机器学习中线性代数

Deep Learning Chapter01：机器学习中线性代数

好久不见，大家好，我是北山啦。机器学习当中需要用到许多的数学知识，如今博主又要继续踏上深度学习的路程，所以现在在网上总结了相关的考研数学和机器学习中常见相关知识如下，希望对大家有所帮助。

线性代数

行列式

1.行列式按行（列）展开定理

(1) 设 $A = ( a_{{ij}} )_{n \times n}$，则： $a_{i1}A_{j1} +a_{i2}A_{j2} + \cdots + a_{{in}}A_{{jn}} = \begin{cases}|A|,i=j\\ 0,i \neq j\end{cases}$

或 $a_{1i}A_{1j} + a_{2i}A_{2j} + \cdots + a_{{ni}}A_{{nj}} = \begin{cases}|A|,i=j\\ 0,i \neq j\end{cases}$即 $AA^{*} = A^{*}A = \left| A \right|E,$其中： $A^{*} = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & \ldots & A_{1n} \\ A_{21} & A_{22} & \ldots & A_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ A_{n1} & A_{n2} & \ldots & A_{{nn}} \\ \end{pmatrix} = (A_{{ji}}) = {(A_{{ij}})}^{T}$

$D_{n} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \ldots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & \ldots & x_{n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ x_{1}^{n - 1} & x_{2}^{n - 1} & \ldots & x_{n}^{n - 1} \\ \end{vmatrix} = \prod_{1 \leq j < i \leq n}^{}\,(x_{i} - x_{j})$

(2) 设 $A,B$为 $n$阶方阵，则 $\left| {AB} \right| = \left| A \right|\left| B \right| = \left| B \right|\left| A \right| = \left| {BA} \right|$，但 $\left| A \pm B \right| = \left| A \right| \pm \left| B \right|$不一定成立。

(3) $\left| {kA} \right| = k^{n}\left| A \right|$, $A$为 $n$阶方阵。

(4) 设 $A$为 $n$阶方阵， $|A^{T}| = |A|;|A^{- 1}| = |A|^{- 1}$（若 $A$可逆）， $|A^{*}| = |A|^{n - 1}$

$n \geq 2$

(5) $\left| \begin{matrix} & {A\quad O} \\ & {O\quad B} \\ \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} & {A\quad C} \\ & {O\quad B} \\ \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} & {A\quad O} \\ & {C\quad B} \\ \end{matrix} \right| =| A||B|$
， $A,B$为方阵，但 $\left| \begin{matrix} {O} & A_{m \times m} \\ B_{n \times n} & { O} \\ \end{matrix} \right| = ({- 1)}^{{mn}}|A||B|$ 。

(6) 范德蒙行列式 $D_{n} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \ldots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & \ldots & x_{n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ x_{1}^{n - 1} & x_{2}^{n 1} & \ldots & x_{n}^{n - 1} \\ \end{vmatrix} = \prod_{1 \leq j < i \leq n}^{}\,(x_{i} - x_{j})$

设 $A$是 $n$阶方阵， $\lambda_{i}(i = 1,2\cdots,n)$是 $A$的 $n$个特征值，则
$|A| = \prod_{i = 1}^{n}\lambda_{i}$

矩阵

矩阵： $m \times n$个数 $a_{{ij}}$排成 $m$行 $n$列的表格 $\begin{bmatrix} a_{11}\quad a_{12}\quad\cdots\quad a_{1n} \\ a_{21}\quad a_{22}\quad\cdots\quad a_{2n} \\ \quad\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \\ a_{m1}\quad a_{m2}\quad\cdots\quad a_{{mn}} \\ \end{bmatrix}$ 称为矩阵，简记为 $A$，或者 $\left( a_{{ij}} \right)_{m \times n}$ 。若 $m = n$，则称 $A$是 $n$阶矩阵或 $n$阶方阵。

矩阵的线性运算

1.矩阵的加法

设 $A = (a_{{ij}}),B = (b_{{ij}})$是两个 $m \times n$矩阵，则 $m \times n$ 矩阵 $C = c_{{ij}}) = a_{{ij}} + b_{{ij}}$称为矩阵 $A$与 $B$的和，记为 $A + B = C$ 。

