介值性定理的证明

介值性定理：

设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a)\neq f(b)$，若$\mu$为$f(a)$与$f(b)$之间的任何实数$(f(a)<\mu<f(b)或f(a)>\mu>f(b))$，则至少存在一点$x_0\in(a,b)$，使得$f(x_0)=\mu.$

推论（根的存在定理）：

若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a)$与$f(b)$异号，$即(f(a)f(b)<0)$，则至少存在一点$x_0\in(a,b)$，使得$f(x_0)=0$，即方程$f(x)=0$在$(a,b)$上至少有一个根。

证明：

考虑$(f(a)<f(b)$的情形，令$g(x)=f(x)-\mu$，则$g(a)=f(a)-\mu<0$，$g(b)=f(b)-\mu>0$，对介值的定理的证明转化为对推论的证明。
考虑这样一个集合

$$\ E=\{x|g(x)<0,x\in[a,b]\}$$

由于$E\subset[a,b]$，所以集合$E$是存在上界，根据确界准则，集合$E$必有上确界，设为$x_0$。
$b$是集合$E$的上界，且$g(b)>0$，根据函数的保不等式性可知，$\exists\delta_1>0$，使得当$x\in(b-\delta_1,b)$时，有$g(x)>0$，这就证明了$b$不是集合$E$的上确界，从而得知$b>x_0$。
$a\in E$且$g(a)<0$，根据函数的保不等式性可知，$\exists\delta_2>0$，使得$g(a+\delta_2)<0$，故$(a+\delta_2)\in E$，而$a<(a+\delta_2)$，所以$a$不是集合$E$的上确界，所以$a<x_0$。
综上可得

$$a<x_0<b$$

下面证明$g(x_0)=0$，用使用反证法：
假设$g(x_0)>0$，根据函数的保不等式性可知，$\exists\delta_3>0$，使得当$x\in(x_0-\delta_3,x_0)$时，有$g(x)>0$，这与$x_0$是上确界的前提相矛盾，故$g(x_0)>0$不成立。
假设$g(x_0)<0$，根据函数的保不等式性可知，$\exists\delta_4>0$，使得当$x\in(x_0,x_0+\delta_4]$时，有$g(x)<0$，显然$(x_0+\delta_4)\in E$且$(x_0+\delta_4)>x_0$，这与这与$x_0$是上确界的前提相矛盾，故$g(x_0)<0$也不成立。
故得$g(x_0)=0$，从而得出$f(x_0)=\mu$
得证