CgemvBatched 01：复数，从代数定义到运算规则

1. 从复数讲起

aclblasCgemvBatched 算子的全名里有个 C：Complex，这个算子处理的矩阵、向量、标量全部是复数。本质上就是把复数域上的线性代数运算，翻译成硬件能执行的浮点指令。所以，我们第一站就回到复数本身。

2. 复数的定义

2.1 代数定义

复数域 $\mathbb{C}$ 是实数域 $\mathbb{R}$ 的扩展，引入一个新元素 $i$，满足：

$$i^2 = -1$$

每个复数 $z$ 可以唯一写成：

$$z = a + b\,i, \quad a, b \in \mathbb{R}$$

其中 $a = \text{Re}(z)$ 称为实部，$b = \text{Im}(z)$ 称为虚部。

2.2 几何解释

复数 $a + bi$ 可以对应平面上的点 $(a, b)$——这就是复平面。

• 横轴 = 实轴，纵轴 = 虚轴
• 复数 $z = a + bi$ 的模（magnitude）$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$，就是点到原点的距离
• 复数 $z$ 的幅角（argument）$\theta = \arctan(b/a)$，就是向量与实轴的夹角

这个几何视角在理解共轭转置时会用到，但本算子的实现主要走代数路线（实部/虚部分离计算），所以我们重点放在代数运算上。

3. 复数加法

两个复数相加，实部与实部相加，虚部与虚部相加：

$$(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)\,i$$

在硬件上，实部和虚部分别做一次 float 加法即可。

4. 复数乘法

4.1 推导

两个复数相乘，用分配律展开：

$$(a + bi)(c + di) = ac + ad\,i + bc\,i + bd\,i^2$$

因为 $i^2 = -1$，所以：

$$= ac + ad\,i + bc\,i - bd = (ac - bd) + (ad + bc)\,i$$

最终结果：

$$\boxed{(a + bi)(c + di) = \underbrace{(ac - bd)}_{\text{实部}} + \underbrace{(ad + bc)}_{\text{虚部}}\,i}$$

4.2 计算量分析

一次复数乘法需要：

• 4 次实数乘法：$ac$, $bd$, $ad$, $bc$
• 1 次实数减法：$ac - bd$（实部）
• 1 次实数加法：$ad + bc$（虚部）

AIV 路径的"4 次 Mul + Add/Sub"就是这个公式的直接翻译：

Mul(tmpRR, matReal, vecReal);  // ac
Mul(tmpII, matImag, vecImag);  // bd
Mul(tmpRI, matReal, vecImag);  // ad
Mul(tmpIR, matImag, vecReal);  // bc
Sub(real, tmpRR, tmpII);       // ac - bd
Add(imag, tmpRI, tmpIR);       // ad + bc

4.3 还有 3 次乘法

数学上有一个 Gauss 复数乘法方案，只需 3 次乘法，设：

$$t_1 = a \cdot c, \quad t_2 = b \cdot d, \quad t_3 = (a + b)(c + d)$$

则：

$$t_3 = ac + ad + bc + bd = t_1 + (ad + bc) + t_2$$

所以：

$$\text{实部} = t_1 - t_2, \quad \text{虚部} = t_3 - t_1 - t_2$$

只需 3 次乘法 + 5 次加减法。

在浮点运算中，Gauss 方案的 $t_3 - t_1 - t_2$ 涉及相消（catastrophic cancellation）——当 $t_1, t_2$ 很大但 $ad+bc$ 很小时，大数相减丢失有效数字，精度严重下降。4 乘法方案虽然多一次乘法，但每次乘法的结果直接参与加减，数值更稳定。

5. 共轭复数

5.1 定义

复数 $z = a + bi$ 的共轭（conjugate）定义为：

$$\bar{z} = a - bi$$

几何上，共轭就是复平面上关于实轴的镜像翻转。

5.2 关键性质

1. 共轭的共轭回到自身：$\overline{\bar{z}} = z$
2. 共轭乘积等于模的平方：$z \cdot \bar{z} = (a+bi)(a-bi) = a^2 + b^2 = |z|^2$，结果是实数
3. 共轭保持加法：$\overline{z_1 + z_2} = \bar{z}_1 + \bar{z}_2$
4. 共轭保持乘法：$\overline{z_1 \cdot z_2} = \bar{z}_1 \cdot \bar{z}_2$
5. 共轭反转乘法顺序的虚部符号：如果 $z_1 z_2 = p + qi$，则 $\bar{z}_1 \cdot z_2 = p - qi$（当只共轭一个因子时）

性质 5 是理解 op=C（共轭转置）的关键，我们在后面会展开。

5.3 共轭在复数乘法中的体现

对比普通乘法和"对第一个因子取共轭"的乘法：

符号变化：实部的 $bd$ 前面从 $-$ 变 $+$，虚部的 $bc$ 前面从 $+$ 变 $-$。

这正是 op=T 与 op=C 的区别：

// op=T (普通转置): Sub(real, RR, II); Add(imag, RI, IR);
// op=C (共轭转置): Add(real, RR, II); Sub(imag, RI, IR);

6. 复数在计算机中的表示

6.1 交错存储（Interleaved Layout）

complex64 类型在内存中用两个连续的 float32 表示一个复数：

内存地址:  0    1    2    3    4    5    6    7  ...
内容:     Re₀  Im₀  Re₁  Im₁  Re₂  Im₂  Re₃  Im₃ ...

即 $N$ 个复数占用 $2N$ 个 float32 槽位，实部和虚部交错排列。

6.2 为什么交错？

优点是空间局部性好——一个复数的实部和虚部在内存中相邻，访问一个复数时两个分量一起进缓存。

缺点是：当你只想操作所有实部（或所有虚部）时，需要从交错数据中抽取，这就是 GatherMask 的用途。

6.3 GatherMask——实/虚分离

GatherMask 算子做的事情，数学上就是一个**下采样（subsampling）**操作：

• stride=1（取偶数位）：$y[k] = x[2k]$，提取所有实部
• stride=2（取奇数位）：$y[k] = x[2k+1]$，提取所有虚部

设原始交错序列为 $s = [r_0, i_0, r_1, i_1, r_2, i_2, \ldots]$，则：

$$\text{Real tensor} = [r_0, r_1, r_2, \ldots], \quad \text{Imag tensor} = [i_0, i_1, i_2, \ldots]$$

分离后，实部和虚部各自是连续的 float32 数组，可以独立做向量运算（Mul、Add 等）。

计算完成后再用 Gather 算子做逆操作——交织（interleave），把分离的实部和虚部重新合并为交错序列输出。

6.4 整体流程

交错复数数据 ──GatherMask──→ 分离的实部 + 分离的虚部
                                    │
                              向量运算（Mul/Add/Sub/Reduce）
                                    │
分离的结果实部 + 结果虚部 ──Gather──→ 交错复数输出

这个"分离 → 计算 → 交织"的流程贯穿整个 AIV 路径。

7. 小结

下一篇我们从复数走向线性代数：矩阵-向量乘的两种数学视角，以及它们如何决定硬件实现路径。