Python 教程之 Numpy（10）—— 线性代数

NumPy 的线性代数模块提供了多种方法来在任何 numpy 数组上应用线性代数。
可以找到：

• 数组的秩、行列式、跟踪等。
• 矩阵的特征值
• 矩阵和向量积（点积、内积、外积等）、矩阵求幂
• 求解线性或张量方程等等！

# 将 numpy 导入为 np
import numpy as np
 
A = np.array([[6, 1, 1],
              [4, -2, 5],
              [2, 8, 7]])
 
# 矩阵的秩
print("Rank of A:", np.linalg.matrix_rank(A))
 
# 矩阵 A 的迹
print("\nTrace of A:", np.trace(A))
 
# 矩阵的行列式
print("\nDeterminant of A:", np.linalg.det(A))
 
# 矩阵 A 的逆
print("\nInverse of A:\n", np.linalg.inv(A))
 
print("\nMatrix A raised to power 3:\n",
           np.linalg.matrix_power(A, 3))

输出：

Rank of A: 3

Trace of A: 11

Determinant of A: -306.0

Inverse of A:
 [[ 0.17647059 -0.00326797 -0.02287582]
 [ 0.05882353 -0.13071895  0.08496732]
 [-0.11764706  0.1503268   0.05228758]]

Matrix A raised to power 3:
 [[336 162 228]
 [406 162 469]
 [698 702 905]]

矩阵特征值函数

numpy.linalg.eigh(a, UPLO=‘L’) ：此函数用于返回复数 Hermitian（共轭对称）或实对称矩阵的特征值和特征向量。返回两个对象，一个包含a 的特征值，以及相应特征向量（以列为单位）的二维方阵或矩阵（取决于输入类型）。

# 解释 eigh() 函数的 Python 程序
 
from numpy import linalg as geek
 
# 使用数组函数创建数组
a = np.array([[1, -2j], [2j, 5]])
 
print("Array is :",a)
 
# 使用 with() 函数计算特征值
c, d = geek.eigh(a)
 
print("Eigen value is :", c)
print("Eigen value is :", d)

输出 ：

Array is : [[ 1.+0.j,  0.-2.j],
                [ 0.+2.j,  5.+0.j]]

Eigen value is : [ 0.17157288,  5.82842712]

Eigen value is : [[-0.92387953+0.j , -0.38268343+0.j ],
       [ 0.00000000+0.38268343j,  0.00000000-0.92387953j]]

numpy.linalg.eig(a) ：该函数用于计算方阵的特征值和右特征向量。

# 解释 eig() 函数的 Python 程序
 
from numpy import linalg as geek
 
# 使用 diag 函数创建数组
a = np.diag((1, 2, 3))
 
print("Array is :",a)
 
# 使用 eig() 函数计算特征值
c, d = geek.eig(a)
 
print("Eigen value is :",c)
print("Eigen value is :",d)

在 IDE 上运行

输出 ：

Array is : [[1  0  0],
                 [0  2  0],
                 [0  0  3]]

Eigen value is : [ 1  2  3]

Eigen value is : [[ 1  0  0],
                 [  0  1  0],
                 [  0  0  1]]

矩阵和向量积

numpy.dot(vector_a, vector_b, out = None)： 返回向量 a 和 b 的点积。它可以处理二维数组，但将它们视为矩阵并将执行矩阵乘法。对于 N 维，它是 a 的最后一个轴和 b 的倒数第二个轴的和积：

dot(a, b)[i,j,k,m] = sum(a[i,j,:] * b[k,:,m]) 

代码#1：

# 说明 numpy.dot() 方法的 Python 程序
 
import numpy as geek
 
# Scalars
product = geek.dot(5, 4)
print("Dot Product of scalar values  : ", product)
 
# 1D array
vector_a = 2 + 3j
vector_b = 4 + 5j
 
product = geek.dot(vector_a, vector_b)
print("Dot Product  : ", product)

在 IDE 上运行

输出：

Dot Product of scalar values  :  20
Dot Product  :  (-7+22j)