2.矩阵的数乘

设 $A = (a_{{ij}})$是 $m \times n$矩阵， $k$是一个常数，则 $m \times n$矩阵 $(ka_{{ij}})$称为数 $k$与矩阵 $A$的数乘，记为 ${kA}$。

3.矩阵的乘法

设 $A = (a_{{ij}})$是 $m \times n$矩阵， $B = (b_{{ij}})$是 $n \times s$矩阵，那么 $m \times s$矩阵 $C = (c_{{ij}})$，其中 $c_{{ij}} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{{in}}b_{{nj}} = \sum_{k =1}^{n}{a_{{ik}}b_{{kj}}}$称为 ${AB}$的乘积，记为 $C = AB$ 。

4. $\mathbf{A}^{\mathbf{T}}$、 $\mathbf{A}^{\mathbf{-1}}$、 $\mathbf{A}^{\mathbf{*}}$三者之间的关系

(1) ${(A^{T})}^{T} = A,{(AB)}^{T} = B^{T}A^{T},{(kA)}^{T} = kA^{T},{(A \pm B)}^{T} = A^{T} \pm B^{T}$

(2) $\left( A^{- 1} \right)^{- 1} = A,\left( {AB} \right)^{- 1} = B^{- 1}A^{- 1},\left( {kA} \right)^{- 1} = \frac{1}{k}A^{- 1},$

但 ${(A \pm B)}^{- 1} = A^{- 1} \pm B^{- 1}$不一定成立。

(3) $\left( A^{*} \right)^{*} = |A|^{n - 2}\ A\ \ (n \geq 3)$， $\left({AB} \right)^{*} = B^{*}A^{*},$ $\left( {kA} \right)^{*} = k^{n -1}A^{*}{\ \ }\left( n \geq 2 \right)$

但 $\left( A \pm B \right)^{*} = A^{*} \pm B^{*}$不一定成立。

(4) ${(A^{- 1})}^{T} = {(A^{T})}^{- 1},\ \left( A^{- 1} \right)^{*} ={(AA^{*})}^{- 1},{(A^{*})}^{T} = \left( A^{T} \right)^{*}$

5.有关 $\mathbf{A}^{\mathbf{*}}$的结论

(1) $AA^{*} = A^{*}A = |A|E$

(2) $|A^{*}| = |A|^{n - 1}\ (n \geq 2),\ \ \ \ {(kA)}^{*} = k^{n -1}A^{*},{{\ \ }\left( A^{*} \right)}^{*} = |A|^{n - 2}A(n \geq 3)$

(3) 若 $A$可逆，则 $A^{*} = |A|A^{- 1},{(A^{*})}^{*} = \frac{1}{|A|}A$

(4) 若 $A$为 $n$阶方阵，则：

$r(A^*)=\begin{cases}n,\quad r(A)=n\\ 1,\quad r(A)=n-1\\ 0,\quad r(A)<n-1\end{cases}$

6.有关 $\mathbf{A}^{\mathbf{- 1}}$的结论

$A$可逆 $\Leftrightarrow AB = E; \Leftrightarrow |A| \neq 0; \Leftrightarrow r(A) = n;$

$\Leftrightarrow A$可以表示为初等矩阵的乘积； $\Leftrightarrow A;\Leftrightarrow Ax = 0$。

7.有关矩阵秩的结论

(1) 秩 $r(A)$=行秩=列秩；

(2) $r(A_{m \times n}) \leq \min(m,n);$

(3) $A \neq 0 \Rightarrow r(A) \geq 1$；

(4) $r(A \pm B) \leq r(A) + r(B);$

(5) 初等变换不改变矩阵的秩

(6) $r(A) + r(B) - n \leq r(AB) \leq \min(r(A),r(B)),$特别若 $AB = O$
则： $r(A) + r(B) \leq n$

(7) 若 $A^{- 1}$存在 $\Rightarrow r(AB) = r(B);$ 若 $B^{- 1}$存在
$\Rightarrow r(AB) = r(A);$

若 $r(A_{m \times n}) = n \Rightarrow r(AB) = r(B);$ 若 $r(A_{m \times s}) = n\Rightarrow r(AB) = r\left( A \right)$。

