数学原理丨Wallis公式和Stolz定理

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AXYZdong 发表于 2022/02/18 11:12:25 2022/02/18
【摘要】 正余弦函数的 Wallis 公式和斯托尔兹（Stolz）定理。

Author：AXYZdong 自动化专业 工科男
有一点思考，有一点想法，有一点理性！
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前言

Wallis formula 有两个中文名字，华里士 公式 和 沃利斯公式，中文名看起来差别很大对吧，其实他俩是同一个公式。它还有个名字叫做 点火公式。

偶数时点火成功乘 π 2 \frac{\pi}{2} ，奇数时点火失败以 1 打止。

这个公式是用来解决什么样的问题呢？

公式内容

Wallis公式是关于圆周率的无穷乘积的公式，公式内容如下：

lim ⁡ n → + ∞ ( ( 2 n ) ! ! ( 2 n − 1 ) ! ! ) 2 1 2 n + 1 = π 2 \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\right)^2\frac{1}{2n+1}=\frac{\pi}{2}

其中： ( 2 n ) ! ! = 2 × 4 × 6 × . . . × ( 2 n ) (2n)!!=2\times4\times6\times...\times(2n) ， ( 2 n − 1 ) ! ! = 1 × 3 × 5 × . . . × ( 2 n − 1 ) (2n-1)!!=1\times3\times5\times...\times(2n-1)


正余弦函数的 Wallis 公式

正弦函数（sin）的 Wallis公式


∫ 0 π 2 sin ⁡ n x d x = { ( n − 1 ) ! ! ( n ) ! ! ⋅ π 2 , n为正偶数 ( n − 1 ) ! ! ( n ) ! ! , n为正奇数 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin}^nxdx= \begin{cases} \frac{(n-1)!!}{(n)!!}\cdot\frac{\pi}{2}, & \text {n为正偶数} \\ \\ \frac{(n-1)!!}{(n)!!} , & \text {n为正奇数} \end{cases}

即：

∫ 0 π 2 sin ⁡ n x d x = { n − 1 n ⋅ n − 3 n − 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 3 4 ⋅ 1 2 ⋅ π 2 , n为正偶数 n − 1 n ⋅ n − 3 n − 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 6 7 ⋅ 4 5 ⋅ 2 3 ⋅ 1 , n为正奇数 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin}^nxdx= \begin{cases} \frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}, & \text {n为正偶数} \\ \\ \frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\frac{6}{7}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{2}{3}\cdot1, & \text {n为正奇数} \end{cases}


余弦函数（cos）的 Wallis公式


∫ 0 π 2 cos ⁡ n x d x = { ( n − 1 ) ! ! ( n ) ! ! ⋅ π 2 , n为正偶数 ( n − 1 ) ! ! ( n ) ! ! , n为正奇数 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos}^nxdx= \begin{cases} \frac{(n-1)!!}{(n)!!}\cdot\frac{\pi}{2}, & \text {n为正偶数} \\ \\ \frac{(n-1)!!}{(n)!!} , & \text {n为正奇数} \end{cases}

即：

∫ 0 π 2 cos ⁡ n x d x = { n − 1 n ⋅ n − 3 n − 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 3 4 ⋅ 1 2 ⋅ π 2 , n为正偶数 n − 1 n ⋅ n − 3 n − 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 6 7 ⋅ 4 5 ⋅ 2 3 ⋅ 1 , n为正奇数 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos}^nxdx= \begin{cases} \frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}, & \text {n为正偶数} \\ \\ \frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\frac{6}{7}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{2}{3}\cdot1, & \text {n为正奇数} \end{cases}


两者之间关系

∫ 0 π 2 sin ⁡ n x d x = ∫ 0 π 2 cos ⁡ n x d x \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin}^nxdx= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos}^nxdx

当 n = 1 n=1 时，

∫ 0 π 2 sin ⁡ n x d x = ∫ 0 π 2 cos ⁡ n x d x = 1 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin}^nxdx= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos}^nxdx=1

公式用途

公式多用于求解： sin ⁡ x 的 n 次方或 cos ⁡ x 的 n 次方在 ( 0 , π 2 ) 上的积分。 \sin x的n次方或\cos x的n次方在(0,\frac{\pi}{2})上的积分。

举例

∫ 0 π 2 cos ⁡ 8 θ d θ = ? \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^8 \theta d\theta=?

由 Wallis 公式：

∫ 0 π 2 cos ⁡ 8 θ d θ = 7 8 ⋅ 5 6 ⋅ 3 4 ⋅ 1 2 ⋅ π 2 = 35 π 256 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^8 \theta d\theta=\frac{7}{8}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{35\pi}{256}

利用公式是不是很快就做出来了呢？当然可以利用其它方法验证答案的正确性！

斯托尔兹（Stolz）定理

若序列 { y n } 单调上升，且 lim ⁡ n → ∞ y n = + ∞ , 则 若序列 \lbrace y_n \rbrace单调上升，且 \lim_{n\to\infty}y_n=+\infty,则

lim ⁡ n → ∞ x n y n = lim ⁡ n → ∞ x n − x n − 1 y n − y n − 1 \lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}

推论

  • 推论一

    若 lim ⁡ n → ∞ x n = l ，则 lim ⁡ n → ∞ 1 n ∑ k = 1 n x k = l 若\lim_{n\to\infty}x_n=l，则\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}x_k=l

  • 推论二

    若 x n 恒正，且 lim ⁡ n → ∞ x n = l ，则 lim ⁡ ∏ k = 1 n x k n = l 若 x_n恒正，且\lim_{n\to\infty}x_n=l，则\lim\sqrt[n]{\prod_{k=1}^n{x_k}}=l

  • 推论三

    若 x n > 0 ，且 lim ⁡ x n + 1 x n = l ，则 lim ⁡ x n n = l 若 x_n>0 ，且\lim\frac{x_{n+1}}{x_n}=l，则\lim\sqrt[n]{x_n}=l


举例

lim ⁡ n → ∞ ∑ k = 1 n ( 2 k − 1 ) 5 ∑ k = 1 n ( 2 k ) 5 = ? \lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{k=1}^{n}(2k-1)^5}{\sum_{k=1}^{n}(2k)^5}= ?

解：令 x n = ∑ k = 1 n ( 2 k − 1 ) 5 x_n=\sum_{k=1}^{n}(2k-1)^5 ， y n = ∑ k = 1 n ( 2 k ) 5 y_n=\sum_{k=1}^{n}(2k)^5

则：

原式 = lim ⁡ n → ∞ x n − x n − 1 y n − y n − 1 = ( 2 n − 1 ) 5 ( 2 n ) 5 = 1 原式=\lim_{n\to\infty}\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}=\frac{(2n-1)^5}{(2n)^5}=1


  本次的分享就到这里

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