【C++航海王：追寻罗杰的编程之路】关联式容器的底层结构——红黑树

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枫叶丹 发表于 2024/12/20 15:16:55 2024/12/20
【摘要】 红黑树，是一种二叉搜索树，但在每个节点上增加了一个存储位表示节点的颜色，可以是Red或Black。通过对任何一条从根到叶子的路径上各个节点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出两倍，因而是接近平衡的。

​

 目录

1 -> 红黑树

1.1 -> 红黑树的概念

1.2 -> 红黑树的性质

1.3 -> 红黑树节点的定义

1.4 -> 红黑树的结构

1.5 -> 红黑树的插入操作

1.6 -> 红黑树的验证

1.8 -> 红黑树与AVL树的比较

2 -> 红黑树模拟实现STL中的map与set

2.1 -> 红黑树的迭代器

2.2 -> 改造红黑树

2.3 -> map的模拟实现

2.4 -> set的模拟实现

​

1 -> 红黑树

1.1 -> 红黑树的概念

红黑树，是一种二叉搜索树，但在每个节点上增加了一个存储位表示节点的颜色，可以是Red或Black。通过对任何一条从根到叶子的路径上各个节点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出两倍，因而是接近平衡的。

​

1.2 -> 红黑树的性质

  1. 每个节点不是红色就是黑色。
  2. 根节点是黑色的。
  3. 如果一个节点是红色的，则它的两个孩子节点是黑色的。
  4. 对于每个节点，从该节点到其所有后代叶节点的简单路径上，均包含相同数目的黑色节点。
  5. 每个叶子节点都是黑色的(此处的叶子节点指空节点)。

1.3 -> 红黑树节点的定义

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1

#include <iostream>
using namespace std;

// 节点的颜色
enum Color 
{ 
	RED, BLACK 
};

// 红黑树节点的定义
template<class ValueType>
struct RBTreeNode
{
	RBTreeNode(const ValueType& data = ValueType()，Color color = RED)
		: _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr)
		, _data(data), _color(color)
	{}
	RBTreeNode<ValueType>* _pLeft;   // 节点的左孩子
	RBTreeNode<ValueType>* _pRight;  // 节点的右孩子
	RBTreeNode<ValueType>* _pParent; // 节点的双亲(红黑树需要旋转，为了实现简单给出该字段)

	ValueType _data; // 节点的值域
	Color _color;    // 节点的颜色
};

1.4 -> 红黑树的结构

为了后续实现关联式容器更加简单，红黑树的实现中增加一个头节点，因为根节点必须是黑色的，为了与根节点区分开，将头节点给成黑色，并且让头节点的pParent域指向红黑树的根节点，pLeft域指向红黑树中最小的节点，_pRight域指向红黑树中最大的节点。

​

1.5 -> 红黑树的插入操作

红黑树是在二叉搜索树的基础上加上其平衡限制条件，因此红黑树的插入可以分为两步：

1. 按照二叉搜索树的树规则插入新节点。

template<class ValueType>
struct RBTree
{
	bool Insert(const ValueType& data)
	{
		PNode& pRoot = GetRoot();
		if (nullptr == pRoot)
		{
			pRoot = new Node(data, BLACK);

			// 根的双亲为头节点
			pRoot->_pParent = _pHead;
			_pHead->_pParent = pRoot;
		}
		else
		{
			// 1. 按照二叉搜索的树方式插入新节点
			// 2. 检测新节点插入后，红黑树的性质是否造到破坏，
			//    若满足直接退出，否则对红黑树进行旋转着色处理
		}
		// 根节点的颜色可能被修改，将其改回黑色
		pRoot->_color = BLACK;
		_pHead->_pLeft = LeftMost();
		_pHead->_pRight = RightMost();

		return true;
	}
private:
	PNode& GetRoot()
	{
		return _pHead->_pParent;
	}

	// 获取红黑树中最小节点，即最左侧节点
	PNode LeftMost();