(8) $r(A_{m \times s}) = n \Leftrightarrow Ax = 0$只有零解

8.分块求逆公式

$\begin{pmatrix} A & O \\ O & B \\ \end{pmatrix}^{- 1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & O \\ O & B^{- 1} \\ \end{pmatrix}$； $\begin{pmatrix} A & C \\ O & B \\\end{pmatrix}^{- 1} = \begin{pmatrix} A^{- 1}& - A^{- 1}CB^{- 1} \\ O & B^{- 1} \\ \end{pmatrix}$；

$\begin{pmatrix} A & O \\ C & B \\ \end{pmatrix}^{- 1} = \begin{pmatrix} A^{- 1}&{O} \\ - B^{- 1}CA^{- 1} & B^{- 1} \\\end{pmatrix}$； $\begin{pmatrix} O & A \\ B & O \\ \end{pmatrix}^{- 1} =\begin{pmatrix} O & B^{- 1} \\ A^{- 1} & O \\ \end{pmatrix}$

这里 $A$， $B$均为可逆方阵。

向量

1.有关向量组的线性表示

(1) $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$线性相关 $\Leftrightarrow$至少有一个向量可以用其余向量线性表示。

(2) $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$线性无关， $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$， $\beta$线性相关 $\Leftrightarrow \beta$可以由 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$唯一线性表示。

(3) $\beta$可以由 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$线性表示
$\Leftrightarrow r(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}) =r(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s},\beta)$ 。

2.有关向量组的线性相关性

(1)部分相关，整体相关；整体无关，部分无关.

(2) ① $n$个 $n$维向量
$\alpha_{1},\alpha_{2}\cdots\alpha_{n}$线性无关 $\Leftrightarrow \left|\left\lbrack \alpha_{1}\alpha_{2}\cdots\alpha_{n} \right\rbrack \right| \neq0$， $n$个 $n$维向量 $\alpha_{1},\alpha_{2}\cdots\alpha_{n}$线性相关
$\Leftrightarrow |\lbrack\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}\rbrack| = 0$
。

② $n + 1$个 $n$维向量线性相关。

③ 若 $\alpha_{1},\alpha_{2}\cdots\alpha_{S}$线性无关，则添加分量后仍线性无关；或一组向量线性相关，去掉某些分量后仍线性相关。

3.有关向量组的线性表示

(1) $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$线性相关 $\Leftrightarrow$至少有一个向量可以用其余向量线性表示。

(2) $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$线性无关， $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$， $\beta$线性相关 $\Leftrightarrow\beta$ 可以由 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$唯一线性表示。

(3) $\beta$可以由 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$线性表示
$\Leftrightarrow r(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}) =r(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s},\beta)$

4.向量组的秩与矩阵的秩之间的关系

设 $r(A_{m \times n}) =r$，则 $A$的秩 $r(A)$与 $A$的行列向量组的线性相关性关系为：

(1) 若 $r(A_{m \times n}) = r = m$，则 $A$的行向量组线性无关。

(2) 若 $r(A_{m \times n}) = r < m$，则 $A$的行向量组线性相关。

(3) 若 $r(A_{m \times n}) = r = n$，则 $A$的列向量组线性无关。

(4) 若 $r(A_{m \times n}) = r < n$，则 $A$的列向量组线性相关。

5. $\mathbf{n}$维向量空间的基变换公式及过渡矩阵

若 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$与 $\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}$是向量空间 $V$的两组基，则基变换公式为：

$(\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}) = (\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n})\begin{bmatrix} c_{11}& c_{12}& \cdots & c_{1n} \\ c_{21}& c_{22}&\cdots & c_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ c_{n1}& c_{n2} & \cdots & c_{{nn}} \\\end{bmatrix} = (\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n})C$

其中 $C$是可逆矩阵，称为由基 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$到基 $\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}$的过渡矩阵。

6.坐标变换公式

若向量 $\gamma$在基 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$与基 $\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}$的坐标分别是
$X = {(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})}^{T}$，

$Y = \left( y_{1},y_{2},\cdots,y_{n} \right)^{T}$ 即： $\gamma =x_{1}\alpha_{1} + x_{2}\alpha_{2} + \cdots + x_{n}\alpha_{n} = y_{1}\beta_{1} +y_{2}\beta_{2} + \cdots + y_{n}\beta_{n}$，则向量坐标变换公式为 $X = CY$ 或 $Y = C^{- 1}X$，其中 $C$是从基 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$到基 $\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}$的过渡矩阵。

