三大数学危机——人类思想的发展史

三大数学危机

第一次数学危机——无理数的发现。

以前人们公认所有的数都可以表示成2个整数的比值。

然后有了毕达哥拉斯定理，取最简单的情形，2个直角边为1，那么斜边的长度的平方是2

所以斜边到底是多少呢？

假设斜边长为m/n，m、n都是正整数，m/n是最简分数。

那么m/n*m/n=2，即m*m=n*n*2

那么m是偶数，假设m=2*s，s是正整数

那么2*s*2*s=n*n*2，即n*n=s*s*2

那么n是偶数，假设n=2*t

那么s*s=t*t*2

也就是说，m/n和s/t是相等的。

这就与m/n是最简分数矛盾了。

由此说明，斜边的长度不能表示成2个整数的比值。

由此，历史上第一个无理数就诞生了。

第一个无理数绝不是圆周率pi=3.14159......

因为要证明圆周率是无理数，远比证明根号2是无理数难的多。

除了用微积分，我没见过其他的证明方法，不过应该是有的，没怎么关注。

第二次数学危机——无穷小到底是不是0？

下面的3个悖论都是十分有名的

“两分法”：向着一个目的地运动的物体，首先必须经过路程的中点，然而要经过这点，又必须先经过路程的1/4点……，如此类推以至无穷。——结论是：无穷是不可穷尽的过程，运动是不可能的。
“阿基里斯追不上乌龟”：阿基里斯总是首先必须到达乌龟的出发点，因而乌龟必定总是跑在前头。这个论点同两分法悖论一样，所不同的是不必把所需通过的路程一再平分。
“飞矢不动”：意思是箭在运动过程中的任一瞬时间必在一确定位置上，因而是静止的，所以箭就不能处于运动状态。

类似的，在计算某个曲线问题的时候，用微积分算出来的结果和用经典方法算出来的不一样，然后爆发了第二次数学危机。

后来，柯西等人建立了极限理论，新的微积分建立在了极限的基础之上，也叫第二代微积分。

这才解决了这个危机。

目前最新的是第三代微积分，试图不采用极限，避免极限带来的晦涩，不过还只是在发展中。

第三次数学危机——罗素悖论

理发师悖论：
在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。

罗素悖论和这个是等价的。

罗素悖论：由所有不包含自身的集合所组成的集合，这个集合是否包含自身呢？

罗素发现这个悖论是由集合包含自身所导致的，如果去掉这种自我指涉，就没有悖论了。

公理化集合论的建立，成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。

我的浅见：

在规定集合不能包含自身的前提下，那么，所有集合都是不包含自身的集合，那么就不存在由所有不包含自身的集合所组成的集合（即由所有集合所组成的集合）。

相关的2个悖论：

培里悖论：培里是英国的图书馆管理员。有一天他告诉罗素下面的悖论：英语中只有有限多个音节，只有有限多英语表达式包含少于40个音节，所以，用少于40个音节的表达式表示的正数数目只有有限多个。假设R为“不能由少于40个音的英语表达式来表示的最小正整数”(The least positive integer which is not denotedby an expression in the English language containing fewer than forty syllables)。但是，这段英语只包含三十几个音节，肯定比40个少，而且表示R，这自然产生了矛盾。

我的浅见：

假设R为“不能由少于40个音的英语表达式来表示的最小正整数”这一步是错的，因为用文字来描述一个数只是一种简单的映射，并没有规矩，只要我开心，我照样可以用“不能由少于40个音的英语表达式来表示的最小正整数”这个词首先直接用来表示1，虽然这样的描述让人很难理解，但是逻辑上并没有错误。

那么，在遇到了一个足够大的数之后，我们再想用“不能由少于40个音的英语表达式来表示的最小正整数”这个词来表示就不行了，因为已经被用过了。

即使我们按照正常逻辑，1就是one，2就是two，一定会遇到一个，除了“不能由少于40个音的英语表达式来表示的最小正整数”这个词之外，再也没有其他少于40个音节的词可以表示的数，如果此时我们用这个词来表示它，后面就一定还会遇到一个无法用任何少于40音节的词表示的数，因为这个词已经用过了。

格瑞林和纳尔逊悖论：

如果一个形容词所表示的性质适用于这个形容词本身，比如“黑的”两字的确是黑的，那么这个形容词称为自适用的。反之，一个形容词如果不具有自适用的性质，就叫做非自适用的。在英语中：“Polysyllabic”(多音节的)，“English”(英语的)这些词都是自适用的形容词，而 “monosyllabic”(单音节的)、“French”(法语的)这些词就是非自适用的。我们来考虑“非自适用的”这个形容词，它是自适用的还是非自适用的呢？如果“非自适用的”是非自适用的，那么它就是自适用的；如果“非自适用的”是自适用的，那么按照这词的意思，则它是非自适用的，这就导出矛盾。

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