	// 获取红黑树中最大节点，即最右侧节点
	PNode RightMost();

private:
	PNode _pHead;
}

2. 检测新节点插入后，红黑树的性质是否遭到破坏。

因为新节点的默认颜色为红色，因此：如果其双亲节点的颜色是黑色，没有违反红黑树的任何性质，则不需要调整；但当新插入节点的双亲节点颜色为红色时，就违反了性质三，即不能有连在一起的红色节点，此时需要对红黑树分情况来讨论： 

  • 情况一：cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红。

注意：此处看到的树可能是一棵完整的树，也可能是一棵子树。

​

如果g是根节点，调整完成后，需要将g改为黑色。

如果g是子树，g一定有双亲，且g的双亲如果是红色，就需要继续向上调整。 

​

cur和p均为红，违反了性质三。

解决方法：将p、u改为黑，g改为红，然后把g当成cur，继续向上调整。 

  • 情况二：cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑。

​

 说明：

  1. 如果u节点不存在，则cur一定是新插入节点，因为如果cur不是新插入节点，则cur和p一定有一个节点的颜色是黑色，就不满足性质4：每条路径黑色节点个数相同。
  2. 如果u节点存在，则其一定是黑色的，那么cur节点原来的颜色一定是黑色的，现在看到其是红色的原因是因为cur的子树在调整的过程中将cur节点的颜色由黑色改成了红色。

p为g的左孩子，cur为p的左孩子，则进行右单旋转。

p为g的右孩子，cur为p的右孩子，则进行左单旋转。

p、g变色——p变黑，g变红。

  • 情况三：cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑。

​


p为g的左孩子，cur为p的右孩子，则针对p进行左单旋转。

p为g的右孩子，cur为p的左孩子，则针对p进行右单旋转。

则转换成情况二。

针对每种情况进行相应的处理即可。

bool Insert(const ValueType& data)
{
	// ...
	// 新节点插入后，如果其双亲节点的颜色为空色，则违反性质3：不能有连在一起的红色结点
		while (pParent && RED == pParent->_color)
		{
			// 注意：grandFather一定存在
			// 因为pParent存在，且不是黑色节点，则pParent一定不是根，则其一定有双亲
			PNode grandFather = pParent->_pParent;
			// 先讨论左侧情况
			if (pParent == grandFather->_pLeft)
			{
				PNode unclue = grandFather->_pRight;
				// 情况三：叔叔节点存在，且为红
				if (unclue && RED == unclue->_color)
				{
					pParent->_color = BLACK;
					unclue->_color = BLACK;
					grandFather->_color = RED;
					pCur = grandFather;
					pParent = pCur->_pParent;
				}
				else
				{
					// 情况五：叔叔节点不存在，或者叔叔节点存在且为黑
					if (pCur == pParent->_pRight)
					{
						_RotateLeft(pParent);
						swap(pParent, pCur);
					}
					// 情况五最后转化成情况四
					grandFather->_color = RED;
					pParent->_color = BLACK;
					_RotateRight(grandFather);
				}
			}
			else
			{
				// …
			}
		}
	// ...
}

1.6 -> 红黑树的验证

红黑树的检测分为两步：

  1. 检测其是否满足二叉搜索树(中序遍历是否为有序序列)。
  2. 检测其是否满足红黑树的性质。
bool IsValidRBTree()
	{
		PNode pRoot = GetRoot();

		// 空树也是红黑树
		if (nullptr == pRoot)
			return true;

		// 检测根节点是否满足情况
		if (BLACK != pRoot->_color)
		{
			cout << "违反红黑树性质二：根节点必须为黑色" << endl;

			return false;
		}

		// 获取任意一条路径中黑色节点的个数
		size_t blackCount = 0;
		PNode pCur = pRoot;
		while (pCur)
		{
			if (BLACK == pCur->_color)
				blackCount++;

			pCur = pCur->_pLeft;
		}

		// 检测是否满足红黑树的性质，k用来记录路径中黑色节点的个数
		size_t k = 0;

		return _IsValidRBTree(pRoot, k, blackCount);
	}

	bool _IsValidRBTree(PNode pRoot, size_t k, const size_t blackCount)
	{
		//走到null之后，判断k和black是否相等
		if (nullptr == pRoot)
		{
			if (k != blackCount)
			{
				cout << "违反性质四：每条路径中黑色节点的个数必须相同" << endl;
				return false;
			}

			return true;
		}

		// 统计黑色节点的个数
		if (BLACK == pRoot->_color)
			k++;

