信息论与编码:线性分组码与性能参数

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timerring 发表于 2022/11/27 10:44:21 2022/11/27
【摘要】 1.1 线性分组码(n,k)定义线性分组码是由 (n, k) 形式表示。编码器将一个 k 比特信息分组(信息矢量)转变成一个更长的由给定符号集组成的 n 比特编码分组(编码矢量)。当这个符号集包含 2 个元素 (0 and 1) 时 , 称为二进制编码。k-bit 信息形成 2k2^k2k 不同的信息序列 , 称为 k 元组。 n-bit 可以形成 2n2^n2n 个不同序列,称为 n 元...

1.1 线性分组码(n,k)定义

线性分组码是由 (n, k) 形式表示。编码器将一个 k 比特信息分组(信息矢量)转变成一个更长的由给定符号集组成的 n 比特编码分组(编码矢量)。当这个符号集包含 2 个元素 (0 and 1) 时 , 称为二进制编码。

k-bit 信息形成 2 k 2^k 不同的信息序列 , 称为 k 元组。 n-bit 可以形成 2 n 2^n 个不同序列,称为 n 元组。

(n,k)分组码输出的长度为n的序列称为码字。所有这些码字的集合称为该线性分组码的码组
因为n>k,故编码时需按某种规则加入r=n-k个监督(校验)码元。

对于分组码(n,k),定义

  • 编码效率: k/n
  • 编码冗余度:(n-k)/n

线性分组码的几个重要概念

  • 码距(汉明距离):两个码组中对应位置上具有不同二进制码元的位数

  • 码重(汉明重量):线性分组码中,将码字(组)中所含 1 的数目定义为码字(组)的重量

  • 编码信道:研究信道编码和译码的信道模型

    • 二元码、硬判决时,建模为 BSC (二元对称)信道
    • 软判决时,建模为 AWGN 信道
    • 软判决与硬判决译码(简单理解:译码器输入比特的选取)

1.2 信道编码性能参数

主要的性能参数有 差错概率、编码增益、检纠错能力

编码增益 :给定差错概率下,通过编码所能实现的比特信噪比$ 𝑬_𝒃/𝑵_𝟎$的减少量。

  • 检错能力 l: d min  l + 1 d_{\text {min }} \geq l+1
  • 纠错能力 t: d min 2 t + 1 d_{\min } \geq 2 t+1
  • 检错 l 纠错 t: d min  l + t + 1 d_{\text {min }} \geq l+t+1

1.3基本线性分组码

a.奇偶监督码

  • 码字由 n 个码元组成, n 1 个信息码元,另一码元为奇(偶)监督码元 (n, n-1 )奇偶监督码.

  • 码率: (n-1)/ n

\begin{array} \quad C=\left(C_{n-1}, C_{n-2}, \ldots, C_{1}, C_{0}\right) \Rightarrow C_{n-1} \oplus C_{n-2} \oplus \ldots \oplus C_{1} \oplus C_{0} \\ \end{array}

=0 (偶校验)or 1(奇校验)

可检测到奇数个错误图样, 如果错误个数为偶数则无法检测。

b.恒比码

  • 每个码组中 1 和 0 的个数保持恒定,因而比值恒定。我国电传通信中 5 中取 3 码 每个 5bit 码组中必须含有 3 个 1和2 个 0),总数共有 C 5 3 = C 5 2 = 10 C_{5}^{3}=C_{5}^{2}=10 种来表示十进制数。

c.汉明码

  • 能纠正单个随机错误的线性分组码

1.4 差错控制类型对信道编码的要求

  1. ARQ (检错重发 自动请求重发)
  • 适用于非实时数据传输系统
  • 要求信道编码具有检错功能

利用奇偶校验比特来检错重发。接收端不纠正错误,只是简单的要求发射机重发数据。此时,发射端与接收端间的对话需要双向链路反馈信道 。

自动重发请求 (ARQ): 三种类型

1)停止——等待 ARQ (半双工)
2)具有回拉功能的连续 ARQ (全双工)
3)具有选择性重发功能的连续 ARQ (全双工)

ARQ的主要优点是 ,错误检测设备要比纠错设备简单得多,只需要少量的冗余。

ARQ只适用于发生错误时需要重发的情况。

2.FEC (前向纠错)

  • 适用于实时通信系统中
  • 要求信道编码具有纠错功能
  • 比ARQ 优越的方面
    1. 没有可用的反向信道或 ARQ 延迟过长。
    2. 重发策略无法简单的实现。
    3. 没有纠正的错误数目需要过多的重传。

3.HEC (混合纠错 ARQ+FEC)

即能检错又能纠错

首先收端进行检错,如错误在纠错范围内则纠正,否则请求重传。

1.5信道编码主要涉及的数学知识:有限域运算、矩阵运算

  • 有限域初步知识: Galois 域——迦罗华域

  • 有限域:指有限个元素的集合,可按规则进行代数四则运算,且运算结果仍属于集合中的有限元素。

  • 对于二元域,记为 GF(2),其内码元满足模二运算。

  • 二元扩展域 GF( 2 n 2^n )——由 GF(2) 元素的一切长度为 n的序列组成的集合(二进制数组的集合)。

  • x , x G F ( 2 n ) , α G F ( 2 ) \mathbf{x}, \mathbf{x}^{\prime} \in G F\left(2^{n}\right), \alpha \in G F(2) , 即 α \alpha 取0或1。

    加法: x + x = ( x n 1 x n 1 , x n 2 x n 2 , , x 1 x 1 , x 0 x 0 ) \mathbf{x}+\mathbf{x}^{\prime}=\left(x_{n-1} \oplus x_{n-1}^{\prime}, x_{n-2} \oplus x_{n-2}^{\prime}, \ldots, x_{1} \oplus x_{1}^{\prime}, x_{0} \oplus x_{0}^{\prime}\right)

    乘法: α x = ( α x n 1 , α x n 2 , , α x 1 , α x 0 ) \alpha \cdot x=\left(\alpha x_{n-1}, \alpha x_{n-2}, \ldots, \alpha x_{1}, \alpha x_{0}\right)

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