正交编码与正交沃尔什函数详解

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正交编码

正交编码的基本概念

正交性

若两个周期为 T 的模拟信号 $s_{1}(t)$ 和 $s_{2}(t)$ 互相正交, 则有

$$\int_{0}^{T} s_{1}(t) s_{2}(t) d t=0$$

同理, 若 M 个周期为 T 的模拟信号 $s_{1}(t)$, $s_{2}(t)$, $\ldots$, $s_{M}(t)$ 构成一个正交信号集合，则有

$$\int_{0}^{T} s_{i}(t) s_{j}(t) d t=0 \quad i \neq j ; \quad i, j=1,2, \ldots, M$$

互相关系数

对于二进制数字信号, 用一数字序列表示码组。这里, 我们只讨论二进制且码长相同的编码。这时, 两个码组的正交性可用如下形式的互相 关系数来表述。

设长为 $\boldsymbol{n}$ 的编码中码元只取值 +1 和 -1 , 假设 $\boldsymbol{x}$ 和 $\boldsymbol{y}$ 是其中两个码组:

$$x=(x_{1}, x_{2}, x_{3}, \cdots, x_{n}) \quad y=(y_{1}, y_{2}, y_{3}, \cdots, y_{n})$$

其中: $x_{i}, y_{i} \in(+1,-1), \quad i=1,2, \cdots, n$

若码组 x 和 y 正交, 则必有 $\rho(x, y)=0$ 。

$$\rho(x, y)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}$$

正交编码

例如, 右图所示 4 个数字信号可以看作是如下4 个码组:

$$\{\begin{array}{l} s_{1}(t):(+1,+1,+1,+1) \\ s_{2}(t):(+1,+1,-1,-1) \\ s_{3}(t):(+1,-1,-1,+1) \\ s_{4}(t):(+1,-1,+1,-1) \end{array}.$$

按照互相关系数定义式计算容易得知, 这 4 个码组中任意两者之间的相关系数都为 0 , 即这 4 个码组两两正交。我们把这种两两正交的编码称为正交编码。

用二进制数字表示互相关系数

在二进制编码理论中, 常采用二进 制数字 “ 0 ”和 “ 1 ”表示码元的可能 取值。这时, 若规定用二进制数字 “0”代替上述码组中的 “+ 1 ”, 用 二进制数字 “ 1 ”代替 “ -1 ”, 则上 述互相关系数定义式将变为

$$\rho(x, y)=\frac{A-D}{A+D}$$

式中, A——x 和 y 中对应码元相同的个数;

D—— x 和 y 中对应码元不同的个数。

例如, 按照左式规定, 上面例 子可以改写成

$$\{\begin{array}{l} s_{1}(t):(0,0,0,0) \\ s_{2}(t):(0,0,1,1) \\ s_{3}(t):(0,1,1,0) \\ s_{4}(t):(0,1,0,1) \end{array}.$$

可以验证互相关系数 $\boldsymbol{\rho}=\mathbf{0}$ .

自相关系数

上式中, 若用 x 的 j 次循环移位代替 y , 就得到 x 的自相关系数 $\rho_{x}(j)$ 。 具体地讲，令

$$\begin{array}{l} x=(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}) \\ y=(x_{1+j}, x_{2+j}, \cdots, x_{n}, x_{1}, x_{2}, \cdots x_{j}) \end{array}$$

代入定义式

$$\rho(x, y)=\frac{A-D}{A+D}$$

就得到自相关系数 $\rho_{x}(j)$ :

$$\rho_{x}(j)=(A-D) / n$$

类似上述互相关系数的定义, 可以对于一个长为 n 的码组 x 定义其自相关系数为

$$\rho_{x}(j)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i} x_{i+j}, \quad j=0,1, \cdots,(n-1)$$

