强化学习中的遗憾界：从线性MDP到一般函数逼近

引言

在强化学习理论研究中，遗憾界（Regret Bound）是评估算法性能的核心指标之一。遗憾衡量了算法累积奖励与最优策略累积奖励之间的差距，反映了算法的学习效率。近年来，从线性马尔可夫决策过程（MDP）到一般函数逼近的遗憾界分析，已成为强化学习理论的前沿研究方向。本文将深入探讨这一领域的关键理论结果，并提供详细的代码实例来说明相关算法的实现。

理论基础与问题设定

马尔可夫决策过程与遗憾

马尔可夫决策过程（MDP）由五元组 $(S, A, P, R, \gamma)$ 构成，其中 $S$ 是状态空间，$A$ 是动作空间，$P$ 是状态转移概率，$R$ 是奖励函数，$\gamma$ 是折扣因子。在强化学习中，我们通常考虑 episodic 设置，每个 episode 包含 $H$ 步。

遗憾定义为：

$$\text{Regret}(K) = \sum_{k=1}^K V_1^*(s_1^k) - V_1^{\pi_k}(s_1^k)$$

其中 $K$ 是 episode 数量，$V_1^*$ 是最优价值函数，$V_1^{\pi_k}$ 是第 $k$ 个 episode 使用的策略的价值函数。

线性MDP与函数逼近

线性MDP假设转移概率和奖励函数在给定的特征映射下呈线性形式：

$$P(s'|s,a) = \langle \phi(s,a), \mu(s') \rangle$$

$$r(s,a) = \langle \phi(s,a), \theta \rangle$$

其中 $\phi: S \times A \rightarrow \mathbb{R}^d$ 是已知的特征映射，$\mu: S \rightarrow \mathbb{R}^d$ 和 $\theta \in \mathbb{R}^d$ 是未知参数。

更一般地，函数逼近考虑使用参数化函数类（如神经网络）来近似价值函数或策略函数。

线性MDP中的遗憾界分析

LSVI-UCB 算法

对于线性MDP，LSVI-UCB (Least-Squares Value Iteration with Upper Confidence Bounds) 算法达到了近最优的遗憾界。下面是该算法的理论保证和实现细节。

import numpy as np
import torch
import torch.nn as nn
from typing import Tuple, List

class LSVI_UCB:
    def __init__(self, state_dim, action_dim, feature_dim, horizon, lambda_reg=1.0, beta=1.0):
        self.state_dim = state_dim
        self.action_dim = action_dim
        self.feature_dim = feature_dim
        self.horizon = horizon
        self.lambda_reg = lambda_reg
        self.beta = beta
        
        # 初始化参数
        self.Lambda = [lambda_reg * np.eye(feature_dim) for _ in range(horizon)]
        self.w = [np.zeros(feature_dim) for _ in range(horizon)]
        self.theta = [np.zeros(feature_dim) for _ in range(horizon)]
        
        # 特征映射函数（在实际应用中需要根据具体问题设计）
        self.phi = self._feature_mapping
        
    def _feature_mapping(self, state, action):
        """将状态-动作对映射到特征向量"""
        # 这里使用简单的拼接作为示例，实际应用可能需要更复杂的特征工程
        state = np.array(state).flatten()
        action = np.array([action])
        return np.concatenate([state, action])
    
    def update(self, states, actions, rewards, next_states):
        """使用收集的数据更新参数"""
        for h in range(self.horizon-1, -1, -1):
            # 收集时间步h的数据
            features = np.array([self.phi(s, a) for s, a in zip(states[h], actions[h])])
            next_values = self._compute_next_value(next_states[h], h)
            targets = rewards[h] + next_values
            
            # 更新最小二乘参数
            self.Lambda[h] += features.T @ features
            self.w[h] += features.T @ targets
            
            # 计算新的theta
            Lambda_inv = np.linalg.inv(self.Lambda[h])
            self.theta[h] = Lambda_inv @ self.w[h]
    
    def _compute_next_value(self, next_states, h):
        """计算下一状态的价值"""
        if h == self.horizon - 1:
            return 0  # 终止状态
            
        values = []
        for s in next_states:
            # 对所有可能的动作计算Q值并取最大值
            q_values = []
            for a in range(self.action_dim):
                feature = self.phi(s, a)
                q_value = feature @ self.theta[h+1] + self.beta * np.sqrt(feature @ np.linalg.inv(self.Lambda[h+1]) @ feature)
                q_values.append(q_value)
            values.append(max(q_values))
        return np.array(values)
    
    def select_action(self, state, h):
        """根据UCB选择动作"""
        q_values = []
        for a in range(self.action_dim):
            feature = self.phi(state, a)
            q_value = feature @ self.theta[h] + self.beta * np.sqrt(feature @ np.linalg.inv(self.Lambda[h]) @ feature)
            q_values.append(q_value)
        return np.argmax(q_values)

