​量子系统

前言

对于一个非物理专业的人而言，量子力学概念晦涩难懂。鉴于此，本文仅介绍量子力学的一些基础概念加之部分数学的相关知识，甚至不涉及薛定谔方程，就足够开始量子计算机的应用。这如同不需去了解CPU的工作原理以及经典计算机的组成原理，但仍能在日常生活中使用经典计算机或者编写经典程序一样。

在接下系列文章里，彻底抛却数学公式，纯粹去介绍宽泛的概念，目的仅仅想让读者都能了解这个问题——量子究竟是什么。

如果不想被量子的诡异事实所颠覆，并且对于线性代数很有把握的话，那么可以直接过渡到后面的系列文章进行学习。

一、量子化 （Quantization）与量子态 （QuantumState）

简而言之，量子态就是一个微观粒子的状态。

描述一个粒子的状态时，总要找一些能够用来区分微观粒子的属性。在宏观世界中，假设一个人在一栋楼中活动，如果他在一层，就称处于1态；在二层，就称处于2态；在地下一层，就称于-1态。微观粒子也有这样的属性，比如它的位置。

但是假设这个人正在上楼梯，进入到一个模糊的状态，这样就不太容易区分到底是在“1态”还是“2态”，此时就需要找一些客观存在的参数去描述这一方面的属性，比如所处的海拔。通常，在日常生活中，这些描述都是连续的，因为这些参数会被分割成更小的部分。

然而，无限分割下去，直到不得不靠“几个原子”这种单位去描述物体的长度时，量子效应就出场了。薛定谔方程告诉人们，一定会遇到不可分割的最小单位，这种最小单位，统称为量子；这种现象，被称为量子化。这是量子的第一个特性。

量子化的属性有很多种，但在此优先考虑一种——能量。经过长期探索得知，原子的光谱只会有几个峰值，而不是连续的谱线，这代表了原子内电子的能量只会出现几种情况，电子不可能具有几种情况之外的中间值，这就是能量的量子化。每一种能量，被称之为一个能级。

同样以一栋楼为例，在微观的世界里面，一栋楼的楼梯被拆掉了，这使得微观粒子要么在一楼，要么在二楼，仅存在于整数的楼层，但是，这不代表微观粒子就失去了上下楼的机会。这里就是量子的第二个特性称之为跃迁。

当一个原子中的电子获得了来自原子外的能量时，它就有可能克服能级之间能量的差距，跳跃到另外一个态上面，并且这个电子也可以将自己的能量释放出来，跳跃到能量较低的能级上面。当然，能级本身是稳定的，不管怎么跃迁，电子的能量都只能处在这几个能级上，这是原则。

最后，回顾下什么是量子态呢？你可以想象一下电子处在不同的能级（类似宏观世界的楼层）上面，给这些楼层命名称之|1F>，|2F>，|3F>......，电子处于不同的能级就说明它,处在不同的量子态，这样就可以区分出来不同的量子态。如果能想象到此种情形，那就已经明白了什么是量子态了。

二、量子叠加性 （Quantum Superposition）

如果仅仅是把能级建成大楼，然后把大楼的楼梯、电梯全拆掉，并且不追问原因。这件事情倒也不难理解，然而剩余部分，就无法用普通的现实去想象了。

量子叠加性是量子的第三个特性。量子理论中，薛定谔的猫的故事是量子叠加性的一个典型示例，故事的未尾告诉我们：猫处于生与死的叠加态。什么是生与死的叠加态？既生又死？实际上，这个故事是关于量子叠加性的一个有争议的思想实验。

首先，必须接受一个假设，即量子的世界里面，同时存在几个状态是可能的。就像这栋楼里面的每个人，在不去观察他们时，他们同时存在于所有楼层，这就是量子叠加性。

但或许大家会有疑问，即便在现实生活中，也无法得知一栋大楼里面任何一个人的位置，最多了解他在办公桌上坐着的概率比较大而已，那这样就是量子叠加性吗？很遗憾，并非如此。因为某一时刻，即便无法确定，但这个人肯定存在于这栋楼某一个位置，不可能出现在这栋楼不同的位置，量子叠加不是一种概率性存在，事实上，对于量子本身，它就是同时存在于很多状态的叠加上。经过无数的实验证明，当物体小到分子、原子、电子那个级别的时候，叠加是客观存在的，尽管无人知道原因。

那么为什么我们感受不到叠加性呢？如果每个粒子都有这种叠加性，那是不是作为粒子组合的人也应该具有叠加性呢？

一个宏观物体是由巨大数量的粒子构成的集合体。一个粒子虽然是叠加的，但是一群粒子就能开始体现统计的平均性，就像连续扔一百次硬币，还是有可能出现全部是正面的情况，但是扔一亿次硬币的时候，如果没有做假，那会得到一个超于稳定的结果就是正反面各一半。何况每个人身体里的粒子比一亿还要多几亿倍的几亿倍，差不多有27-28位数那么多，所以人是绝无可能有叠加性的。

