为什么直接比较两个浮点数是否“完全相等”是危险的？

我们从一个非常反直觉的点说起，0.1 在我们常用的十进制里，是一个有限小数，但在计算机使用的二进制里，它却是一个无限循环小数。我们来一步步拆解一下：

1. 十进制的视角（我们熟悉的）

在我们的十进制世界里：

• 0.1 表示的是 $1 \div 10$。
• 0.5 表示的是 $5 \div 10$（也就是 $1 \div 2$）。

这很直观。

2. 二进制的视角（计算机的视角）

计算机用二进制，每一位只能表示 0 或 1。小数部分的位置，代表的是 2 的负幂次方：

• 第1位： $\frac{1}{2^1} = 0.5$
• 第2位： $\frac{1}{2^2} = 0.25$
• 第3位： $\frac{1}{2^3} = 0.125$
• 第4位： $\frac{1}{2^4} = 0.0625$
• …以此类推

现在，我们试着用这些“二进制碎片”来拼凑出 0.1：

1. 0.5 太大了，比 0.1 大，所以第一位是 0。 (当前值: 0)
2. 0.25 也太大了，第二位是 0。 (当前值: 0)
3. 0.125 还是比 0.1 大，第三位是 0。 (当前值: 0)
4. 0.0625 比 0.1 小！所以第四位是 1。 (当前值: 0.0625)
   • 我们现在还差 0.1 - 0.0625 = 0.0375。
5. 下一个是 0.03125，比 0.0375 小，所以第五位是 1。 (当前值: 0.0625 + 0.03125 = 0.09375)
   • 现在还差 0.1 - 0.09375 = 0.00625。
6. 下一个是 0.015625，比 0.00625 大，所以第六位是 0。
7. 下一个是 0.0078125，还是比 0.00625 大，所以第七位是 0。
8. 下一个是 0.00390625，比 0.00625 小，所以第八位是 1。 (当前值: 0.09375 + 0.00390625 = 0.09765625)
   • 现在还差 0.1 - 0.09765625 = 0.00234375。
9. 下一个是 0.001953125，比 0.00234375 小，所以第九位是 1。 (当前值: 0.09765625 + 0.001953125 = 0.099609375)
   • 现在还差 0.000390625。

你会发现，这个过程会一直持续下去，永远无法用 2 的负幂次方精确地加起来等于 0.1。它会进入一个 循环模式。

实际上，0.1 的二进制表示是：
0.000110011001100110011001100110011… (其中的 0011 部分会无限重复)

3. 这就像在十进制里表示 $\frac{1}{3}$

这其实和一个我们熟悉的十进制问题很像：如何在十进制下精确表示 $\frac{1}{3}$？

答案是 $0.3333333...$，它是一个 无限循环小数。无论你写多少个3，它都不是精确的 $\frac{1}{3}$，只能无限接近。

• 十进制下的 $\frac{1}{3}$
• 二进制下的 $\frac{1}{10}$(也就是 0.1)

它们在自己的数制系统里，都是 无法被精确表示 的无限循环小数。

结论

所以，当你说 float16(0.1) 时，计算机只能把这个无限循环的二进制小数 截断 到 float16 所能容纳的有限位数（16位中的一部分用于小数）。这个被截断的、近似的结果就是 0.0999755859375。

这也就是为什么在编程中，直接比较两个浮点数是否“完全相等”是危险的，因为它们底层可能存储着你意想不到的微小误差。