代码 #1 是如何工作的？

vector_a = 2 + 3j
vector_b = 4 + 5j

now dot product 
= 2(4 + 5j) + 3j(4 - 5j)
                = 8 + 10j + 12j - 15
                = -7 + 22j

numpy.vdot(vector_a, vector_b)： 返回向量 a 和 b 的点积。如果第一个参数是复数，则第一个参数的复共轭（这是vdot()工作不同的dot()）用于计算点积。它可以处理多维数组，但可以将其作为扁平数组处理。

代码#1：

# 说明 numpy.vdot() 方法的 Python 程序
 
import numpy as geek
 
# 1D array
vector_a = 2 + 3j
vector_b = 4 + 5j
 
product = geek.vdot(vector_a, vector_b)
print("Dot Product  : ", product)

在 IDE 上运行

输出 ：

Dot Product  :  (23-2j)

代码 #1 是如何工作的？

vector_a = 2 + 3j
vector_b = 4 + 5j

As per method, take conjugate of vector_a i.e. 2 - 3j

now dot product = 2(4 - 5j) + 3j(4 - 5j)
                = 8 - 10j + 12j + 15
                = 23 - 2j

求解方程和求逆矩阵

numpy.linalg.solve() ：求解一个线性矩阵方程，或线性标量方程组。计算完全确定的，即满秩的线性矩阵方程 ax = b 的“精确”解 x。

# 说明 numpy.linalg.solve() 方法的 Python 程序
 
import numpy as np
 
# 使用数组函数创建数组
a = np.array([[1, 2], [3, 4]])
 
# 使用数组函数创建数组
b = np.array([8, 18])
 
print(("Solution of linear equations:", 
      np.linalg.solve(a, b)))

输出：

Solution of linear equations: [ 2.  3.]

numpy.linalg.lstsq() ：返回线性矩阵方程的最小二乘解。通过计算最小化欧几里得 2 范数 ||的向量 x 求解方程 ax = b b – 斧头 ||^2。该等式可以是欠定的、良好的或过定的（即，a 的线性独立行的数量可以小于、等于或大于其线性独立的列的数量）。如果 a 是平方且满秩，则 x（除了舍入误差）是方程的“精确”解。

# 说明 numpy.linalg.lstsq() 方法的 Python 程序
 
 
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
# x co-ordinates
x = np.arange(0, 9)
A = np.array([x, np.ones(9)])
 
# 线性生成的序列
y = [19, 20, 20.5, 21.5, 22, 23, 23, 25.5, 24]
# obtaining the parameters of regression line
w = np.linalg.lstsq(A.T, y)[0] 
 
# 绘制线
line = w[0]*x + w[1] # regression line
plt.plot(x, line, 'r-')
plt.plot(x, y, 'o')
plt.show()

在 IDE 上运行

输出：

特殊功能

numpy.linalg.det() ：计算数组的行列式。

# 说明 numpy.linalg.det() 方法的 Python 程序
 
import numpy as np
 
# 使用数组方法创建数组
A = np.array([[6, 1, 1],
              [4, -2, 5],
              [2, 8, 7]])
 
 
print(("\nDeterminant of A:"
     , np.linalg.det(A)))

在 IDE 上运行

输出：

Determinant of A: -306.0

numpy.trace() ：返回数组沿对角线的总和。如果 a 是二维的，则返回沿其对角线与给定偏移量的总和，即所有元素的总和 a[i,i+offset] i.如果 a 有两个以上的维度，则由 axis1 和 axis2 指定的轴用于确定返回其轨迹的二维子数组。结果数组的形状与移除了axis1和axis2的a的形状相同。

# 说明 numpy.trace()() 方法的 Python 程序
 
import numpy as np
 
# 使用数组方法创建数组
A = np.array([[6, 1, 1],
              [4, -2, 5],
              [2, 8, 7]])
 
 
print("\nTrace of A:", np.trace(A))

在 IDE 上运行

输出：

Trace of A: 11