本专栏包含信息论与编码的核心知识，按知识点组织，可作为教学或学习的参考。markdown版本已归档至【Github仓库：https://github.com/timerring/information-theory 】或者公众号【AIShareLab】回复 信息论 获取。

循环码

能够识记循环码的基本概念;

能够说明循环码生成多项式的特点;

能够应用多项式运算完成循环码（系统型和非系统型)的编译码;

能根据生成多项式求出循环码的生成矩阵（系统型和非系统型）;

能够解释循环码的编译码电路;

了解循环冗余校验(CRC) ，BCH和RS三种线性循环码

循环码的特点

1.可以用线性反馈移位寄存器很容易地实现编码和伴随式计算;

2.由于循环码有许多固有的代数结构，从而可以找到各种简单实用的译码方法。

由于循环码具有很多的良好性质，所以它在理论和实践中都很重要。

基本概念

定义: 设 $\mathrm{C}$ 是某 ( $\boldsymbol{n}, \boldsymbol{k}$) 线性分组码的码字集合, 如果对任何

$$\mathbf{c}=(c_{n-1}, c_{n-2}, \cdots, c_{0}) \in \mathbf{C}$$

它的循环移位(左移)

$$\mathbf{c}^{(1)}=(c_{n-2}, c_{n-3}, \cdots, c_{0}, c_{n-1})$$

也属于 $\mathrm{C}$ , 则称该 ( $\boldsymbol{n}, \boldsymbol{k}$) 码为循环码。

同理, 左移 i 位

$$\mathbf{c}^{(i)}=(c_{n-i-1}, c_{n-i-2}, \cdots, c_{0}, c_{n-1}, \ldots, c_{n-i})$$

仍是这个循环码的一个码字。

下面A、B、C、D四个码集，哪个码集是循环码? A

提示:先判断是否线性分组码，再看是否符合循环特性

A. (000,110,101,011)

B. (000,010,101,111)

C. (001,110,101,111)

D. (000,010,100,001)

循环码的多项式描述

对任意一个长为 $n$ 的码字

$$\mathbf{c}=(c_{n-1}, c_{n-2}, \cdots, c_{1}, c_{0}) \in \mathbf{C}$$

可用一多项式来表示, 称其为码多项式:

$$c(x)=c_{n-1} x^{n-1}+c_{n-2} x^{n-2}+\cdots+c_{1} x+c_{0}$$

$$\begin{array}{l} \mathrm{C}=(c_{n-1}, c_{n-2}, \ldots, c_{1}, c_{0}) \\ \lt C(x)=c_{n-1} x^{n-1}+c_{n-2} x^{n-2}+\ldots+c_{1} x+c_{0} \end{array}$$

$\boldsymbol{c}_{i}$ 是多项式的系数, 一切系数的运算均是在 $\boldsymbol{G F}(2)$ 上的运算。

多项式的阶数一系数不为 0 的 x 的最高幂次:

$$\operatorname{deg} c(x) \leq n-1$$

多项式的加法和乘法运算 GF (2)

加法

$$\begin{array}{l} u(x)=u_{2} x^{2}+u_{1} x+u_{0}, g(x)=g_{1} x+g_{0} \\ u(x)+g(x)=(u_{2}+0) x^{2}+(u_{1}+g_{1}) x+(u_{0}+g_{0}) \end{array}$$

乘法

$$\begin{array}{l} u(x) g(x) \\ =u_{2} g_{1} x^{3}+(u_{2} g_{0}+u_{1} g_{1}) x^{2}+(u_{1} g_{0}+u_{0} g_{1}) x+u_{0} g_{0} \end{array}$$

写成矩阵形式

$$c=(u_{2}, u_{1}, u_{0})(\begin{array}{llll} g_{1} & g_{0} & 0 & 0 \\ 0 & g_{1} & g_{0} & 0 \\ 0 & 0 & g_{1} & g_{0} \end{array})=(u_{2} g_{1},(u_{2} g_{0}+u_{1} g_{1}),(u_{1} g_{0}+u_{0} g_{1}), u_{0} g_{0})$$

例:

$$\begin{array}{l} (x^{6}+x^{2}+1)+(x^{3}+x^{2})\\ =x^{6}+x^{3}+(1+1) x^{2}+1 \\ =x^{6}+x^{3}+1 \end{array}$$

基本多项式关系

$$\begin{array}{c} (x+1)^{2}=x^{2}+1 \\ (x+1)(x^{3}+x+1)(x^{3}+x^{2}+1)=x^{7}+1 \\ (x+1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x+1)=x^{n}+1 \end{array}$$

