神经网络与深度学习笔记（七）dropout 正则化等其他减小方差的方法

前言

相对于 $L_2$ 正则化的计算量较大，dropout正则化减少了计算量，不足的是不能直观体现出 $ȷ(w,b)$ 随着迭代次数的变化情况。但这也不妨碍其在计算机视觉中的广泛使用。

dropout 正则化

原理

对神经网络中每一层的每个节点取一定概率丢弃，进而使得神经网络一定程度上简化

例如上图中，橙色的节点是丢弃的节点。橙色节点丢弃后，该神经网络就一定程度上简化了

常见方法：反向随机失活

反向随机失活在计算机视觉上用的多。使用反向随机失活时，神经网络最少取3层

d3 = np.random.rand(a3.shape[0],a3.shape[1])<keep.prob	 #keep.prob是不丢弃的概率，如果值为0.8，则有0.2被丢弃
a3 = np.multply(a3,d3)
a3 /= keep.prob		#防止改变a3的期望值

  

 

  
1
  
2
  
3
 

假设我们有 50 个神经元，且概率为 0.8，则 50 个神经元中有 10 个 将会被丢弃。

那么，$z^{[4]}=w^{[4]}\ast a^{[3]}+b^{[4]}$ 中，$a^{[3]}$ 就被减少了 $20$，为了不减少这个期望值，就需要 a3 /= keep.prob 来防止对 $a^{[3]}$ 期望值的改变。

但是，在测试阶段不可以使用反向随机失活，不然期望输出也会是随机的。

而且，反向随机失活会使代价函数不明确，故，在神经网络的训练过程中，要先确定 $ȷ(w,b)$ 随梯度下降的迭代次数增加而减小后再使用反向随机失活。

数据集扩增

图像

• 图像水平翻转
• 图像随机裁剪

等一系列的图像操作可以使得数据量翻倍从而扩大训练集

字符

• 旋转
• 变形

早终止法

早终止法的优点也是减少了计算量。但是却把两个问题结合在了一起增加了复杂度

如图，我们画出随着迭代次数增加的情况下，开发集 (dev) 误差与训练误差 (train) (或者 $ȷ$ 代价函数也可) 的曲线。我们会发现随着迭代次数的增加，开发集 (dev) 误差会先减后增，训练误差 (train) (或者 $ȷ$ 代价函数也可) 的曲线会一直递减。

我们找到两个曲线均小的点，这个点就是早终止的点。在这个点可以取得较好的性能，从而降低高方差

然而，这也是有缺点的。

这使得最优化的 $ȷ$ 函数（或者梯度下降的最优解）与正则化减少方差的两个问题结合在了一起。使得不能单一解决其中一个问题，增加了复杂性。

提早中断了梯度下降，打断了 $ȷ$ 的优化过程，没法用同一个工具解决两个问题。

但是这避免了正则化的缺点，大量的对 $\lambda$ 的计算，减少了计算量。

归一化输入

零均值化

$$\begin{gathered} \mu =\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m{x}_{(i)} \\ x=x-\mu \end{gathered}$$

归一化方差

$$\begin{gathered} {\sigma }^2=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m{x}_{(i)}^2 \\ x/=\sigma \end{gathered}$$

为什么要归一化输入呢？我们看看归一化前后的结果

我们可以发现，归一化后的数据在梯度下降时候会更容易找到最优解，如果不进行归一化，会加大计算量，同时损失函数也会较复杂。即消除了数据特征之间的量纲影响，使得不同指标之间具有可比性，数据的更新速度将会变得一致，从而更容易更快通过梯度下降找到最优解，进而得到更精确的结果，便于分析。

梯度消失与梯度爆炸

梯度消失与梯度爆炸常常出现在较深的神经网络中，梯度消失与梯度爆炸的含义是，在训练时，损失函数的导数或者斜率有时候会变得特小或者特大

例如上图的神经网络，我们可以知道，输出 $y$ 的值为：
$$y=w^{[l]}\ast w^{[l-1]}\cdots \ast w^{[1]}x$$
假设：
w = [ 1.5 0 0 1.5 ] w =