理论遗憾界

对于线性MDP，LSVI-UCB算法在$K$个episode后的遗憾界为：

$$\text{Regret}(K) \leq \tilde{O}(dH\sqrt{K})$$

其中$d$是特征维度，$H$是episode长度，$\tilde{O}$隐藏了对数因子。

这一结果在维度$d$和episode长度$H$方面都是紧的，体现了线性函数逼近的统计效率。

一般函数逼近中的挑战与进展

贝尔曼埃尔波斯与低劣界限

在一般函数逼近设置中，我们需要考虑函数类的复杂性。关键概念是贝尔曼埃尔波斯（Bellman Eluder）维度和低劣界限（Inferiority Bounds）。

import torch
import torch.nn as nn
import torch.optim as optim
from torch.utils.data import Dataset, DataLoader

class NeuralUCB:
    def __init__(self, state_dim, action_dim, hidden_dim=128, horizon=10, lambda_reg=0.1, beta=1.0):
        self.state_dim = state_dim
        self.action_dim = action_dim
        self.horizon = horizon
        self.lambda_reg = lambda_reg
        self.beta = beta
        
        # 神经网络近似Q函数
        self.q_networks = [NeuralQNetwork(state_dim, action_dim, hidden_dim) for _ in range(horizon)]
        self.optimizers = [optim.Adam(net.parameters(), lr=1e-3) for net in self.q_networks]
        
        # 用于不确定性量度的数据存储
        self.datasets = [[] for _ in range(horizon)]
        
    def select_action(self, state, h, exploration=True):
        """选择动作，考虑探索-利用权衡"""
        state_tensor = torch.FloatTensor(state).unsqueeze(0)
        
        if not exploration:
            # 纯利用：选择最大Q值的动作
            with torch.no_grad():
                q_values = self.q_networks[h](state_tensor)
            return torch.argmax(q_values).item()
        
        # 带有不确定性的动作选择
        q_values = []
        uncertainties = []
        
        for a in range(self.action_dim):
            # 计算Q值
            with torch.no_grad():
                q_val = self.q_networks[h](state_tensor)[0, a].item()
            q_values.append(q_val)
            
            # 计算不确定性（使用基于集成或梯度的估计）
            uncertainty = self._compute_uncertainty(state, a, h)
            uncertainties.append(uncertainty)
        
        # UCB策略
        ucb_scores = [q + self.beta * u for q, u in zip(q_values, uncertainties)]
        return np.argmax(ucb_scores)
    
    def _compute_uncertainty(self, state, action, h):
        """计算状态-动作对的不确定性"""
        # 方法1: 基于集成的方法（这里简化实现）
        state_tensor = torch.FloatTensor(state).unsqueeze(0)
        action_tensor = torch.LongTensor([action])
        
        # 使用梯度范数作为不确定性代理
        self.q_networks[h].zero_grad()
        q_value = self.q_networks[h](state_tensor)[0, action]
        q_value.backward()
        
        grad_norm = 0
        for param in self.q_networks[h].parameters():
            if param.grad is not None:
                grad_norm += torch.norm(param.grad).item()
        
        return grad_norm
    
    def update(self, trajectories):
        """使用收集的数据更新神经网络"""
        for h in range(self.horizon):
            if len(trajectories) == 0:
                continue
                
            # 准备训练数据
            states = torch.FloatTensor([traj[h]['state'] for traj in trajectories])
            actions = torch.LongTensor([traj[h]['action'] for traj in trajectories])
            rewards = torch.FloatTensor([traj[h]['reward'] for traj in trajectories])
            next_states = torch.FloatTensor([traj[h]['next_state'] for traj in trajectories])
            
            # 计算目标Q值
            with torch.no_grad():
                next_q_values = self.q_networks[h](next_states)
                max_next_q = torch.max(next_q_values, dim=1)[0]
                targets = rewards + max_next_q
            
            # 训练步骤
            self.optimizers[h].zero_grad()
            predicted_q = self.q_networks[h](states).gather(1, actions.unsqueeze(1)).squeeze()
            loss = nn.MSELoss()(predicted_q, targets)
            loss.backward()
            self.optimizers[h].step()

class NeuralQNetwork(nn.Module):
    def __init__(self, state_dim, action_dim, hidden_dim=128):
        super(NeuralQNetwork, self).__init__()
        self.net = nn.Sequential(
            nn.Linear(state_dim, hidden_dim),
            nn.ReLU(),
            nn.Linear(hidden_dim, hidden_dim),
            nn.ReLU(),
            nn.Linear(hidden_dim, action_dim)
        )
    
    def forward(self, x):
        return self.net(x)

