float16和int16的表达解析

为什么用同样多的比特（16位），float16 既能表示小数，其数值范围还比 int16 大得多？下面给你解读这奇怪表面的背后真相。

• int16 像一把刻度均匀的尺子，只能精确地量整数。
• float16 像一把刻度不均匀的放大镜，可以在不同区域调节精度，从而覆盖更广的范围。

int16

• 编码规则：使用 “二进制补码”。第 1 位（最高位）是 符号位：0 代表正数，1 代表负数。剩下的 15 位是 数值位。
• 范围计算：
  • 正数最大：0 111 1111 1111 1111 = +2¹⁵ - 1 = +32,767
  • 负数最小：1 000 0000 0000 0000 = -2¹⁵ = -32,768
  • 每个整数都有一个唯一的编码，从 -32768 到 32767，一个接一个，没有间隔。

float16 的设计借鉴了科学计数法的思想。在科学计数法中，一个数可以表示为：±M × 10^E（例如：6.02 × 10²³）。在 float16 的二进制世界里，它被表示为：±Sign × (1 + Fraction) × 2^(Exponent - Bias)（float16 的指数偏移量是 15)。它的 16 位被分成了三个部分：

1. 符号位 (Sign)：1 位。和 int16 一样。
2. 指数位 (Exponent)：5 位。这决定了数的尺度或范围。可以表示 0 到 31。
3. 尾数位/小数位 (Fraction/Mantissa)：10 位。这决定了在特定尺度下的精度。

float16 的范围：约 -6.55×10⁴ 到 +6.55×10⁴，并且还能向下(0)延伸到约 ±5.96×10⁻⁸

秘诀在于 指数。5 位的指数位，通过一个“偏移码”处理，可以让指数大约在 -14 到 +15 之间变化（除去指数全0表示非规约数或零、全1表示无穷大或NaN这2个特殊情况）。
这意味着它可以表示 2^(-14) 这样极小的数，和 2^(15) 这样极大的数。2^15 = 32768，再乘上尾数部分（约 1.999），就能得到大约 65,504。

**float16**就像一个可移动的聚光灯在一个非常长的数字轴上巡逻。

• 指数 控制聚光灯移动到哪里。它可以照到非常远（大数）或非常近（小数）的地方。
• 尾数 控制在聚光灯光圈内的精细刻度。光圈的大小是固定的（由 10 位决定），所以：
  • 当聚光灯照在“小数区域”时，光圈覆盖的范围很小，刻度非常密集，精度很高。
  • 当聚光灯照在“大数区域”时，光圈覆盖的范围很大，刻度变得稀疏，精度下降。比如，在 50000 附近，float16 甚至无法区分 50000 和 50001，它们会被表示为同一个数！

总结与对比

结论：
float16 之所以能用同样的 16 位做到“鱼与熊掌兼得”（范围广 + 有小数），是因为它牺牲了均匀的精度，采用了基于指数的“科学计数法”编码。这是一种用“精度”来换取“范围和灵活性”的权衡。而 int16 则用它的所有位来保证在有限范围内的绝对精确。

最后说说整数的补码：

把16位二进制想象成一个16位的时钟，总共65536个刻度（0~65535）。

技巧：要表示 -X，就顺时针走 (65536 - X) 格

例子：-1 怎么表示？

• 顺时针走 (65536 - 1) = 65535 格
• 65535 的二进制 = 1111111111111111

验证为什么这代表 -1：
111...111 + 000...001 = 000...000 (溢出，回到0点)
就像时钟上：11点59分 + 1分钟 = 12点整

再想想：-2怎么表示？

所以补码的本质是：用“大数”来表示“负数”，让加减法统一用加法电路就能完成！