		// 检测当前节点与其双亲是否都为红色
		PNode pParent = pRoot->_pParent;
		if (pParent && RED == pParent->_color && RED == pRoot->_color)
		{
			cout << "违反性质三：没有连在一起的红色节点" << endl;

			return false;
		}

		return _IsValidRBTree(pRoot->_pLeft, k, blackCount) &&
			_IsValidRBTree(pRoot->_pRight, k, blackCount);
	}

1.8 -> 红黑树与AVL树的比较

红黑树和AVL树都是高效的平衡二叉树，增删改查的时间复杂度都是O(n)，红黑树不追求绝对平衡，其只需保证最长路径不超过最短路径的2倍，相对而言，降低了插入和旋转的次数，所以在经常进行增删的结构中性能比AVL树更优，而且红黑树实现比较简单，所以在实际运用中红黑树更多。

2 -> 红黑树模拟实现STL中的map与set

2.1 -> 红黑树的迭代器

迭代器的好处是可以方便遍历，是数据结构的底层实现与用户透明。如果想要给红黑树增加迭代器，需要考虑以下问题：

  • begin()和end()

STL明确规定，begin()与end()代表的是一段前闭后开的区间，而对红黑树进行中序遍历后，可以得到一个有序的序列，因此：begin()可以放在红黑树中最小节点(即最左侧节点)的位置，end()放在最大节点(最右侧节点)的下一个位置，关键是最大节点的下一个位置在哪里呢？能否给成nullptr呢？

答案是行不通的，因为对end()位置的迭代器进行--操作，必须要能找到最后一个元素，此处就不行，因此最好的方式是将end()放在头节点的位置：

​

  • operator++()与operator--() 
// 找迭代器的下一个节点，下一个节点肯定比其大
	void Increasement()
	{
		//分两种情况讨论:_pNode的右子树存在和不存在
		// 右子树存在
		if (_pNode->_pRight)
		{
			// 右子树中最小的节点，即右子树中最左侧节点
			_pNode = _pNode->_pRight;
			while (_pNode->_pLeft)
				_pNode = _pNode->_pLeft;
		}
		else
		{
			// 右子树不存在，向上查找，直到_pNode != pParent->right
			PNode pParent = _pNode->_pParent;
			while (pParent->_pRight == _pNode)
			{
				_pNode = pParent;
				pParent = _pNode->_pParent;
			}
			// 特殊情况：根节点没有右子树
			if (_pNode->_pRight != pParent)
				_pNode = pParent;
		}
	}

	// 获取迭代器指向节点的前一个节点
	void Decreasement()
	{
		//分三种情况讨论：_pNode 在head的位置，_pNode 左子树存在，_pNode 左子树不
		存在
			// 1. _pNode 在head的位置，--应该将_pNode放在红黑树中最大节点的位置
			if (_pNode->_pParent->_pParent == _pNode && _pNode->_color == RED)
				_pNode = _pNode->_pRight;
			else if (_pNode->_pLeft)
			{
				// 2. _pNode的左子树存在,在左子树中找最大的节点，即左子树中最右侧节点
				_pNode = _pNode->_pLeft;
				while (_pNode->_pRight)
					_pNode = _pNode->_pRight;
			}
			else
			{
				// _pNode的左子树不存在，只能向上找
				PNode pParent = _pNode->_pParent;
				while (_pNode == pParent->_pLeft)
				{
					_pNode = pParent;
					pParent = _pNode->_pParent;
				}
				_pNode = pParent;
			}
	}

2.2 -> 改造红黑树

#pragma once

// set ->key
// map ->key/value

enum Colour
{
	RED,
	BLACK
};

template<class T>
struct RBTreeNode
{
	RBTreeNode<T>* _left;
	RBTreeNode<T>* _right;
	RBTreeNode<T>* _parent;