三、状态的演化（Evolution of State） 

状态的演化是指量子态随时间发生变化。对于一个两能级的量子系统，量子状态的演化类似于地球上的位置随时间变化一样，量子态可以想象成一个单位球面上的点，它随时间演化就同球面上点的位置随时间发生变化类似。

四、测量和坍缩（Measurement And Collapse）

薛定谔宣称，不打开盒子，猫就处于生和死的叠加态，又称：“当我们打开盒子，经过了我们的观察，猫就会坍缩到一个确定的生、死状态上”。

什么叫做观察之后坍缩到确定的状态上？难道不是这个装置而是第一个看到猫的人决定了猫的生死吗？

这里提出量子的第四个特性：测量和坍缩假设。测量和坍缩对量子态的影响仍然是一个争议话题，所以用了“假设”这个特性的描述如下：

对于一个叠加态而言，可以去测量它，测量的结果一定是这一组量子化之后的、确定的、分立的态中的一个。测量得到任意的态的概率是这个叠加态和测量态的内积的平方，测量之后，叠加态就会缩到这个确定的态之上。

简而言之，如果在一个微观粒子处在1楼和2楼叠加态的话，只能测出来它在1楼或者2楼，这个概率是由它们的叠加权重决定的，但是一旦对这个粒子进行测量，这个粒子的状态就会发生变化，不再是原来那个既在1楼又在2楼的叠加态，而是处在一个确定的状态（1楼或者2楼）。换句话说，测量影响了这个粒子本身的状态。说明了叠加本身是一种客观存在的现象，那么测量、观察这种主观的事情是如何影响到客观叠加的呢？比较主流的理论是说因为微观粒子太小，测量仪器本身会对这个粒子产生一定的影响，导致粒子本身发生了变化。但是没有足够的证据证明这种说法 。

回到薛定谔的猫，薛定谔之所以提出这个思想实验，是想让宏观事物猫和微观事物放射性原子，建立纠缠，从而把量子力学的论异现象从微观世界引到现实世界中来。如果我们承认微观粒子具有这些叠加、坍缩的性质的话，那猫也具有了，这是薛定谔的思想。关于这个问题，目前并没有确切的证据证明猫不是处于这样的状态。通过形象的描述介绍了量子力学的一些基础概念，下面将用数学的方式将这些概念重新表述一遍。

注意：阅读下面的内容需要一定的数理基础，包括高等数学，线性代数，概率论中的基本概念。

态矢 State Vector

量子态可用线性代数中的向量来描述，在物理学中，向量常称作矢量。在量子理论中，描述量子态的向量称为态矢，态矢分为左矢和右矢。

右矢（ket）:

左矢（bra）:

采用竖线和尖括号的组合描述一个量子态，其中每一个分量都是复数，右上角标T表示转置。这种形式表示量子态是一个矢量。右矢表示一个n×1的列矢量，左矢表示一个1×n的行矢量。另外，在讨论同一个问题时，如果左矢和右矢在括号内的描述相同的话，那么这两个矢量互为转置共轭。

内积和外积

对于任意的两个量子态的矩阵（坐标）表示如下：

其内积定义为：

其外积定义为：

表示一个nxn矩阵。

五、两能级系统（Two Level System）

事物的二元化：0和1、无和有、高和低、开和关、天和地、阴和阳、生和死、产生和消灭。二元化是一种将事物关系简化的哲学，基于二进制的计算理论正是利用了这种哲学思想。

在谈论量子计算原理前，先了解经典计算机的工作流程。经典计算机就是在不断地处理0、1的二进制数码，它们代表着逻辑电路中的高低电平，对于这些二进制数码的产生、传输、处理、读取，最终反馈到像显示器这种输出设备上的信号，就是一个计算机的工作流程。

对于微观量子而言，有一个决定粒子性质的最直接参量这就是能量。粒子的能量只会在几个分立的能级上面取值，限制取值的可能性种类为两种，这就构成了两能级系统。除了某些特殊的情况之外，这两个能级必定能找出来一个较低的，称之为基态（ground state），记为|g>；另一个能量较高的，称之为激发态（excited state），记为|e>。

量子计算机里面也由两种状态来构成基本计算单元，只不过这里的两种状态是指量子态的|e>和|g>，这就是一个两能级系统的特征。

以列矢量的方式将它们记为：

行失量的形式记为：

和经典的比特类比，常将|e>记做0，将|g>记做1），并称之为量子比特（qubit）。

任意叠加态（superposition）|>可以写作|0>和|1>的线性组合

其中复数和称为振幅（amplitudes），并且满足归一化条件

其中表示复数的模。

六、状态的演化（Evolution of State）

量子态可以由态矢（或称向量）来表示，量子也可以有不同的状态，并且可以同时处于不同的状态，那么量子态是如何随时间演化呢？如下例：

假设：封闭的（closed）量子系统的演化（evolution）由酉变换（unitary transformation）来描述。具体地，在t1时刻系统处于状态|>，经过一个和时间t1和t2有关的酉变换U，系统在t2时刻的状态