7.向量的内积

$(\alpha,\beta) = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + \cdots + a_{n}b_{n} = \alpha^{T}\beta = \beta^{T}\alpha$

8.Schmidt正交化

若 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$线性无关，则可构造 $\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{s}$使其两两正交，且 $\beta_{i}$仅是 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{i}$的线性组合 $(i= 1,2,\cdots,n)$，再把 $\beta_{i}$单位化，记 $\gamma_{i} =\frac{\beta_{i}}{\left| \beta_{i}\right|}$，则 $\gamma_{1},\gamma_{2},\cdots,\gamma_{i}$是规范正交向量组。其中
$\beta_{1} = \alpha_{1}$， $\beta_{2} = \alpha_{2} -\frac{(\alpha_{2},\beta_{1})}{(\beta_{1},\beta_{1})}\beta_{1}$ ， $\beta_{3} =\alpha_{3} - \frac{(\alpha_{3},\beta_{1})}{(\beta_{1},\beta_{1})}\beta_{1} -\frac{(\alpha_{3},\beta_{2})}{(\beta_{2},\beta_{2})}\beta_{2}$ ，

…

$\beta_{s} = \alpha_{s} - \frac{(\alpha_{s},\beta_{1})}{(\beta_{1},\beta_{1})}\beta_{1} - \frac{(\alpha_{s},\beta_{2})}{(\beta_{2},\beta_{2})}\beta_{2} - \cdots - \frac{(\alpha_{s},\beta_{s - 1})}{(\beta_{s - 1},\beta_{s - 1})}\beta_{s - 1}$

9.正交基及规范正交基

向量空间一组基中的向量如果两两正交，就称为正交基；若正交基中每个向量都是单位向量，就称其为规范正交基。

线性方程组

1．克莱姆法则

线性方程组 $\begin{cases} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots +a_{1n}x_{n} = b_{1} \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdots + a_{2n}x_{n} =b_{2} \\ \quad\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \\ a_{n1}x_{1} + a_{n2}x_{2} + \cdots + a_{{nn}}x_{n} = b_{n} \\ \end{cases}$，如果系数行列式 $D = \left| A \right| \neq 0$，则方程组有唯一解， $x_{1} = \frac{D_{1}}{D},x_{2} = \frac{D_{2}}{D},\cdots,x_{n} =\frac{D_{n}}{D}$，其中 $D_{j}$是把 $D$中第 $j$列元素换成方程组右端的常数列所得的行列式。

2. $n$阶矩阵 $A$可逆 $\Leftrightarrow Ax = 0$只有零解。 $\Leftrightarrow\forall b,Ax = b$总有唯一解，一般地， $r(A_{m \times n}) = n \Leftrightarrow Ax= 0$只有零解。

3.非奇次线性方程组有解的充分必要条件，线性方程组解的性质和解的结构

(1) 设 $A$为 $m \times n$矩阵，若 $r(A_{m \times n}) = m$，则对 $Ax =b$而言必有 $r(A) = r(A \vdots b) = m$，从而 $Ax = b$有解。

(2) 设 $x_{1},x_{2},\cdots x_{s}$为 $Ax = b$的解，则 $k_{1}x_{1} + k_{2}x_{2}\cdots + k_{s}x_{s}$当 $k_{1} + k_{2} + \cdots + k_{s} = 1$时仍为 $Ax =b$的解；但当 $k_{1} + k_{2} + \cdots + k_{s} = 0$时，则为 $Ax =0$的解。特别 $\frac{x_{1} + x_{2}}{2}$为 $Ax = b$的解； $2x_{3} - (x_{1} +x_{2})$为 $Ax = 0$的解。

(3) 非齐次线性方程组 ${Ax} = b$无解 $\Leftrightarrow r(A) + 1 =r(\overline{A}) \Leftrightarrow b$不能由 $A$的列向量 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$线性表示。

4.奇次线性方程组的基础解系和通解，解空间，非奇次线性方程组的通解

(1) 齐次方程组 ${Ax} = 0$恒有解(必有零解)。当有非零解时，由于解向量的任意线性组合仍是该齐次方程组的解向量，因此 ${Ax}= 0$的全体解向量构成一个向量空间，称为该方程组的解空间，解空间的维数是 $n - r(A)$，解空间的一组基称为齐次方程组的基础解系。

