计算机中的二进制数运算方法

计算机中的二进制数运算方法是基于二进制数的位操作实现的，主要包括算术运算（加、减、乘、除）和逻辑运算（与、或、非、异或等）。这些运算是计算机硬件（如CPU中的算术逻辑单元ALU）的核心功能，也是所有高级运算的基础。以下是详细说明：

一、算术运算

1. 二进制加法

规则（按位相加，从最低位开始，逐位进位）：

• 0 + 0 = 0
• 0 + 1 = 1
• 1 + 0 = 1
• 1 + 1 = 0（进位1）

示例（4位二进制加法）：

  0101 (5)
+ 0011 (3)
-------
  1000 (8)  （无进位溢出）

进位处理：

• 若最高位产生进位（如1111 + 0001 = 1 0000），结果需根据位数截断（4位结果为0000，进位标志位设为1）。

2. 二进制减法

方法：通过补码将减法转换为加法（a - b = a + (-b的补码)）。

步骤：

1. 求减数b的补码（反码加1）。
2. 将补码与被减数a相加。
3. 若结果产生进位，忽略进位；若无进位且符号位为1，需再次求补码修正结果。

示例（4位二进制减法：5 - 3）：

  0101 (5)
- 0011 (3)
-------
= 0101 + (补码 of 0011)
  0011的反码：1100
  补码：1101
  0101 + 1101 = 1 0010 → 忽略进位，结果为0010 (2)

3. 二进制乘法

方法：类似十进制乘法，通过移位和加法实现。

步骤：

1. 将乘数的每一位与被乘数相乘（0则结果为0，1则结果为被乘数）。
2. 根据乘数位的权重（2的幂次）左移结果。
3. 将所有部分积相加。

示例（4位二进制乘法：5 × 3）：

  0101 (5)
× 0011 (3)
-------
  0101   (5 × 1, 左移0位)
+ 01010  (5 × 1, 左移1位)
-------
  1111   (15)

4. 二进制除法

方法：通过试商和减法实现，类似长除法。

步骤：

1. 从被除数的最高位开始，与除数比较。
2. 若被除数部分 ≥ 除数，则商位为1，并减去除数；否则商位为0。
3. 左移被除数（带余数），重复步骤2直至所有位处理完毕。

示例（4位二进制除法：15 ÷ 3）：

  1111 (15) ÷ 0011 (3)
-------
  1 (商第一位)
- 0011 (3)
  ----
  110 (余数左移)
  1 (商第二位)
- 0011 (3)
  ----
  11 (余数左移，不足除，商后续位为0)
-------
  商：0101 (5)，余数：0011 (3)

二、逻辑运算

逻辑运算对二进制数的每一位独立操作，不考虑进位或借位。

1. 按位与（AND）

规则：对应位均为1时结果为1，否则为0。
符号：&
示例：

  0101 & 0011 = 0001

2. 按位或（OR）

规则：对应位至少一个为1时结果为1，否则为0。
符号：|
示例：

  0101 | 0011 = 0111

3. 按位非（NOT）

规则：对每一位取反（0变1，1变0）。
符号：~
示例：

  ~0101 = 1010

4. 按位异或（XOR）

规则：对应位不同时结果为1，相同时为0。
符号：^
示例：

  0101 ^ 0011 = 0110

三、移位运算

移位运算通过左移或右移改变二进制数的位序，常用于快速乘除法或数据对齐。

1. 逻辑左移（Logical Shift Left）

规则：所有位向左移动n位，右侧补0。
效果：相当于乘以2^n。
示例（逻辑左移1位）：

  0101 (5) << 1 = 1010 (10)

2. 逻辑右移（Logical Shift Right）

规则：所有位向右移动n位，左侧补0。
效果：相当于除以2^n（向下取整）。
示例（逻辑右移1位）：

  0101 (5) >> 1 = 0010 (2)

3. 算术右移（Arithmetic Shift Right）

规则：符号位保持不变，其余位向右移动n位，左侧补符号位。
用途：保留负数的符号，用于有符号数的除法。
示例（算术右移1位，假设为有符号数）：

  1101 (-3的补码) >> 1 = 1110 (-2的补码)

四、运算应用与优化

1. 补码的优势：

   • 统一加减法运算（减法通过补码转换为加法）。
   • 避免原码和反码中的双零问题，简化硬件设计。

2. 溢出处理：

   • 算术运算可能产生溢出（结果超出位数范围），需通过进位标志位（Carry Flag）或溢出标志位（Overflow Flag）检测。

3. 快速乘除法：

   • 乘法通过移位和加法优化（如Booth算法）。
   • 除法通过试商和减法优化（如恢复余数法或非恢复余数法）。

4. 位操作技巧：

   • 交换变量值（无需临时变量）：

     a ^= b; b ^= a; a ^= b;
     

   • 判断奇偶性：if (x & 1) { /* 奇数 */ }
   • 取绝对值（补码技巧）：

     int mask = x >> (sizeof(int) * 8 - 1);
     x = (x + mask) ^ mask;