SPFA 算法：实现原理及其应用

一、前言

SPFA算法，全称为Shortest Path Faster Algorithm，是求解单源最短路径问题的一种常用算法，它可以处理有向图或者无向图，边权可以是正数、负数，但是不能有负环。

二、SPFA 算法

1、SPFA算法的基本流程

1. 初始化

首先我们需要起点s到其他顶点的距离初始化为一个很大的值（比如9999999，像是 JAVA 中可以设置 Integer.MAX_VALUE 来使），并将起点s的距离初始化为0。同时，我们还需要将起点s入队。

2. 迭代

每次从队列中取出一个顶点u，遍历所有从u出发的边，对于边（u,v）（其中v为从u可以到达的顶点），如果s->u->v的路径长度小于s->v的路径长度，那么我们就更新s->v的路径长度，并将v入队。

3. 循环

不断进行步骤2，直到队列为空。

4. 判断

最后，我们可以得到从起点s到各个顶点的最短路径长度，如果存在无穷小的距离，则说明从起点s无法到达该顶点。

其次，需要注意的是，SPFA算法中存在负环问题。如果存在负环，则算法会陷入死循环。因此，我们需要添加一个计数器，记录每个点进队列的次数。当一个点进队列的次数超过图中节点个数时，就可以判定存在负环。

2、代码详解

以下是使用Java实现 SPFA算法的代码，其中Graph类表示有向图或无向图，Vertex类表示图中的一个顶点，Edge类表示图中的一条边。

import java.util.*;

class Graph {   // 图
    private List<Vertex> vertices;  // 顶点集

    public Graph() {
        vertices = new ArrayList<Vertex>();
    }

    public void addVertex(Vertex v) {   // 添加顶点
        vertices.add(v);
    }   // 添加顶点

    public List<Vertex> getVertices() { // 返回顶点
        return vertices;
    }   // 获取顶点集
}

class Vertex {  // 点
    private int id; // 点 id
    private List<Edge> edges;   // 连接到该顶点的边
    private int distance;   // 从源顶点到该顶点的最短距离，MAX_VALUE init
    private boolean visited;    // 在图的遍历过程中是否访问过该顶点，false init

    public Vertex(int id) {
        this.id = id;
        edges = new ArrayList<Edge>();
        distance = Integer.MAX_VALUE;
        visited = false;
    }

    public int getId() {    // 获取 id
        return id;
    }

    public void addEdge(Edge e) {   // 将连接到该顶点边添加到列表中
        edges.add(e);
    }   // 添加图到边

    public List<Edge> getEdges() {  // 获取连接到该顶点的边集
        return edges;
    }   // 获取图中边

    public int getDistance() {  // 获取从源顶点到该顶点的最短距离
        return distance;
    }   // 获取源顶点到该顶点的最短距离

    public void setDistance(int distance) { //设置最短距离
        this.distance = distance;
    }   // 设置源顶点到该顶点的最短距离

    public boolean isVisited() {    // 获取在图的遍历过程中是否访问过该点
        return visited;
    }   // 获取图遍历过程中是否访问过该点

    public void setVisited(boolean visited) {   // 设置在图的遍历过程中是否访问过该点
        this.visited = visited;
    }   // 设置图遍历过程中是否访问过该点
}

class Edge {    // 边
    private Vertex source;  // 源顶点
    private Vertex destination; // 目标顶点
    private int weight; // 边的权重

    public Edge(Vertex source, Vertex destination, int weight) {
        this.source = source;
        this.destination = destination;
        this.weight = weight;
    }

    public Vertex getSource() { // 返回源顶点
        return source;
    }   // 获取源点

    public Vertex getDestination() {    // 返回目标顶点
        return destination;
    }   // 获取目标顶点

    public int getWeight() {    // 获取边的权重
        return weight;
    }   // 获取边的权重
}

// SPFA 算法
public class SPFA { 
    public static void spfa(Graph graph, Vertex source) {
        // 初始化
        Queue<Vertex> queue = new LinkedList<Vertex>(); // 初始化一个顶点队列，使用该队列来跟中需要处理的顶点 
        for (Vertex v : graph.getVertices()) {  // 初始化最短距离和是否访问过该点
            v.setDistance(Integer.MAX_VALUE);
            v.setVisited(false);
        }

        source.setDistance(0); // 将源顶点到自身的最短距离设为0
        queue.add(source);  // 将源顶点添加到队列中

