神经网络与深度学习笔记（六）L2正则化

前言

前面提到过高方差问题主要的两种方式：

• 获取更多的数据去训练。然而这种方式局限在于，数据并不是总是很容易获得的或者数据获取的代价很大。
• 正则化。这就是这篇文章需要来讨论的主题。

最小化代价函数正则化

使用 $L_2$ 正则化的最小化代价函数：
$$mi{n}_{(w,b)}ȷ(w,b)=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^mȷ({\hat{y}}^{(i)},y^{(i)})+\frac{\lambda }{2m}||w|{|}_2^2$$
其中，$\lambda$ 称为正则化参数。在编程过程中，常常把 $\lambda$ 写为lambd，以防止和Python语言中的关键字lamba起冲突。这一参数通常需要调优，使用开发集或者交叉验证集来验证。

那么：
$$||w|{|}_2^2$$
到底是啥意思？

实际上，$|w{|}_2^2$ 被称为 $L_2$ 正则化，又称为参数 $w$ 的欧几里得范数，$L_2$ 范数等
$$||w|{|}_2^2=\sum _{j=1}^{n_x}{w}_j^2=w^{T}w$$
既然有 $L_2$ 范数，那么 $L_1$ 范数是啥？

$L_1$ 范数即为：
$$||w|{|}_1=|w_1|+|w_2|+|w_3|+\cdots |w_n|$$
与此对应的 $L_1$ 正则化
$$\sum _{j=1}^{n_x}|w_j|=||w|{|}_1$$
使用 $L_1$ 正则化的最小代价函数为：
$$mi{n}_{(w,b)}ȷ(w,b)=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^mȷ({\hat{y}}^{(i)},y^{(i)})+\frac{\lambda }{2m}||w|{|}_1$$
然而使用 $L_1$ 正则化的效果并不是太明显，主要是因为使用后会导致 $w$ 稀疏，$w$ 矢量中会有很多 0，虽然模型会有一定的压缩但是效果不大。

这就是为什么通常使用 $L_2$ 正则化而不是 $L_1$ 正则化的原因。

那么， $b$ 参数是否可以正则化呢？比如： $\frac{\lambda }{2m}{b}^2$

答案也是效果不大。

因为参数实际上大多数集中在 $w$ 中，而不是 $b$ ，即使对 $b$ 进行了正则化，$b$ 对模型的影响效果也不是太大

在神经网络中的 $L_2$ 正则化

$$\begin{gathered} ȷ(w^{[1]},b^{[1]},\cdots w^{[l]},b^{[l]})=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^{m}L({\hat{y}}^{(i)},y^{(i)})+\frac{\lambda }{2m}\sum _{i=1}^l||w^{[l]}|{|}^2 \\ ||w^{[l]}|{|}^2=\sum _{i=1}^{n^{[l]}}\sum _{j=1}^{n^{[l-1]}}(w_{ij}^{[l]}{)}^2 \\ {w}^{[l]}:(n^{[l]},n^{[l-1]}) \end{gathered}$$

其中矩阵的 $||w^{[l]}|{|}^2={\sum }_{i=1}^{n^{[l]}}{\sum }_{j=1}^{n^{[l-1]}}(w_{ij}^{[l]}{)}^2$ ，表示矩阵中元素平方和。又称为弗罗贝尼乌斯范数（Frobenius norm） ，这里就不叫 $L_2$ 范数了。（为啥？我也不知道，而且弗罗贝尼乌斯范数不是对应元素的平方和再开方嘛？为什么这里不开方？）

在梯度下降的过程中,$d{w}^{[l]}$，$w^{[l]}$也会变化
$$\begin{gathered} d{w}^{[l]}=d{z}^{[l]}\ast a^{[l-1]}+\frac{\lambda }{m}{w}^{[l]} \\ {w}^{[l]}=w^{[l]}-\alpha d{w}^{[l]} \\ =w^{[l]}-\alpha \ast (d{z}^{[l]}\ast a^{[l-1]}+\frac{\lambda }{m}{w}^{[l]}) \\ =w^{[l]}-\frac{\alpha \lambda }{m}{w}^{[l]}-\alpha (d{z}^{[l]}\ast a^{[l-1]}) \\ =w^{[l]}(1-\frac{\alpha \lambda }{m})-\alpha (d{z}^{[l]}\ast a^{[l-1]}) \end{gathered}$$
故，在梯度下降过程中，$w$ 是逐渐变小的，所以 $L_2$ 正则化有时称之为权重衰减

为什么 $L_2$ 正则化可以防止过拟合，减少方差？

$$ȷ(w^{[1]},b^{[1]},\cdots w^{[l]},b^{[l]})=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^{m}L({\hat{y}}^{(i)},y^{(i)})+\frac{\lambda }{2m}\sum _{i=1}^l||w^{[l]}|{|}^2$$
观察上图的公式：

当 $\lambda \uparrow$ 且 $\lambda$ 足够大的时候 ——> $w$ 就会 $\to 0$ ——> 从而将隐藏单元的影响削减 ——> 进一步使得神经网络简单化 ——> 最终使得神经网络接近逻辑回归

举个例子：

当激活函数是 $tanh(z)$ 时，

$$\lambda \uparrow ⟶w^{[l]}\downarrow ⟶(z^{[l]}=w^{[l]}{a}^{[l-1]}+b^{[l]})\downarrow ⟶接近线性$$
因为 $w^{[l]}$ 变小会导致以 $w^{[l]}$ 为参数求出的 $z^{[l]}$ 的值变小，使得隐藏单元的影响削减，使得神经网络简单化，最后使得神经网络接近逻辑回归

就降低了方差

同时，在使用 $L_2$正则化时建议画出 $ȷ$ 关于梯度下降迭代次数的图像

你会发现使用 $L_2$ 正则化后，随着迭代次数的增加，$ȷ$ 的值会逐渐减小

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