式中, x 的下标按模 n 运算, 即有 $x_{n+k} \equiv \mathbf{x}_{k}$ 。例如, 设

$$x=(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})=(+1,-1,-1,+1)$$

则有

$$\begin{array}{l} \rho_{x}(0)=\frac{1}{4} \sum_{i=1}^{4} x_{i}^{2}=1\\ \rho_{x}(1)=\frac{1}{4} \sum_{i=1}^{\overline{\overline{4}}^{4}} x_{i} x_{i+1}=\frac{1}{4}(x_{1} x_{2}+x_{2} x_{3}+x_{3} x_{4}+x_{4} x_{1})=\frac{1}{4}(-1+1-1+1)=0 \\ \rho_{x}(2)=\frac{1}{4} \sum_{i=1}^{1} x_{i} x_{i+2}=\frac{1}{4}(x_{1} x_{3}+x_{2} x_{4}+x_{3} x_{1}+x_{4} x_{2})=-1 \\ \rho_{x}(3)=\frac{1}{4} \sum_{i=1}^{\overline{4}^{1}} x_{i} x_{i+3}=\frac{1}{4}(x_{1} x_{4}+x_{2} x_{1}+x_{3} x_{2}+x_{4} x_{3})=0 \end{array}$$

超正交码

超正交码：相关系数 $\rho$ 的取值范围在 $\pm 1$ 之间, 即有 $ -1 \leq \rho \leq+1$ 。 若两个码组间的相关系数 $\rho<0$ , 则称这两个码组互相超正交。如果一种编码中任两码组间均超正交, 则称这种编码为超正交码。

例如, 在上例中, 若仅取后 3 个码组, 并且删去其第一位, 构成如下新的编码:

$$\{\begin{array}{l} s_{1}{ }^{\prime}(t):(0,1,1) \\ s_{2}{ }^{\prime}(t):(1,1,0) \\ s_{3}{ }^{\prime}(t):(1,0,1) \end{array}.$$

则不难验证, 由这 3 个码组所构成的编码是超正交码。

双正交编码

由正交编码和其反码便可以构成双正交编码。

例：上例中

正交码为

$$\{\begin{array}{l}s_{1}(t):(0,0,0,0) \\ s_{2}(t):(0,0,1,1) \\ s_{3}(t):(0,1,1,0) \\ s_{4}(t):(0,1,0,1)\end{array}$$

其反码为

$$\{\begin{array}{l}(1,1,1,1) \\ (1,1,0,0) \\ (1,0,0,1) \\ (1,0,1,0)\end{array}$$

上两者的总体即构成如下双正交码:

$(0,0,0,0) \quad(1,1,1,1) \quad(0,0,1,1) \quad(1,1,0,0)(0,1,1,0) \quad(1,0,0,1) \quad(0,1,0,1) \quad(1,0,1,0)$

此码共有 8 种码组, 码长为 4 。

正交沃尔什函数

沃尔什(Walsh)函数集是完备的非正弦型的二元（取值为+1与-1）正交函数集, 其相应的离散沃尔什函数简称为沃尔什序列或沃尔什码。 沃尔什函数是定义在半开区间 [0,1) 的矩形波族, 每个矩形波有一个编号 n( $n=0,1,2,3, \ldots$) 。

矩形波幅度的取值为 +1 或 -1 , 规定起始时矩形波的取值为 +1 , 然后在 +1 与 -1 之间变化, 变化的次数 (+1 变 -1 与 -1 变 +1 的次数之和） $m=n$ , 在 +1 或 -1 上持续的时间可以相等, 也可以不相等 (不相等时较长的持续时间 $T_{1}$ 为较短的持续时间 $T_{\mathrm{s}}$ 的两倍）。 编号为 n 的沃尔什函数用 $\mathrm{Wal}(n, t)$ 表示, 沃尔什函数的波形如图所示。

补充（度量空间）的完备性定义:

度量空间 $X=(X, d)$ 中的序列 $(x_{n})$ , 如果对任意给定的 $\varepsilon \gt 0$, 都存在一个 $\mathrm{N}=\mathrm{N}(\varepsilon)$ , 使得对每个 $\mathrm{m}$, $\mathrm{n}>\mathrm{N}$ 都有

$$\mathrm{d}(\mathrm{x}_{\mathrm{m}}, \mathrm{x}_{\mathrm{n}})<\varepsilon$$

则称它是一个柯西序列。如果空间 X 中的每个柯西序列都收敛, 则称 X 是完备的。

一个完备的函数集, 应该能表示出其空间上的所有函数。

离散沃尔什函数的构成

离散沃尔什函数也称沃尔什序列或沃尔什码, 用哈达马矩阵的行(或列)可以构成离散沃尔什函数

一阶哈达马矩阵为

$$H_{1}=\text { [1] }$$

高阶哈达马矩阵的递推公式如下:

$$H_{N_{m}}=[\begin{array}{rr} H_{N_{m-1}} & H_{N_{m-1}} \\ H_{N_{m-1}} & -H_{N_{m-1}} \end{array}]$$