        // 迭代
        int count = 0;  // 用于检测图中的负环，count超过图中顶点的总数，抛出异常

        // 查找从一个源顶点到图中所有其它顶点的最短路径
        while (!queue.isEmpty()) {  
            Vertex u = queue.poll();    // 存储SPFA算法正在处理的顶点，poll 方法将下一个顶点从队列中取出
            u.setVisited(false);    // 标记该顶点为未访问，以便在算法中再次对其处理
            
            // 查找部分，循环遍历当前顶点 u 的所有边
            for (Edge e : u.getEdges()) {   
                Vertex v = e.getDestination();  // 返回边 e 的目标顶点给 v
                int distance = u.getDistance() + e.getWeight(); // 计算源顶点到目标顶点的距离
                if (distance < v.getDistance()) {
                    v.setDistance(distance);    // 更新最短距离
                    if (!v.isVisited()) {   // 如果该顶点未被访问过
                        queue.add(v);   // 将该顶点添加到队列中
                        v.setVisited(true); // 标记该顶点已被访问
                        count++;    // 负环 + 1
                        if (count > graph.getVertices().size()) {   // 检查 SPFA 算法处理的顶点数是否大于图中顶点总数
                            throw new RuntimeException("Negative cycle detected");
                        }
                    }
                }
            }
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        
        // 构造图
        Graph graph = new Graph();
        // 构造顶点
        Vertex s = new Vertex(0);
        Vertex a = new Vertex(1);
        Vertex b = new Vertex(2);
        Vertex c = new Vertex(3);
        Vertex d = new Vertex(4);
        // 点加边
        s.addEdge(new Edge(s, a, 2));
        s.addEdge(new Edge(s, c, 1));
        a.addEdge(new Edge(a, b, 3));
        b.addEdge(new Edge(b, d, 2));
        c.addEdge(new Edge(c, d, 1));
        // 边加点
        graph.addVertex(s);
        graph.addVertex(a);
        graph.addVertex(b);
        graph.addVertex(c);
        graph.addVertex(d);

        // 调用SPFA算法求解最短路径
        spfa(graph, s);

        // 输出结果
        for (Vertex v :graph.getVertices()) {
            System.out.println("Shortest distance from source to vertex " + v.getId() + " is " + v.getDistance()); 
        } 
    } 
}

上面的代码实现了SPFA算法，并计算了从给定源点到图中其他所有顶点的最短路径。主要思路如下：

1. 初始化：将所有顶点的距离设置为正无穷，将源点的距离设置为0，将源点加入队列。
2. 迭代：从队列中取出一个顶点u，遍历它的所有邻居v。如果u到源点的距离加上u到v的边的权重小于v的距离，则更新v的距离，并将v加入队列中。如果v已经在队列中，则不需要再次添加。
3. 如果队列为空，则算法结束。如果队列非空，则回到步骤2。

SPFA算法的时间复杂度取决于负权边的数量。如果图中没有负权边，算法的时间复杂度是O(E)，其中E是边的数量。但是如果图中有负权边，算法的时间复杂度将达到O(VE)，其中V是顶点的数量，E是边的数量。因此，为了避免算法的时间复杂度变得非常高，应尽可能避免在图中使用负权边。

三、SPFA 算法已死 ？

这个问题引发了很多OI选手和出题人的讨论，虽然 SPFA 算法在实际应用中具有一定的优势，但它也有一些缺点，导致它被称为"已死"的算法之一。以下是几个原因：

• 可能会进入负环：SPFA 算法可以处理负权边，但是如果有负权环，算法将无法结束，因为每次都会沿着负权环一遍一遍地更新距离，导致算法陷入死循环。

• 时间复杂度不稳定：在最坏情况下，SPFA 算法的时间复杂度可以达到 $O(VE)$，其中 $V$ 和 $E$ 分别是图中的顶点数和边数。而在最好情况下，时间复杂度只有 $O(E)$。因此，SPFA 算法的时间复杂度是不稳定的。

• 存在更好的算法：对于单源最短路径问题，已经有更好的算法出现，如 Dijkstra 算法和 Bellman-Ford 算法。这些算法在时间复杂度和稳定性方面都比 SPFA 算法更优秀。

虽然 SPFA 算法在某些情况下可以发挥出优势，但是它的缺点也是无法忽视的，而且已经有更好的算法出现，不少大佬也或多或少的对 SPFA 算法进行了优化，更多优化的内容以及最短路径算法可以在论文中找到。因此，SPFA 算法已经不是首选算法，也可以说是已经“死亡”了。