同理，在 w = [ 0.5 0 0 0.5 ] w =

那么如何解决这个问题？

我们需要使用更细致的随机初始化神经网络（初始化权重）

例如：

w[l] = np.random.randn(shape)*np.sqrt(1/n[l-1])

  

 

  
1
 

其中， $\frac{1}{n^{[l-1]}}$ 中的 $n^{[l-1]}$ 为输入的每个神经元的特征数。因为每层神经网络的每个单元有 $n^{[l-1]}$ 个输入，而在这个例子中，有 $n$ 个输入特征

需要注意的是，当使用 $ReLU$ 作为激活函数时，我们应该使用 np.sqrt(2/n[l-1])

当使用 $tanh$ 时，有两种方案，任选一种即可：

• xavier 提出的初始化数：
  $$\sqrt{\frac{1}{n^{[l-1]}}}$$

• Yoshua Bengio 提出的初始化数：
  $$\sqrt{\frac{2}{n^{[l-1]}\ast n^{[l]}}}$$

梯度检验

梯度检验用于检验梯度反向传播的正确性

梯度的近似计算：
$$\frac{f(\theta +\epsilon )-f(\theta -\epsilon )}{2\epsilon }\approx g(\theta )$$
用双侧的差值计算更精确。

梯度检验具体来讲就是：

将
$$w^{[1]},b^{[1]}\cdots \cdots w^{[l]},b^{[l]}$$
连成一个向量 $\theta$

那么：
$$ȷ([w^{[1]},b^{[1]}\cdots \cdots w^{[l]},b^{[l]}])=ȷ(\theta )$$
同理，将
$$d{w}^{[1]},d{b}^{[1]}\cdots \cdots d{w}^{[l]},d{b}^{[l]}$$
连成一个向量 $d\theta$
$$d\theta =[d{w}^{[1]},d{b}^{[1]}\cdots \cdots d{w}^{[l]},d{b}^{[l]}]$$
我们需要计算的是，$d\theta$ 是 $ȷ(\theta )$ 的梯度或者斜率嘛？

由于 $ȷ(\theta )=ȷ({\theta }_1,\cdots ,{\theta }_l)$ ，故我们要对每个 $\theta$ 循环一次

对于每个 ${\theta }_i$，我们有
$$d{\theta }_{appor(i)}=\frac{ȷ({\theta }_1,\cdots {\theta }_i+\epsilon ,\cdots )-ȷ({\theta }_1,\cdots {\theta }_i-\epsilon ,\cdots )}{2\epsilon }$$
而：
$$d{\theta }_{(i)}=\frac{\partial ȷ}{\partial {\theta }_{(i)}}$$
接下来检查
$$d{\theta }_{appor(i)}\approx d\theta$$
是否成立

我们计算它们的欧几里得距离，即两个向量的每个分量差的平方和再开方，看看结果是否大概为 $10^{-7}$。
$$\frac{||d{\theta }_{a}ppor-d\theta |{|}_2}{||d{\theta }_{appor}|{|}_2+||d\theta |{|}_2}\approx 10^{-7}$$
如果为 $10^{-7}$ 那么梯度检验就通过了。

如果为 $10^{-5}$，那么需要好好检查一下，可能正确也有可能错误，检查每个分量。如果其中某个分量很大，就有可能出错了

如果为 $10^{-3}$，那么一定有错误，需要仔细检查

梯度检验的实用技巧

• 不要在训练中使用梯度检查，仅仅只在调试时使用，否则会严重影响训练速度，调试过后记得关掉
• 如果检验失败，仔细检查每一项去找出漏洞，仔细检查，差值大的可能有错误
• 如果使用了正则化，那么检验也需要正则化
• 梯度检验不要与 dropout 一起使用，可以设 dropout 的 keep.prob 为 1，即关掉 dropout 再检验

文章来源: blog.csdn.net，作者：沧夜2021，版权归原作者所有，如需转载，请联系作者。

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