HDU 2586 How far away？（LCA使用详解）

题目：

2
3 2
1 2 10
3 1 15
1 2
2 3

2 2
1 2 100
1 2
2 1

10
25
100
100

题意：
n个房子用n-1条路连接起来（也就是一棵树），对于每一个询问，

求出2个房子直接的线路距离

思路：

这个题目只要建立一个树，然后查询任意2个点之间的距离，没有更新操作，所以可以用LCA来做。

LCA就是寻找最近公共祖先，这有什么用呢？

这是因为有一个性质，假设B和C的最近公共祖先是A，那么对于整个树的根节点D，

都有：|BD|+|CD|-|AD|*2=|BC|

也就是说，只要事先求出所有点到D的距离dist（dist的大小为n），

然后对于输入的B和C，只需要求出最近公共祖先，即可利用上式得到答案。

步骤：

1，存边

每次输入1条边，把2个点都存入对方的儿子列表中

因为儿子的数量未知，但是总数是2n-2，所以用向量数组v来存比较合适。（v的大小为n）

2，建树

建树的方法有很多，而且n个点都是可以用来当做根节点的。

这里我采用的是以第一个节点作为根节点，利用深度优先搜索建树

因为在计算dist之前需要找到根节点，所以需要1个数组fa记录父亲的标号（fa的大小为n）

3，深度优先搜索

既然有儿子列表，那么就可以深度优先搜索了。

利用深度优先，把树映射到一维数组，这是哈希的一种。

得到这个表有什么用呢？

也不知道是哪个神人想出来的，仅用这个表就可以得到最近公共祖先。

比如B的遍历数为3，C的遍历数为6，从3到6，深度依次为3 2 3 4，

最小的是2，对应的是A，所以A就是B和C的最近公共祖先。

注意，遍历数不一定是唯一的，比如求A和I的最近公共祖先，A有3个不同的遍历数，

但是不管选哪个，结果都是一样的。

所以说，只需要用动态规划的RMQ方法求出区间的最小值，即可求出公共祖先。

4，空间分析

首先，我们需要对每个点存1个遍历数，任选1个存起来即可。（visitn的大小为n）

然后，我们还需要把所有的遍历数对应的是哪个点存起来。

那么，一共有多少个遍历数呢？

规律很明显，总结如下：1个叶子节点只有1个遍历数，每个节点的遍历数等于出度加1

所以遍历数一共有：节点总数+出度总数=n+n-1（visitnum的大小为n+n-1）

（mins第一个维度的大小为n+n-1，第二个维度约为log2(n)+1）

上面的9个节点就有17个遍历数。

5，计算每个点到根节点的距离。

visit函数是一个递归调用的函数，用来实现深度优先搜索。

搜索的过程中，除了要计算visitn和visitnum，还要计算deep和dist（deep的大小为n）

（至此，7个数组的用途和大小都用蓝色粗体标注了）

deep和dist都可以利用递归的参数d和dis非常方便的计算出来。

6，RMQ

用RMQ求的是什么，这个倒是不要搞错了。

RMQ求的是visitnum数组的一段区间中，拥有最小deep的那个点对应的visitnum

而不是求deep的最小值，也不是求visitnum的最小值。

7，LCA

这个和RMQ对应，求的是visitnum数组的一段区间中，拥有最小deep的那个点对应的visitnum。

只需要根据visitnum便可知道到底哪个点是最近公共祖先

8，查询

输入x,y，取出他们的遍历数visitn，由此求出他们的最近公共祖先。

需要注意的是，因为遍历数有很多个，随便取一个存到visitn数组中，

那么x和y的遍历数谁大谁小就完全不知道了，需要判断。

代码：

      #include<iostream>
      #include<vector>
      using namespace std;
      struct node
      {
     	int son;
     	int distance;
      };
      int n;
      vector<node>v[40001];//存儿子标号
      int deep[40001];//每个点的深度
      int visitnum[80001];//遍历数是2*n-1
      int visitn[40001];//每个点的任意一个遍历数
      int vnum;
      int mins[80001][18];		//区间最小值
      int dist[40001];		//每个点到祖先的距离distance
      int fa[40001];
      void visit(int m, int d, int dis) //遍历重编号、计算distance
      {
      	vector<node>::iterator p;
      	deep[m] = d;
      	dist[m] = dis;
     	for (p = v[m].begin(); p != v[m].end(); p++)
      	{
     		if (fa[(*p).son]>-1)continue;
      		fa[(*p).son] = m;
      		visitnum[vnum++] = m;	//存入访问的第vnum个点是哪个点
     		visit((*p).son, d + 1, dis + (*p).distance);
      	}
      	visitn[m] = vnum;		//注意这2句的顺序
      	visitnum[vnum++] = m;
      }
      void rmq() //计算区间最小值
      {
     	for (int i = 1; i <= 2 * n - 1; i++)mins[i][0] = visitnum[i];
     	for (int j = 1; (1 << j) <= 2 * n - 1; j++)
      	{
     		for (int i = 1; i <= 2 * n - 1; i++)
      		{
      			mins[i][j] = mins[i][j - 1];
     			int k = i + (1 << (j - 1));
     			if (k <= 2 * n - 1 && deep[mins[i][j]] > deep[mins[k][j - 1]])
      				mins[i][j] = mins[k][j - 1];
      		}
      	}
      }
      int lca(int x, int y) //求最近公共祖先
      {
      	x = visitn[x], y = visitn[y];
     	if (x > y)x ^= y ^= x ^= y;
     	int j = 0;
     	while ((1 << j) <= y - x + 1)j++;
      	j--;
     	int min = mins[y + 1 - (1 << j)][j];
     	if (deep[min] > deep[mins[x][j]])min = mins[x][j];
     	return min;
      }
      int main()
      {
     	int t, m, x, y, l;
      	cin >> t;
     	while (t--)
      	{
      		cin >> n >> m;
      		vnum = 1;
     		for (int i = 1; i <= n; i++)
      		{
      			v[i].clear();	//初始化
      			fa[i] = -1;
      		}
     		for (int i = 1; i < n; i++)
      		{
     			scanf("%d%d%d", &x, &y, &l);
      			node nod1, nod2;
      			nod1.distance = l, nod1.son = y;
      			v[x].insert(v[x].end(), nod1);
      			nod2.distance = l, nod2.son = x;
      			v[y].insert(v[y].end(), nod2);
      		}
      		fa[1] = 1;
     		visit(1, 1, 0);
     		rmq();
     		while (m--)
      		{
     			scanf("%d%d", &x, &y);
     			printf("%d\n", dist[x] + dist[y] - dist[lca(x, y)] * 2);
      		}
      	}
     	return 0;
      }
  
 

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