这里的酉变换U可以理解为是一个矩阵，并且满足 

其中U+表示对矩阵U取转置共轭。根据可逆矩阵的定义可知，U也是一个可逆矩阵，因此西变换也是一个可逆变换。而在量子计算中，各种形式的酉矩阵被称作量子门。

例如Pauli矩阵也是一组酉矩阵

 以X门作用在量子态上为例

 再如X门作用在任意的量子态上

从上述中看出，量子态的演化本质上可以看作是对量子态对应的矩阵做变换，即是做矩阵的乘法。由于X门和经典逻辑门中的非门类似，有时也常称X门为量子非门（quantum NOT gate）。

七、置加态和测量（Superposition State And Measurement）

按照态矢的描述，这两个矢量可以构成一个二维空间的基。任何一个态都可以写为这两个基在复数空间上的线性组合，即 

其中表示模为1幅角为的复数
可以定义测量就是将量子态投影到另一个态|>上。获得这个态的概率是它们内积的平方，即 

其它概率下会将量子态投影到它的正交态上去，即

则量之后量子态就坍缩到测量到的态上。

八、相位、纯态和混合态（ Phase,Pure State and Mixed State）

如果将量子态初始化到某一个未知的叠加态上面，能否通过反复的测量得到它的表达式呢？看以下这两种情况：

发现在|0>，|1>的方向上测量，它们的表现都是一半概率为0，一半概率为1，根本不能区分。从这个现象可以知道无法通过概率得到态的相位信息0，实际上，量子态的相位是量子相干性的体现。

另一种情况，假设左手抓着一个袋子，这个袋子里面有无数的量子态，它们全都是这种叠加态；另外，有一个机器可以在|0>，|1>的方向上测量。

每次拿出一个态，对它进行测量，不管它是0，还是1，都扔到右手边的另一个袋子里面，如此反复，这样右边袋子里面的态越来越多了。由于测量结果对于这两种情况是等概率的，所以袋子里面约有一半的态是|0>，另一半是|1>。

假设从右边的袋子里取出一个，在不知道手上的态是什么情况下，能说它和左边袋子里的态一样都是吗？

答案是不能。右边袋子里的态，实际上是一种经典的概率叠加，和等量的红球白球装在袋子里面一样。这样的态是不具有相位的。它只能表示为

这种类似于概率列表的形式。

所以，定义纯态就是“纯粹的量子态”，它不仅具有概率，还具有相位也就是量子相千性。混合态是纯态的概率性叠加，它往往失去了部分或全部的相位信息。 

九、密度矩阵和布洛赫球（Density Matrix And Bloch Spher）

态矢是对纯态的描述，如果要描述一个混合态，就必须写成态集合和概率的列表形式，非常烦琐，因此采用密度矩阵来描述。

对于一个纯态而言，密度矩阵​的形式是： 

而对于一个混合态而言，密度矩阵的形式是：

其中是系统所处的态及其概率。

密度矩阵有以下的性质：

对于一个两能级体系表述的态，不论是纯的还是混合的的都可以用密度矩阵​表示

​编辑当且仅当量子态时纯态时成立。

对角线上的分量表示整个系统如果经历一次测量，那么可以得到这个态的概率。如果只去操作和测量一个两能级体系，那么是分辨不出相同的密度矩阵的。密度矩阵已经完备地表示了一个两能级系统可能出现的任何状态。为了更加直观地理解量子叠加态与逻辑门的作用，引入布洛赫球的概念，它能够方便地表示一个量子比特的任意状态。

如果量子态是一个纯态，那么它是球面上的点。点的z坐标衡量了它的|0>和|1>的概率，即

最上面表示|0>态，最下面表示|1>态。

再沿着平行于XY平面的方向，并且穿过这个点的Z坐标，可以得到一个圆，这个圆就象征着相位的复平面；这个点在这个圆上交X轴的角度就是单位复数的幅角。经过这个过程可以将每个纯态都与球面上的点一一对应了起来。

对于混合态而言，因为根据之前的描述，混合态实际上是多个纯态的经典统计概率的叠加。对于每一个纯态分量，连接球心和球面上的点，可以形成一个矢量。根据概率列表，对所有的纯态矢量进行加权平均，即可得到混合态的矢量，即得到了混合态对应的点。

混合态是布洛赫球内部的点，根据混合的程度不同，矢量的长度也不同。最大混合态是球心，它意味着这里不存在任何量子叠加性。

例如（1,0,0）和（-1,0,0）点在布洛赫球上就是在X方向上的顶点和-X方向上的顶点。它们对应的量子态的概率分布就是Z坐标，即为0。

沿XY平面横切，得到一个圆，可以看到这两个点对应的幅角是，，由此推断出量子态分别为：

如果将这两个态以1/2,1/2的概率混合，在布洛赫球上面的坐标将表示为（0,0,0），也就是球心。对应到密度矩阵的表述为：

即为最大混合态。