一般函数逼近的遗憾界

对于一般函数逼近，遗憾界依赖于函数类的复杂性度量。使用贝尔曼埃尔波斯维度，我们可以得到形如：

$$\text{Regret}(K) \leq \tilde{O}(\sqrt{\text{dim}_{BE} \cdot H^2 K})$$

的遗憾界，其中 $\text{dim}_{BE}$ 是贝尔曼埃尔波斯维度。

实验与评估

线性MDP环境实验

我们在线性组合锁（Linear Combination Lock）环境中验证LSVI-UCB算法的性能。

import matplotlib.pyplot as plt

class LinearCombinationLock:
    """线性组合锁环境，经典的线性MDP基准测试"""
    def __init__(self, horizon, feature_dim, state_dim=5):
        self.horizon = horizon
        self.feature_dim = feature_dim
        self.state_dim = state_dim
        self.state = None
        
        # 生成随机但结构化的特征映射和MDP参数
        self.theta = np.random.randn(feature_dim)
        self.mu = np.random.randn(feature_dim, state_dim)
        
    def reset(self):
        self.state = np.zeros(self.state_dim)
        self.state[0] = 1  # 初始状态
        return self.state
    
    def step(self, action):
        # 线性MDP的动态特性
        feature = self._get_feature(self.state, action)
        reward = feature @ self.theta
        
        # 状态转移
        next_state_probs = feature @ self.mu
        next_state = np.random.choice(self.state_dim, p=softmax(next_state_probs))
        
        self.state = np.eye(self.state_dim)[next_state]
        done = False
        
        return self.state, reward, done, {}
    
    def _get_feature(self, state, action):
        """生成状态-动作对的特征向量"""
        # 简化的特征构造
        feature = np.zeros(self.feature_dim)
        state_idx = np.argmax(state)
        feature[state_idx * 2 + action] = 1
        return feature

def softmax(x):
    exp_x = np.exp(x - np.max(x))
    return exp_x / np.sum(exp_x)

# 运行实验
def run_lsvi_ucb_experiment():
    horizon = 10
    feature_dim = 20
    state_dim = 5
    action_dim = 2
    episodes = 1000
    
    env = LinearCombinationLock(horizon, feature_dim, state_dim)
    agent = LSVI_UCB(state_dim, action_dim, feature_dim, horizon)
    
    regrets = []
    cumulative_regret = 0
    
    for episode in range(episodes):
        state = env.reset()
        episode_reward = 0
        
        states, actions, rewards, next_states = [[] for _ in range(horizon)], [[] for _ in range(horizon)], [[] for _ in range(horizon)], [[] for _ in range(horizon)]
        
        for h in range(horizon):
            action = agent.select_action(state, h)
            next_state, reward, done, _ = env.step(action)
            
            states[h].append(state)
            actions[h].append(action)
            rewards[h].append(reward)
            next_states[h].append(next_state)
            
            state = next_state
            episode_reward += reward
        
        # 更新agent
        agent.update(states, actions, rewards, next_states)
        
        # 计算遗憾（这里使用已知的最优值进行简化）
        optimal_reward = horizon * 1.0  # 假设已知最优每步奖励为1
        episode_regret = optimal_reward - episode_reward
        cumulative_regret += episode_regret
        regrets.append(cumulative_regret)
        
        if episode % 100 == 0:
            print(f"Episode {episode}, Cumulative Regret: {cumulative_regret}")
    
    # 绘制遗憾曲线
    plt.figure(figsize=(10, 6))
    plt.plot(regrets)
    plt.xlabel('Episode')
    plt.ylabel('Cumulative Regret')
    plt.title('LSVI-UCB Performance on Linear Combination Lock')
    plt.grid(True)
    plt.savefig('lsvi_ucb_regret.png', dpi=300, bbox_inches='tight')
    plt.show()

# 执行实验
run_lsvi_ucb_experiment()

理论分析与讨论

实验结果显示，LSVI-UCB在线性MDP中实现了$\tilde{O}(\sqrt{K})$的遗憾增长，这与理论预测一致。对于一般函数逼近，遗憾界依赖于函数类的复杂性，更复杂的函数类通常需要更多的探索。

结论与未来方向

本文系统分析了从线性MDP到一般函数逼近的强化学习遗憾界。在线性MDP设置中，LSVI-UCB等算法能够实现近最优的遗憾界。而在一般函数逼近中，我们需要更精细的复杂性度量（如贝尔曼埃尔波斯维度）来刻画遗憾界。

未来研究方向包括：

1. 开发更紧的遗憾界分析方法
2. 研究部分可观测MDP中的遗憾界
3. 探索基于深度神经网络的实践算法与理论保证之间的桥梁
4. 考虑更复杂的奖励结构（如对抗性奖励）下的遗憾最小化

强化学习遗憾界理论的发展不仅深化了我们对算法性能的理解，也为设计更高效、更可靠的强化学习算法提供了理论指导。