式中, $N_{m}=2^{m}$, $m=1,2,3, \ldots$ 。

例如, m=1 时

$$\begin{array}{c} H_{N_{1}}=H_{2}=[\begin{array}{rr} H_{1} & H_{1} \\ H_{1} & -H_{1} \end{array}]=[\begin{array}{rr} 1 & \mathbf{1} \\ \mathbf{1} & \mathbf{- 1} \end{array}] \\ H_{N_{2}}=H_{4}=[\begin{array}{rr} H_{2} & H_{2} \\ H_{2} & -H_{2} \end{array}]=[\begin{array}{rrrr} 1 & \mathbf{1} & \mathbf{1} & \mathbf{1} \\ \mathbf{1} & \mathbf{1} & \mathbf{1} & -\mathbf{1} \\ \mathbf{1} & \mathbf{1} & \mathbf{- 1} & -\mathbf{1} \\ \mathbf{1} & \mathbf{- 1} & -\mathbf{1} & \mathbf{1} \end{array}] \end{array}$$

m=3 时

$$\begin{array}{c} H_{N_{3}}=H_{8} \\ =[\begin{array}{rr} H_{4} & H_{4} \\ H_{4} & -H_{4} \end{array}]=[\begin{array}{cccccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 \end{array}] \end{array}$$

N_{m} 阶哈达马矩阵的通式可表示为

$$H_{N_{m}}=[\begin{array}{ccccc} h_{11} & h_{12} & h_{13} & \cdots & h_{1 N_{m}} \\ h_{21} & h_{22} & h_{23} & \cdots & h_{2 N_{m}} \\ \vdots & & & \vdots \\ h_{N_{m} 1} & h_{N_{m} 2} & h_{N_{m} 3} & \cdots & h_{N_{m} N_{m}} \end{array}]$$

式中, $N_{m}=2^{m}, m=1,2,3, \ldots, h_{i k} \in(+1,-1)$
用哈达马矩阵 $H_{N m} $ 的行 (或列)可以构成离散沃尔什函数 $W a l[i, t]$ , 它们的对应关系如下:

$$\begin{array}{c} \operatorname{Wal}[i, t]=\sum_{k=1}^{N m} h_{i k} g(t-(k-1) T_{c}) \\ g(t)=\{\begin{array}{c} 1,0 \leq t \leq T_{c} \\ 0, \text { others } \end{array} \end{array}$$

沃尔什函数的基本性质

(1) 在半开区间 [0,1) 上正交, 即

$$\int_{0}^{1} \operatorname{wal}(i, t) \operatorname{wal}(j, t) \mathrm{d} t=\{\begin{array}{cc} 1, & i=j \\ 0, & i \neq j \end{array} \quad i, j=0,1,2, \cdots.$$

该性质为沃尔什函数基本性质中最重要的性质。

(2) 除 $\mathrm{Wal}(0, t)$ 外，其他 $\mathrm{Wal}(n, t)$ 在半开区间 [0,1) 上的均值为 0 .

(3) 两个沃尔什函数相乘仍为沃尔什函数，即

$$\operatorname{Wal}(i, t) \operatorname{Wal}(j, t)=\operatorname{Wal}(kt)$$

这表示沃尔什函数对于乘法是自闭的。

(4) 沃尔什函数集是完备的, 即长度为 $\mathrm{N}$ 的离散沃尔什函数 (沃尔什序列)一共有 $\mathrm{N}$ 个。

(5) 沃尔什函数在同步时是完全正交的。

(6) 沃尔什函数在不同步时, 其自相关和互相关特性均不理想, 并随同步误差值的增大而快速恶化。

(7) 同长度不同编号的walsh函数的频带宽度不同。

参考文献：

1. Proakis, John G., et al. Communication systems engineering. Vol. 2. New Jersey: Prentice Hall, 1994.
2. Proakis, John G., et al. SOLUTIONS MANUAL Communication Systems Engineering. Vol. 2. New Jersey: Prentice Hall, 1994.
3. 周炯槃. 通信原理（第3版）[M]. 北京：北京邮电大学出版社, 2008.
4. 樊昌信, 曹丽娜. 通信原理（第7版） [M]. 北京：国防工业出版社, 2012.