数字滤波器设计方法与MATLAB实现

一、先来介绍IIR数字滤波器、FIR数字滤波器的设计方法:

1. IIR数字滤波器的设计方法

借助模拟滤波器设计方法分为脉冲响应不变法，频率变换法，双线性变换法等。

• 脉冲响应不变法

利用模拟滤波器来设计数字滤波器，就是从已知的模拟滤波器传递函数Ha(s)设计数字滤波器的系统函数H(z)。

因此，它归根结底是一个由S平面映射到Z平面的变换，这个变换通常是复变函数的映射变换，为了保证转换后的H(z)稳定且满足技术要求，这个映射变换必须满足以下两条基本要求：因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。即 S平面的左半平面必须映射到Z平面单位圆的内部。数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频率响应，s平面的虚轴映射为z平面的单位圆，相应的频率之间成线性关系。

核心原理：通过对连续函数ha(t)等间隔采样得到离散序列ha(nT)。它是一种时域上的转换方法

• 频率变换法

把一个频带范围变换到另一个相应的频带范围，称之为频率变换.利用频率变换可设计各种类型的频率选择滤波器.其基本思想是:根据给定的待设计指标，先变换成相应的低通原型滤波器的设计指标;然后按照低通滤波器的设计方法，设计出一个低通原型波滤器;最后再通过频率变换，求得所要求的实际低通、高通、带通、或带阻滤波器.频率变换有模拟频率变换与数字频率变换，可根据设计对象的要求来选取.

• 双线性变换法

双线性换法的主要优点是S平面与Z平面一单值对应，S平面的虚轴(整个jΩ)对应于Z平面单位圆的一周，S平面的Ω=0处对应于Z平面的ω=0处，对应即数字滤波器的频率响应终止于折迭频率处，所以双线性变换不存在混迭效应。

第一步：将整个S平面压缩到S1平面的一条横带里；

第二步：通过标准变换关系将此横带变换到整个Z平面上去。由此建立S平面与Z平面一一对应的单值关系，消除多值性，也就消除了混淆现象。

2.  FIR数字滤波器的设计方法

• 窗函数法

窗函数设计法又称为傅里叶级数法。

核心:理想滤波器频率设计->反变换时域无限长信号->信号截断->右移变因果系统。

• 频率抽样法

频率抽样法是从频域出发，在频域直接设计，把给定的理想频率响应加以等间隔抽样，并以此作为实际FIR滤波器的频率响应。设所需滤波器的频率响应为。

对Hd[m]进行频率抽样，就是在z平面单位圆上的N个等间隔点上抽样出频率响应值。在单位圆上可以有两种抽样方式，第一种是第一个抽样点在w=0处，第二种是第一个抽样点在w=pi/M处，每种方式可分为M为偶数与M为奇数两种。

为了提高逼近质量，使逼近误差更小，也就是减小在通带边缘由于抽样点的徒然变化而引起的起伏变化（这种起伏振荡使阻带内最小衰减变小，例如从衰减30dB变小为衰减20dB）。和窗口法的平滑截断一样，这里是使理想频率响应的不连续点的边缘加上一些过渡的抽样点（在这些点上抽样的最佳值由计算机算出），从而增加过渡带，减小频带边缘的突变，也就是减小了起伏振荡，增大了阻带最小衰减。这些抽样点上的取值不同，效果也就不同。如果精心设计过渡带的抽样值，就有可能使它的游泳频带的博文减小，从而设计出较好的滤波器。一般过渡带取一、二、三点抽样值即可得到满意结果。

在理想低通滤波器的设计中，若不增加过渡点，阻带和通带之间的衰减约为-21dB，如果在通带和阻带之间增加一个采样点，阻带的最小衰减可以提高到-65dB，如果增加两个采样点，阻带的最小衰减可以提高到-75dB，如果增加3个采样点，阻带的最小衰减可以提高到-85dB至-95dB。

频率抽样法的优点是可以在频域直接设计，并且适合于最优化设计；缺点是抽样频率只能等于2pi/M的整数倍或等于2pi/M的整数倍上加上pi/M，因而不能确保截止频率Wc的自由取值。要想实现自由选择频率，则必须增加抽样点数M，但这种计算量加大。

• 切比雪夫逼近法。

切比雪夫最佳一致逼近的基本思想是，对于给定区间[a，b]上的连续函数f(x)，在所有n次多项式的集合中，寻找一个多项式，使其在[a，b]上对f(x)的偏差和其他一切属于集合的多项式对f(x)的偏差相比是最小的。

利用切比雪夫设计FIR数字滤波器时，满足最佳一致逼近的滤波器又具有等纹波性质。存在通带纹波以及阻带纹波。在实际求解过程中，利用数值分析中的Remez算法，靠一次次迭代来求得一组交错点组。

二、MATLAB实现如下

1.  IIR滤波器的设计

对于IIR滤波器，冲激响应理论上应会无限持续，其输出不仅取决于当前和过去的输入信号值，也取决于过去的信号输出值

滤波器的性能指标

低通滤波器性能指标　fp＝500Hz, fs＝550Hz, As＝40dB, Ap＝1dB。

高通滤波器性能指标　fs＝4000Hz, fp＝4300Hz, As＝40dB, Ap＝1dB

带通滤波器性能指标　fp1＝1200 Hz, fp2＝3000 Hz, fs1＝1000 Hz,

fs2＝3200 Hz, As＝40dB, Ap＝1dB。

滤波器设计要求：

(1) 设计IIR模拟滤波器原型：分别设计巴特沃斯型低通、高通、带通滤波器。

(2)设计切比雪夫和椭圆型低通滤波器，比较巴特沃斯型、切比雪夫和椭圆型低通滤波器的区别。

(3)设计IIR数字滤波器：用双线性变换法设计上面（1）要求的3种滤波器。

(4)设计FIR滤波器：用窗函数法设计上面要求的3种滤波器。可以利用函数fir1设计FIR滤波器。

2. IIR模拟滤波器

2.1 巴特沃斯低通滤波器

Fs = 2000;
fp = 500;
fs = 550;
As = 40;
Ap = 1;
[n,fn] = buttord(fp/(Fs/2),fs/(Fs/2),Ap,As); [b,a] = butter(n,fn);
[h,w] = freqz(b,a);
figure(1)
Hf=abs(h);
plot(w,Hf)
title('巴特沃斯低通滤波器')
axis([0 4 0 2])

2.2 巴特沃斯高通滤波器

clear
Fs = 12000; fp = 4300;
fs = 4000;
As = 40;
Ap = 1;
 [n,fn] = buttord(fp/(Fs/2),fs/(Fs/2),Ap,As);
[b,a] = butter(n,fn,'high');
[h,w] = freqz(b,a);
figure(1)
Hf=abs(h);
plot(w,Hf)
title('巴特沃斯高通滤波器')

2.3 巴特沃斯带通滤波器

fp1=1200;fp2=3000;
fs1=1000;fs2=3200;
wp=[0.1*2*pi 0.15*2*pi];               
ws=[0.05*2*pi 0.2*2*pi];               
Rp=1;Rs=40;                                 
[N,Wn]=buttord(wp,ws,Rp,Rs,'s');       
fprintf('巴特沃斯带通滤波器 N= %4d\n',N);   
[bb,ab]=butter(N,Wn,'s');              
W=0:0.01:2;                             
[Hb,wb]=freqs(bb,ab,W);                
plot(wb/pi,20*log10(abs(Hb)),'b');    
hold on
title('巴特沃斯带通滤波器')

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