	T _data;

	Colour _col;

	RBTreeNode(const T& data)
		:_left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _data(data)
		, _col(RED)
	{}
};

template<class T>
struct __TreeIterator
{
	typedef RBTreeNode<T> Node;
	typedef __TreeIterator<T> Self;
	Node* _node;

	__TreeIterator(Node* node)
		:_node(node)
	{}

	T& operator*()
	{
		return _node->_data;
	}

	T* operator->()
	{
		return &_node->_data;
	}

	Self& operator--();

	Self& operator++()
	{
		if (_node->_right)
		{
			// 下一个就是右子树的最左节点
			Node* cur = _node->_right;
			while (cur->_left)
			{
				cur = cur->_left;
			}

			_node = cur;
		}
		else
		{
			// 左子树 根 右子树
			// 右为空，找孩子是父亲左的那个祖先
			Node* cur = _node;
			Node* parent = cur->_parent;
			while (parent && cur == parent->_right)
			{
				cur = parent;
				parent = parent->_parent;
			}

			_node = parent;
		}

		return *this;
	}

	bool operator!=(const Self& s)
	{
		return _node != s._node;
	}

	bool operator==(const Self& s)
	{
		return _node == s._node;
	}
};

// set->RBTree<K, K, SetKeyOfT> _t;
// map->RBTree<K, pair<K, T>, MapKeyOfT> _t;
template<class K, class T, class KeyOfT>
class RBTree
{
	typedef RBTreeNode<T> Node;
public:
	typedef __TreeIterator<T> iterator;

	iterator begin()
	{
		Node* cur = _root;
		while (cur && cur->_left)
		{
			cur = cur->_left;
		}

		return iterator(cur);
	}

	iterator end()
	{
		return iterator(nullptr);
	}

	pair<iterator, bool> Insert(const T& data)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(data);
			_root->_col = BLACK;
			return make_pair(iterator(_root), true);
		}

		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		KeyOfT kot;

		while (cur)
		{
			if (kot(cur->_data) < kot(data))
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (kot(cur->_data) > kot(data))
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return make_pair(iterator(cur), false);
			}
		}

		// 新增节点给红色
		cur = new Node(data);
		Node* newnode = cur;
		cur->_col = RED;
		if (kot(parent->_data) < kot(data))
		{
			parent->_right = cur;
			cur->_parent = parent;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
			cur->_parent = parent;
		}

		while (parent && parent->_col == RED)
		{
			Node* grandfather = parent->_parent;
			if (parent == grandfather->_left)
			{
				//     g
				//   p   u
				// c
				Node* uncle = grandfather->_right;
				if (uncle && uncle->_col == RED)
				{
					// 变色
					parent->_col = uncle->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;

					// 继续往上更新处理
					cur = grandfather;
					parent = cur->_parent;
				}
				else
				{
					if (cur == parent->_left)
					{
						// 单旋
						//     g
						//   p
						// c
						RotateR(grandfather);
						parent->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					else
					{
						// 双旋
						//     g
						//   p
						//     c
						RotateL(parent);
						RotateR(grandfather);
						cur->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}

					break;
				}
			}
			else  // parent == grandfather->_right
			{
				//     g
				//   u   p 
				//          c
				//
				Node* uncle = grandfather->_left;
				if (uncle && uncle->_col == RED)
				{
					// 变色
					parent->_col = uncle->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;

					// 继续往上处理
					cur = grandfather;
					parent = cur->_parent;
				}
				else
				{
					if (cur == parent->_right)
					{
						RotateL(grandfather);
						parent->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					else
					{
						//     g
						//   u   p 
						//     c
						//
						RotateR(parent);
						RotateL(grandfather);
						cur->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}

					break;
				}
			}
		}

		_root->_col = BLACK;

		return make_pair(iterator(newnode), true);
	}

	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;

		parent->_right = subRL;
		subR->_left = parent;

