离散信源 R(D)计算及限失真信源编码定理

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离散信源 R(D)计算

给定信源概率 $p_{\mathrm{i}}$ 和失真函数 $d_{\mathrm{i} j}$ 就可以求得该信源的 R(D) 函数。

它是在保真度准则下求极小值的问题。

但要得到它的显式表达式,一般比较困难。通常用参量表达式。即使如此,除简单的情况外实际计算还是困难的, 只能用迭代逐级逼近的方法。

二元对称信源的 R(D) 函数

设二元对称信源 $X=\{0,1\}$ , 其概率分布 $p(x)=[p, 1-p]$ ,接收变量 $\mathbf{Y}=\{\mathbf{0}, \mathbf{1}\}$ ,汉明失真矩阵

$$d=\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right]$$

因而最小允许失真度 $D_{\min }=0$ 。并能找到满足该最小失真的试验信道, 且是一个无噪无损信道, 其信道矩阵为

$$p=\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]$$

计算得: $\mathrm{R}(0)=\mathrm{I}(\mathrm{X} ; \mathrm{Y})=\mathrm{H}(p)$

最大允许失真度为

$$\begin{aligned} D_{\text {max }} & =\min _{j=0,1} \sum_{i=0}^{1} p_{i} d_{i j} \\ & =\min \{p(0) d(0,0)+p(1) d(1,0), p(0) d(0,1)+p(1) d(1,1)\} \\ & =\min _{j}\{(1-p), p\}=p \\ \end{aligned}$$

要达到最大允许失真度的试验信道, 唯一确定为

$$p=\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right]$$

这个试验信道能正确传送信源符号 x=1 , 而传送信源符号 x=0 时,接收符号 一定为 $\mathrm{y}=1$ 。凡发送符号 x=0 时,一定都错了。而 x=0 出现的概率为 p , 所以信道的平均失真度为 $\boldsymbol{p}$ 。

在这种试验信道条件下, 可计算得

$$\mathbf{R}\left(\mathbf{D}_{\max }\right)=\min _{P_{D \max }} I(X ; Y)=\boldsymbol{H}(\boldsymbol{Y})-\boldsymbol{H}(\boldsymbol{Y} \mid \boldsymbol{X})=\mathbf{0}$$

对于二进制无记忆信源, 若 $P(X_{\mathrm{i}}=0)=p, P(X_{\mathrm{i}}=1)=1- p$ , 且采用汉明失真, 其率失真函数为

$$R(D)=\left\{\begin{array}{cc} H_{b}(p)-H_{b}(D), & 0 \leq D \leq \min \{p, 1-p\} \\ 0, & \text { otherwise } \end{array}\right.$$

有一个二进制无记忆信源，以概率p=0.25输出“1”，以概率1-p=0.75输出“0”。请问:

(1）若要求采用无失真信源编码，信息率失真函数是多少?

(2）若重构该信源的错误概率不超过0.1，信息率失真函数是多少?

(3）若重构该信源的错误概率不超过0.25，信息率失真函数是多少?这种情况下，最佳的译码策略是什么?

解:
(1) $H(x)=-0.25 \log 0.25-0.75 \log 0.75=0.8113 bit/sym$

(2) $H(0.25)-H(0.1)=0.3423 bit/sym$

(3) 0. 最佳译码策略是将接收到的信号都译码为 ’ 0 ’

高斯信源的 R(D)函数

对于均值为 0 , 方差为 $\sigma^{2}$ 的高斯信源, 采用平方失真时的率失真函数为

$$R(D)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{1}{2} \log \frac{\sigma^{2}}{D}, & 0 \leq D \leq \sigma^{2} \\ 0, & \text { otherwise } \end{array}\right.$$

可见, 随着D的增大, R（D）减小。 当 $D \geqslant D \max$ 时, R(D)=0

一般信息率失真函数的图形如下所示

限失真信源编码定理

设离散无记忆信源 $\mathrm{X}$ 的信息率失真函数为 $R(\mathrm{D})$ ,

• 当信息率 R>R(D) 时, 只要信源序列长度 L 足够长,一定存在一种编码方法,其译码失真小于或等于 $D+\varepsilon$, $\varepsilon$ 为任意小的正数;
• 反之, 若 R<R (D), 则无论采用什么样的编码方法, 其译码失真必大于 D。

如是二元信源, 则对于任意小的 $\varepsilon>0$ , 每一个信源符号的平均码长满足如下公式:

$$R(D) \leq \bar{K} \leq R(D)+\varepsilon$$

参考文献：

1. Proakis, John G., et al. Communication systems engineering. Vol. 2. New Jersey: Prentice Hall, 1994.
2. Proakis, John G., et al. SOLUTIONS MANUAL Communication Systems Engineering. Vol. 2. New Jersey: Prentice Hall, 1994.
3. 周炯槃. 通信原理（第3版）[M]. 北京：北京邮电大学出版社, 2008.
4. 樊昌信, 曹丽娜. 通信原理（第7版） [M]. 北京：国防工业出版社, 2012.