到一些有价值的结论。

• 对于由两个符号组成的联合信源, 有下列结论:

  $$H\left(X_{1} X_{2}\right)=H\left(X_{1}\right)+H\left(X_{2} \mid X_{1}\right)=H\left(X_{2}\right)+H\left(X_{1} \mid X_{2}\right)$$

  $$H\left(X_{1}\right) \geq H\left(X_{1} \mid X_{2}\right), H\left(X_{2}\right) \geq H\left(X_{2} \mid X_{1}\right)$$

• 当前后符号无依存关系时,有下列推论:

  $$\begin{array}{l} H\left(X_{1} X_{2}\right)=H\left(X_{1}\right)+H\left(X_{2}\right) \\ H\left(X_{1} \mid X_{2}\right)=H\left(X_{1}\right), H\left(X_{2} \mid X_{1}\right)=H\left(X_{2}\right) \end{array}$$

• 若信源输出一个L长序列,则信源的序列熵为

  $$\begin{aligned} H(\overline{\mathrm{X}}) &=H\left(X_{1} X_{2} \cdots X_{L}\right) \\ &=H\left(X_{1}\right)+H\left(X_{2} \mid X_{1}\right)+\cdots+H\left(X_{L} \mid X_{L-1} \cdots X_{1}\right) \\ &=\sum_{l}^{L} H\left(X_{l} \mid X^{l-1}\right)=H\left(X^{L}\right) \end{aligned}$$

• 平均每个符号的熵为：

  $$H_{L}(\bar{X})=\frac{1}{L} H\left(X^{L}\right)$$

• 若当信源退化为无记忆时: 若进一步又满足平稳性时

  $$H(\bar{X})=\sum_{l}^{L} H\left(X_{l}\right) \quad H(\bar{X})=L H(X)$$

平稳有记忆N次扩展源的熵

设 $\mathbf{X}$ 为离散平稳有记忆信源, $\mathbf{X}$ 的 $\mathbf{N}$ 次扩展源记为 $X^{N}$ ,

$$X^{N}=\left[X_{1} X_{2} \cdots X_{N}\right]$$

根据熵的可加性,得

$$H\left(X^{N}\right)=H\left(X_{1} X_{2} \cdots X_{N}\right)=H\left(X_{1}\right)+H\left(X_{2} / X_{1}\right)+\cdots H\left(X_{N} / X_{1} \cdots X_{N-1}\right)$$

根据平稳性和熵的不增原理,得 $H\left(X^{N}\right) \leq N H\left(X_{1}\right)$, 仅当无记忆信源时等式成立。

对于 $\mathrm{X}$ 的 $\mathrm{N}$ 次扩展源, 定义平均符号熵为:

$$H_{N}(X)=\frac{1}{N} H\left(X^{N}\right)=\frac{1}{N} H\left(X_{1} \cdots X_{N}\right)$$

信源 $\mathrm{X}$ 的极限符号熵定义为：

$$H_{\infty}(X)=\lim _{N \rightarrow \infty} \frac{1}{N} H(X^{N})=\lim _{N \rightarrow \infty} \frac{1}{N} H(X_{1} \cdots X_{N})$$

极限符号熵简称符号熵, 也称熵率。

定理: 对任意离散平稳信源, 若 $H_{1}(X)<\infty$ , 有:

(1) $H\left(X_{N} / X_{1} \cdots X_{N-1}\right)$ 不随 $\mathbf{N}$而增加;
(2) $H_{N}(X) \geq H\left(X_{N} / X_{1} \cdots X_{N-1}\right) ;$
(3) $H_{N}(X)$ 不随 N 而增加;
(4) $H_{\infty}(X)$ 存在,且 $H_{\infty}(X)=\lim _{N \rightarrow \infty} H(X_{N} / X_{1} \cdots X_{N-1})$

该式表明, 有记忆信源的符号熵也可通过计算极限条件熵得到。

参考文献：

1. Proakis, John G., et al. Communication systems engineering. Vol. 2. New Jersey: Prentice Hall, 1994.
2. Proakis, John G., et al. SOLUTIONS MANUAL Communication Systems Engineering. Vol. 2. New Jersey: Prentice Hall, 1994.
3. 周炯槃. 通信原理（第3版）[M]. 北京：北京邮电大学出版社, 2008.
4. 樊昌信, 曹丽娜. 通信原理（第7版） [M]. 北京：国防工业出版社, 2012.