(2) $\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{t}$是 ${Ax} = 0$的基础解系，即：

1. $\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{t}$是 ${Ax} = 0$的解；

2. $\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{t}$线性无关；

3. ${Ax} = 0$的任一解都可以由 $\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{t}$线性表出.
   $k_{1}\eta_{1} + k_{2}\eta_{2} + \cdots + k_{t}\eta_{t}$是 ${Ax} = 0$的通解，其中 $k_{1},k_{2},\cdots,k_{t}$是任意常数。

矩阵的特征值和特征向量

1.矩阵的特征值和特征向量的概念及性质

(1) 设 $\lambda$是 $A$的一个特征值，则 ${kA},{aA} + {bE},A^{2},A^{m},f(A),A^{T},A^{- 1},A^{*}$有一个特征值分别为
${kλ},{aλ} + b,\lambda^{2},\lambda^{m},f(\lambda),\lambda,\lambda^{- 1},\frac{|A|}{\lambda},$且对应特征向量相同（ $A^{T}$ 例外）。

(2)若 $\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}$为 $A$的 $n$个特征值，则 $\sum_{i= 1}^{n}\lambda_{i} = \sum_{i = 1}^{n}a_{{ii}},\prod_{i = 1}^{n}\lambda_{i}= |A|$ ,从而 $|A| \neq 0 \Leftrightarrow A$没有特征值。

(3)设 $\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{s}$为 $A$的 $s$个特征值，对应特征向量为 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$，

若: $\alpha = k_{1}\alpha_{1} + k_{2}\alpha_{2} + \cdots + k_{s}\alpha_{s}$ ,

则: $A^{n}\alpha = k_{1}A^{n}\alpha_{1} + k_{2}A^{n}\alpha_{2} + \cdots +k_{s}A^{n}\alpha_{s} = k_{1}\lambda_{1}^{n}\alpha_{1} +k_{2}\lambda_{2}^{n}\alpha_{2} + \cdots k_{s}\lambda_{s}^{n}\alpha_{s}$ 。

2.相似变换、相似矩阵的概念及性质

(1) 若 $A \sim B$，则

1. $A^{T} \sim B^{T},A^{- 1} \sim B^{- 1},,A^{*} \sim B^{*}$

2. $|A| = |B|,\sum_{i = 1}^{n}A_{{ii}} = \sum_{i =1}^{n}b_{{ii}},r(A) = r(B)$

3. $|\lambda E - A| = |\lambda E - B|$，对 $\forall\lambda$成立

3.矩阵可相似对角化的充分必要条件

(1)设 $A$为 $n$阶方阵，则 $A$可对角化 $\Leftrightarrow$对每个 $k_{i}$重根特征值 $\lambda_{i}$，有 $n-r(\lambda_{i}E - A) = k_{i}$

(2) 设 $A$可对角化，则由 $P^{- 1}{AP} = \Lambda,$有 $A = {PΛ}P^{-1}$，从而 $A^{n} = P\Lambda^{n}P^{- 1}$

(3) 重要结论

1. 若 $A \sim B,C \sim D$，则 $\begin{bmatrix} A & O \\ O & C \\\end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} B & O \\ O & D \\\end{bmatrix}$.

2. 若 $A \sim B$，则 $f(A) \sim f(B),\left| f(A) \right| \sim \left| f(B)\right|$，其中 $f(A)$为关于 $n$阶方阵 $A$的多项式。

3. 若 $A$为可对角化矩阵，则其非零特征值的个数(重根重复计算)＝秩( $A$)

4.实对称矩阵的特征值、特征向量及相似对角阵

(1)相似矩阵：设 $A,B$为两个 $n$阶方阵，如果存在一个可逆矩阵 $P$，使得 $B =P^{- 1}{AP}$成立，则称矩阵 $A$与 $B$相似，记为 $A \sim B$。