		Node* parentParent = parent->_parent;

		parent->_parent = subR;
		if (subRL)
			subRL->_parent = parent;

		if (_root == parent)
		{
			_root = subR;
			subR->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (parentParent->_left == parent)
			{
				parentParent->_left = subR;
			}
			else
			{
				parentParent->_right = subR;
			}

			subR->_parent = parentParent;
		}
	}

	void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;

		parent->_left = subLR;
		if (subLR)
			subLR->_parent = parent;

		Node* parentParent = parent->_parent;

		subL->_right = parent;
		parent->_parent = subL;

		if (_root == parent)
		{
			_root = subL;
			subL->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (parentParent->_left == parent)
			{
				parentParent->_left = subL;
			}
			else
			{
				parentParent->_right = subL;
			}

			subL->_parent = parentParent;
		}
	}

	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
		cout << endl;
	}

	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return;

		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_kv.first << " ";
		_InOrder(root->_right);
	}

	// 根节点->当前节点这条路径的黑色节点的数量
	bool Check(Node* root, int blacknum, const int refVal)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			//cout << balcknum << endl;
			if (blacknum != refVal)
			{
				cout << "存在黑色节点数量不相等的路径" << endl;
				return false;
			}

			return true;
		}

		if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED)
		{
			cout << "有连续的红色节点" << endl;

			return false;
		}

		if (root->_col == BLACK)
		{
			++blacknum;
		}

		return Check(root->_left, blacknum, refVal)
			&& Check(root->_right, blacknum, refVal);
	}

	bool IsBalance()
	{
		if (_root == nullptr)
			return true;

		if (_root->_col == RED)
			return false;

		//参考值
		int refVal = 0;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_col == BLACK)
			{
				++refVal;
			}

			cur = cur->_left;
		}

		int blacknum = 0;
		return Check(_root, blacknum, refVal);
	}

	int Height()
	{
		return _Height(_root);
	}

	int _Height(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return 0;

		int leftHeight = _Height(root->_left);
		int rightHeight = _Height(root->_right);

		return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
	}

	size_t Size()
	{
		return _Size(_root);
	}

	size_t _Size(Node* root)
	{
		if (root == NULL)
			return 0;

		return _Size(root->_left)
			+ _Size(root->_right) + 1;
	}

	Node* Find(const K& key)
	{
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < key)
			{
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > key)
			{
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return cur;
			}
		}

		return NULL;
	}

private:
	Node* _root = nullptr;
};

2.3 -> map的模拟实现

map的底层结构就是红黑树，因此在map中直接封装一棵红黑树，然后将其接口包装下即可。

#pragma once
#include"RBTree.h"

namespace fyd
{
	template<class K, class V>
	class map
	{
	public:
		struct MapKeyOfT
		{
			const K& operator()(const pair<K, V>& kv)
			{
				return kv.first;
			}
		};

		// 对类模板取内嵌类型，加typename告诉编译器这里是类型
		typedef typename RBTree<K, pair<K, V>, MapKeyOfT>::iterator iterator;

		iterator begin()
		{
			return _t.begin();
		}

		iterator end()
		{
			return _t.end();
		}

		V& operator[](const K& key)
		{
			pair<iterator, bool> ret = insert(make_pair(key, V()));
			return ret.first->second;
		}

		pair<iterator, bool> insert(const pair<K, V>& kv)
		{
			return _t.Insert(kv);
		}
		
	private:
		RBTree<K, pair<K, V>, MapKeyOfT> _t;
	};
}

2.4 -> set的模拟实现

set的底层为红黑树，因此只需在set内部封装一棵红黑树，即可将该容器实现出来。

#pragma once
#include"RBTree.h"

namespace fyd
{
	template<class K>
	class set
	{
	public:
		struct SetKeyOfT
		{
			const K& operator()(const K& key)
			{
				return key;
			}
		};

		typedef typename RBTree<K, K, SetKeyOfT>::iterator iterator;

		iterator begin()
		{
			return _t.begin();
		}

		iterator end()
		{
			return _t.end();
		}

		pair<iterator, bool> insert(const K& key)
		{
			return _t.Insert(key);
		}

	private:
		RBTree<K, K, SetKeyOfT> _t;
	};
}



感谢各位大佬支持！！！

互三啦！！！



​

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