贪心算法

0、写在前面

顾名思义，贪心算法总是作出在当前看来最好的选择。也就是说贪心算法并不从整体最优考虑，它所作出的选择只是在某种意义上的局部最优选择。当然，希望贪心算法得到的最终结果也是整体最优的。虽然贪心算法不能对所有问题都得到整体最优解，但对许多问题它能产生整体最优解。如单源最短路径问题，最小生成树问题等。在一些情况下，即使贪心算法不能得到整体最优解，其最终结果却是最优解的很好近似。

1、贪心算法的基本要素

对于一个具体的问题，怎么知道是否可用贪心算法解此问题，以及能否得到问题的最优解呢?这个问题很难给予肯定的回答。

但是，从许多可以用贪心算法求解的问题中看到这类问题一般具有2个重要的性质：贪心选择性质和最优子结构性质。

1.1 贪心选择性质

• 所谓贪心选择性质是指所求问题的整体最优解可以通过一系列局部最优的选择，即贪心选择来达到。这是贪心算法可行的第一个基本要素，也是贪心算法与动态规划算法的主要区别。

• 动态规划算法通常以自底向上的方式解各子问题，而贪心算法则通常以自顶向下的方式进行，以迭代的方式作出相继的贪心选择，每作一次贪心选择就将所求问题简化为规模更小的子问题。

• 对于一个具体问题，要确定它是否具有贪心选择性质，必须证明每一步所作的贪心选择最终导致问题的整体最优解。

1.2 最优子结构性质

当一个问题的最优解包含其子问题的最优解时，称此问题具有最优子结构性质。问题的最优子结构性质是该问题可用动态规划算法或贪心算法求解的关键特征。

1.3 贪心算法与动态规划算法的差异

贪心算法和动态规划算法都要求问题具有最优子结构性质，这是2类算法的一个共同点。但是，对于具有最优子结构的问题应该选用贪心算法还是动态规划算法求解?

2、贪心算法的特点

设计要素：

• 贪心法适用于组合优化问题.
  求解过程是多步判断过程，最终的判断序列对应于问题 的最优解.

• 判断依据某种“短视的”贪心选择性质，性质的好坏决定了算法的成败.

• 贪心法必须进行正确性证明

贪心法的优势：算法简单，时间和空间复杂性低

3、贪心法的正确性证明

数学归纳法

1. 叙述一个描述算法正确性的命题P(n)，n为算法步数或者问题规模
2. 归纳基础：P(1) 或 P(n₀)为真, n₀为某个自然数
3. 归纳步骤：P(k) -->P(k+1) 第一数学归纳法
   对于所有k(k<n)P(k)–> P(n) 第二数学归纳法

交换论证

1. 分析算法的解的结构特征
2. 从一个最优解逐步进行结构变换(替换成分、交换次序等)得到一个新的解（结构上与贪心算法的解更接近）
3. 证明：上述变换最终得到算法的解，且变换在有限步结束，每步变换都保持解的最优性不降低.

4、活动安排问题

4.1 问题描述

设有n个活动的集合E={1,2,…,n}，其中每个活动都要求使用同一资源，如演讲会场等，而在同一时间内只有一个活动能使用这一资源。每个活动i都有一个要求使用该资源的起始时间si和一个结束时间fi,且si <fi 。如果选择了活动i，则它在半开时间区间[si, fi)内占用资源。若区间[si, fi)与区间[sj, fj)不相交，则称活动i与活动j是相容的。也就是说，当si≥fj或sj≥fi时，活动i与活动j相容。

4.2 贪心法的设计思想

4.3 两个反例

策略1：S={1,2,3}，s1=0, f1=20, s2=2, f2=5, s3=8, f3=15

策略2：S={1,2,3}，s1=0, f1=8, s2=7, f2=9, s3=8, f3=15

5、代码

活动安排

Note：各活动的起始时间和结束时间存储于数组s和f中且按结束时间的非减序排列

public static int greedySelector(int[] s,int[] f,boolean[] a) {
  int n=s.length;
  a[0]=true;
  int j=0;
  int count=1;
  for(int i=1;i<n;i++){
    if(s[i]>=f[j]){
    a[i]=true;
    j=i;
    count++;
    } else {
      a[i]=false;
    }
  }
  return count;
}

6、效率

• 由于输入的活动以其完成时间的非减序排列，所以算法greedySelector每次总是选择具有最早完成时间的相容活动加入集合A中。直观上，按这种方法选择相容活动为未安排活动留下尽可能多的时间。也就是说，该算法的贪心选择的意义是使剩余的可安排时间段极大化，以便安排尽可能多的相容活动。

• 算法greedySelector的效率极高。当输入的活动已按结束时间的非减序排列，算法只需O(n)的时间安排n个活动，使最多的活动能相容地使用公共资源。如果所给出的活动未按非减序排列，可以用O(nlogn)的时间重排。

7、实例

例：设待安排的11个活动的开始时间和结束时间按结束时间的非减序排列如下：

算法greedySelector 的计算过程如左图所示。图中每行相应于算法的一次迭代。阴影长条表示的活动是已选入集合A的活动，而空白长条表示的活动是当前正在检查相容性的活动。

A = {1, 4, 8,11}

• 若被检查的活动i的开始时间Si小于最近选择的活动j的结束时间fi，则不选择活动i，否则选择活动i加入集合A中。

• 贪心算法并不总能求得问题的整体最优解。但对于活动安排问题，贪心算法greedySelector却总能求得的整体最优解，即它最终所确定的相容活动集合A的规模最大。这个结论可以用数学归纳法证明。

算法的正确性证明

定理算法Select 执行到第 k 步, 选择 k 项活动 i1= 1, i2, …,
ik, 那么存在最优解 A 包含 i1=1, i2, … , ik .

根据定理：算法至多到第 n 步得到最优解

归纳步骤：假设命题对 k 为真, 证明对 k+1 也为真.

8、参考

• 算法设计与分析（第4版）

结束！