FPGA：逻辑代数的基本公式和规则

逻辑代数的基本公式

基本公式

逻辑代数的基本公式

• 0、1律: $A+0=A \quad A+1=1 \quad A \cdot 1=A \quad A \cdot 0=0 $

• 互补律: $A+\bar{A}=1 \quad A \cdot \bar{A}=0 $

• 交换律: $A+B=B+A \quad A \cdot B=B \cdot A $

• 结合律: $A+B+C=(A+B)+C \quad A \cdot B \cdot C=(A \cdot B) \cdot C $

• 分配律: $A(B+C)=A B+A C \quad A+B C=(A+B)(A+C) $

• 重叠律: $A+A=A \quad A \cdot A=A$

• 反演律: $\quad \overline{A+B}=\bar{A} \cdot \bar{B} \quad \overline{A B}=\bar{A}+\bar{B}$

• 吸收律:

  $\begin{array}{ll} A+A \cdot B=A & A \cdot(A+B)=A \\ A+\bar{A} \cdot B=A+B & (A+B) \cdot(A+C)=A+B C \end{array}$

• 其他常用恒等式:

  $\begin{array}{l} A B+\bar{A} C+B C=A B+\bar{A} C \\ A B+\bar{A} C+B C D=A B+\bar{A} C \end{array}$

常用公式

$\begin{array}{ll} \overline{\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}}=\overline{\boldsymbol{A}} \cdot \overline{\boldsymbol{B}} & \overline{\boldsymbol{A B}}=\overline{\boldsymbol{A}}+\overline{\boldsymbol{B}} \\ A+A \cdot B=A & A+\bar{A} \cdot B=A+B \\ A \cdot(A+B)=A & \boldsymbol{A B}+\mathbf{A} \overline{\boldsymbol{B}}=\boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{A} \oplus \mathbf{0}=\boldsymbol{A} & \boldsymbol{A} \odot \mathbf{0}=\overline{\boldsymbol{A}} \\ \boldsymbol{A} \oplus \mathbf{1}=\overline{\boldsymbol{A}} & \boldsymbol{A} \odot \mathbf{1}=\boldsymbol{A} \end{array}$

示例

1.证明 $\overline{A+B}=\bar{A} \cdot \bar{B}$,$ \quad \overline{A B}=\bar{A}+\bar{B}$

列出等式、右边的函数值的真值表

$\begin{array}{|cc|cc|c|c|c|c|} \hline A & B & \bar{A} & \bar{B} & \overline{A+B} & \bar{A} \cdot \bar{B} & \overline{A B} & \bar{A}+\bar{B} \\ \hline 0 & 0 & 1 & 1 & \overline{0+0}=1 & 1 & \overline{0 \cdot 0}=1 & 1 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 0 & \overline{0+1}=0 & 0 & \overline{0 \cdot 1}=1 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 1 & \overline{1+0}=0 & 0 & \overline{1 \cdot 0}=1 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 0 & 0 & \overline{1+1}=0 & 0 & \overline{1 \cdot 1}=0 & 0 \\ \hline \end{array}$

可见上面每个等式两边的真值表相同，故等式成立。

2.用基本公式证明下列等式成立。

$\overline{\bar{A} B+A \bar{B}}=\bar{A} \bar{B}+A B$

证明：

$\begin{aligned} \overline{\bar{A} B+A \bar{B}} & =\overline{\bar{A}} B \cdot \overline{\bar{A}} \overline{\bar{B}} \\ & =(A+\bar{B}) \cdot(\bar{A}+B) \\ & =A \bar{A}+A B+\bar{A} \bar{B}+\bar{B} B \\ & =0+A B+\bar{A} \bar{B}+0 \\ & =\bar{A} \bar{B}+A B \end{aligned}$

3.求证 $A B+\bar{A} C+B C=A B+\bar{A} C$

$\begin{aligned} \text { 左式 } & =A B+\bar{A} C+(A+\bar{A}) B C \\ & =A B+\bar{A} C+A B C+\bar{A} B C \\ & =A B+\bar{A} C \end{aligned}$

4.求证 $A B+\bar{A} C+B C D=A B+\bar{A} C$

$\begin{array}{l} \text { 左式 }=A B+\bar{A} C+B C+B C D \\ =A B+\bar{A} C+B C \\ =A B+\bar{A} C \end{array}$

逻辑代数的基本规则

代入规则

在包含变量A逻辑等式中，如果用另一个函数式代入式中所有A的位置，则等式仍然成立。这一规则称为代入规则。

$\overline{A \cdot B}=\bar{A}+\bar{B}$

用B·C 代替B，得 $\overline{A(B C)}=\bar{A}+\overline{B C}=\bar{A}+\bar{B}+\bar{C}$

得代入规则可以扩展所有基本公式或定律的应用范围

反演规则

对于任意一个逻辑表达式L，若将其中所有的与（• ）换成或（+），或（+）换成与（•）；原变量换为反变量，反变量换为原变量；将1换成0，0换成1；则得到的结果就是原函数的反函数。

1.试求 $L=\bar{A} \bar{B}+C D+0$的非函数。

解：按照反演规则，得

$\bar{L}=(A+B) \cdot(\bar{C}+\bar{D}) \cdot 1=(A+B)(\bar{C}+\bar{D})$

2.试求 $L=A+\overline{B \bar{C}+\overline{D+\bar{E}}}$的非函数 $\overline{L}$

解：由反演规则，可得 $\bar{L}=\bar{A} \cdot \overline{(\bar{B}+C) \cdot \overline{\bar{D} E}}$，保留反变量以外的非号不变。

对偶规则

对于任何逻辑函数式，若将其中的与（• ）换成或（+），或（+）换成与（•）；并将1换成0，0换成1；那么，所得的新的函数式就是L的对偶式，记作 $L^{\prime}$。

3.逻辑函数 $L=(A+\bar{B})(A+C)$的对偶式为

$L^{\prime}=A \bar{B}+A C$

当某个逻辑恒等式成立时，则该恒等式两侧的对偶式也相等。这就是对偶规则。利用对偶规则，可从已知公式中得到更多的运算公式。

参考文献：

1. Verilog HDL与FPGA数字系统设计，罗杰，机械工业出版社，2015年04月
2. Verilog HDL与CPLD/FPGA项目开发教程(第2版), 聂章龙, 机械工业出版社, 2015年12月
3. Verilog HDL数字设计与综合(第2版), Samir Palnitkar著，夏宇闻等译, 电子工业出版社, 2015年08月
4. Verilog HDL入门(第3版), J. BHASKER 著 夏宇闻甘伟 译, 北京航空航天大学出版社, 2019年03月