多项式的模运算

模 $\mathbf{N}$ 运算： $M / N=Q+R / N \quad 0 \leq R \lt N$ ; 其中 M, N 为 正 整数, $\mathbf{Q}$ 为整数, 则在模 $\mathbf{N}$ 运算下, 有 $M \equiv \mathbf{R}$ （模 $\mathbf{N} $, 记为 $\bmod \mathbf{N}$ )

例 : $14 \equiv 2(\bmod 12)$, $1+1=2 \equiv 0 (mod 2)$, $3+2=5 \equiv 1(\bmod 2)$, $5 \times 4=20 \equiv 0(\bmod 2)$

给定任意两个系数在 $G F(2) $ 上的多项式 a(x) 和 p(x) , 一定存在有唯一的多项式 Q(x) 和 r(x) , 使

$$a(x)=Q(x) p(x)+r(x)$$

称 Q(x) 是 a(x) 除以 p(x) 的商式, r(x) 是 a(x) 除以 p(x) 的余式， 在模 p(x) 运算下,

$$a(x) \equiv r(x) \quad[\bmod p(x)]$$

记 a(x) 除以 p(x) 的余式为 $r(x)=[a(x)] \bmod p(x)$ , 其中

$$0 \leq \operatorname{deg} r(x)<\operatorname{deg} p(x) \text {, 或 } r(x)=0$$

$x^6$被 $x^3+x+1$除，求余式

注:GF(2)的运算中，用加法代替减法。

计算过程省略： $r(x) = x^2 + 1$

对于任意多项式 a(x) 、 b(x) 和 p(x) , 可以证明

$$\{b(x)[a(x)]_{\bmod p(x)}\}_{\bmod p(x)}=[b(x) \cdot a(x)]_{\bmod p(x)}$$

若：

$$\begin{array}{c} a(x)=x^{7}+x+1 \\ b(x)=x^{2}+1 \\ p(x)=x^{3}+x+1 \end{array}$$

请验证上式。余式=1。

对于 (n, k) 循环码, 若 c(x) 对应码字

$$\mathbf{c}=(c_{n-1}, c_{n-2}, \ldots, c_{1}, c_{0}),$$

$\boldsymbol{c}^{(1)}(\boldsymbol{x})$ 对应 $\boldsymbol{c}$ 的一次移位 $\mathbf{c}^{(1)}=(c_{n-2}, \ldots, c_{1}, c_{0}, c_{n-1})$ , 对 $c^{(i)}(x)$ 对应 c 的 i 次移位 $c^{(i)}$ ，则

$$\begin{array}{c} c^{(1)}(x)=[x c(x)] \bmod (x^{n}+1) \\ c^{(i)}(x)=[x^{i} c(x)] \bmod (x^{n}+1) \end{array}$$

证：

$$\begin{array}{l} c^{(1)}(x)=[x c(x)] \bmod (x^{n}+1) \text {, } \\ c^{(i)}(x)=[x^{i} c(x)] \bmod (x^{n}+1) \\ c(x)=c_{n-1} x^{n-1}+c_{n-2} x^{n-2}+\cdots+c_{1} x+c_{0} \\ x c(x)=c_{n-1} x^{n}+c_{n-2} x^{n-1}+\cdots+c_{1} x^{2}+c_{0} x \\ =c_{n-1} x^{n}+c_{n-2} x^{n-1}+\cdots+c_{1} x^{2}+c_{0} x+c_{n-1}+c_{n-1} \\ =c_{n-1}(x^{n}+1)+c^{(1)}(x) \\ arrow[x c(x)]_{\bmod (x^{n}+1)}=[c_{n-1}(x^{n}+1)+c^{(1)}(x)]_{\bmod (x^{n}+1)} \\ =c^{(1)}(x) \\ \end{array}$$

例 (7,4) 循环码的第 12 个码字 $c_{12}$ 的码多项式 为 $C(x)=x^{6}+x^{4}+x^{3}$ , 写出左循环移位 3 次的码字。

解: $i=3, x^{3} C(x)=x^{9}+x^{7}+x^{6}$ , 与 $x^{7}+1$ 作除法, 得 $C^{(3)}(x)=x^{6}+x^{2}+1$ 。对应码字 1000101 。

另: 由简单移位给出, 原始码字 1011000 , 左移三位为: 1000101 。

参考文献：

1. Proakis, John G., et al. Communication systems engineering. Vol. 2. New Jersey: Prentice Hall, 1994.
2. Proakis, John G., et al. SOLUTIONS MANUAL Communication Systems Engineering. Vol. 2. New Jersey: Prentice Hall, 1994.
3. 周炯槃. 通信原理（第3版）[M]. 北京：北京邮电大学出版社, 2008.
4. 樊昌信, 曹丽娜. 通信原理（第7版） [M]. 北京：国防工业出版社, 2012.