(2)相似矩阵的性质：如果 $A \sim B$则有：

1. $A^{T} \sim B^{T}$

2. $A^{- 1} \sim B^{- 1}$ （若 $A$， $B$均可逆）

3. $A^{k} \sim B^{k}$ （ $k$为正整数）

4. $\left| {λE} - A \right| = \left| {λE} - B \right|$，从而 $A,B$
   有相同的特征值

5. $\left| A \right| = \left| B \right|$，从而 $A,B$同时可逆或者不可逆

6. 秩 $\left( A \right) =$秩 $\left( B \right),\left| {λE} - A \right| =\left| {λE} - B \right|$， $A,B$不一定相似

二次型

1. $\mathbf{n}$个变量 $\mathbf{x}_{\mathbf{1}}\mathbf{,}\mathbf{x}_{\mathbf{2}}\mathbf{,\cdots,}\mathbf{x}_{\mathbf{n}}$的二次齐次函数

$f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}) = \sum_{i = 1}^{n}{\sum_{j =1}^{n}{a_{{ij}}x_{i}y_{j}}}$，其中 $a_{{ij}} = a_{{ji}}(i,j =1,2,\cdots,n)$，称为 $n$元二次型，简称二次型. 若令 $x = \ \begin{bmatrix}x_{1} \\ x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \\ \end{bmatrix},A = \begin{bmatrix} a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n} \\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n} \\ \cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\ a_{n1}& a_{n2} & \cdots & a_{{nn}} \\\end{bmatrix}$,这二次型 $f$可改写成矩阵向量形式 $f =x^{T}{Ax}$。其中 $A$称为二次型矩阵，因为 $a_{{ij}} =a_{{ji}}(i,j =1,2,\cdots,n)$，所以二次型矩阵均为对称矩阵，且二次型与对称矩阵一一对应，并把矩阵 $A$的秩称为二次型的秩。

2.惯性定理，二次型的标准形和规范形

(1) 惯性定理

对于任一二次型，不论选取怎样的合同变换使它化为仅含平方项的标准型，其正负惯性指数与所选变换无关，这就是所谓的惯性定理。

(2) 标准形

二次型 $f = \left( x_{1},x_{2},\cdots,x_{n} \right) =x^{T}{Ax}$经过合同变换 $x = {Cy}$化为 $f = x^{T}{Ax} =y^{T}C^{T}{AC}$

$y = \sum_{i = 1}^{r}{d_{i}y_{i}^{2}}$称为 $f(r \leq n)$的标准形。在一般的数域内，二次型的标准形不是唯一的，与所作的合同变换有关，但系数不为零的平方项的个数由 $r(A)$唯一确定。

(3) 规范形

任一实二次型 $f$都可经过合同变换化为规范形 $f = z_{1}^{2} + z_{2}^{2} + \cdots z_{p}^{2} - z_{p + 1}^{2} - \cdots -z_{r}^{2}$，其中 $r$为 $A$的秩， $p$为正惯性指数， $r -p$为负惯性指数，且规范型唯一。

3.用正交变换和配方法化二次型为标准形，二次型及其矩阵的正定性

设 $A$正定 $\Rightarrow {kA}(k > 0),A^{T},A^{- 1},A^{*}$正定； $|A| >0$, $A$可逆； $a_{{ii}} > 0$，且 $|A_{{ii}}| > 0$

$A$， $B$正定 $\Rightarrow A +B$正定，但 ${AB}$， ${BA}$不一定正定

$A$正定 $\Leftrightarrow f(x) = x^{T}{Ax} > 0,\forall x \neq 0$

$\Leftrightarrow A$的各阶顺序主子式全大于零

$\Leftrightarrow A$的所有特征值大于零

$\Leftrightarrow A$的正惯性指数为 $n$

$\Leftrightarrow$存在可逆阵 $P$使 $A = P^{T}P$

$\Leftrightarrow$存在正交矩阵 $Q$，使 $Q^{T}{AQ} = Q^{- 1}{AQ} =\begin{pmatrix} \lambda_{1} & & \\ \begin{matrix} & \\ & \\ \end{matrix} &\ddots & \\ & & \lambda_{n} \\ \end{pmatrix},$

其中 $\lambda_{i} > 0,i = 1,2,\cdots,n.$正定 $\Rightarrow {kA}(k >0),A^{T},A^{- 1},A^{*}$正定； $|A| > 0,A$可逆； $a_{{ii}} >0$，且 $|A_{{ii}}| > 0$ 。

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