一，中学数学技巧——猜测法

在中学数学中，我们有很多解题技巧，各种形式的对于题目的猜测，是技巧之一。

猜测的结果即使是对的（可被证明的），也不一定可用于该题目的推理，猜测的结果即使是错的，也不代表其中的思考过程能给我们启发。

由于中学毕业已经快十年了，所以本章的举例可能比较生硬。

1，猜测法——找到具体的解

例1，在一个边长为1的正方形中任取一点，证明其到四个顶点的距离之和至少为

猜测：应该是能取到的，所以要分析一下怎么取到。

猜测：对角线交点可能是唯一能取到的。

比如光秃秃的正方形，这个图更容易让我们想到解法：三角形的两边之和大于第三边，所以取的点在对角线上是两边之和最短的情况，所以四边之和最短只能是对角线交点。

2，猜测法——寻找更优条件

在数学归纳法的应用技巧中，有一个进阶技巧是寻找更优（更严格）的条件。

例2，对于数列，证明恒成立。

数列题首先看看能不能求出通项公式，这题应该不能。

对于这题，再看看能不能用数学归纳法，然而并不能推出

所以我们需要更严格的条件。

首先我们寻找不动点，，解出x=1,4

所以我们猜测，每一项都在（1,4）的范围内，但是这还不对，在（1,4）的范围内的最小值是0，最大值是4，所以我们猜测，数列每一项都在（0,4）的范围内。

证明这个之后，自然就证明了

3，关于猜测法的分析

有些题目，如例1，所给的边界值是能取到的，有些题目，如例2，所给的边界值是不能取到的。

对于不能取到的情况，又需要根据猜测推理出更合理的边界（可能并不唯一，合理即可）。

这其中的种种推理，既包含了知识和经验，也包含了对出题者的揣摩。

在这其中，有这么一个思维模式：

我试了好几种方法试图推翻这个结论，结果都没有推翻，而这个结论看起来挺优美的（优美可能体现在规律、规整等），那它应该是对的吧？

这样的一种推理模式，叫合情推理。

合情推理有没有数学理论的支撑？这是一个很难解释的问题。

二，对命题的合情推理

        有很多经典的数学猜想，比如3n+1猜想、哥德巴赫猜想，当我们按照自然数的顺序逐一检验，视图推翻它们，发现到了很大很大的数字仍然成立，于是我们越来越相信，它们可能是对的。

        对于哥德巴赫猜想，有了越来越接近的结果，直到1+2被证明是对的，我们更加相信，哥德巴赫猜想本身(1+1)也是对的。

三，对随机事件的合情推理

        数学告诉我们，即使一枚硬币抛了十次，十次都是正面朝上，下一次正面朝上的概率仍然是1/2

        但是如果我们在读（三声）博过程中，别人抛了十次都是正面朝上，我们会倾向于这个人掌握了某种手法。为什么我们不倾向于认为这是随机结果呢？因为1/1024的概率实在太低了。考虑贝叶斯条件概率的话，这个人掌握了某种手法的可能性似乎更高。

        有一个经典的概率问题，

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