现代控制理论基础丨控制系统的稳定性

Author：AXYZdong 自动化专业 工科男
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1. 李雅普诺夫关于稳定性的定义

设所研究系统的齐次状态方程为：

$$\acute{x}=f(x,t) \tag 1$$

式中， $x$ 为 $n$ 维状态矢量； $f$ 为与 $x$ 同维的矢量函数，它是 $x$ 各元素 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 和时间 $t$ 的函数。

设方程式（1）在给定初始条件 $(t_0,x_0)$ 下，有唯一解：

$$x=\phi(t;x_0,t_0) \tag 2$$

式（2）实际上描述了系统式（1）在 $n$ 维状态空间中从初始条件 $(t_0,x_0)$ 出发的一条状态运动的轨迹，简称系统的运动或 状态轨迹。

若式（1）存在状态矢量 $x_e$ ，对所有 $t$，都使

$$f(x_e,t)\equiv0$$

成立，则 $x_e$ 称为系统的平衡状态。

• 李雅普诺夫意义下稳定
  如果方程式（1）描述的系统对于任意选定的实数 $\epsilon >0$ ，都对应存在另一实数 $\delta ( \epsilon , t_0) >0$，使当

$$||x_0-x_e||\leq\delta(\epsilon,t_0)$$

时，从任意初态 $x_0$ 出发的解都满足:

$$||\phi(t;x_0,t_0)-x_e||\leq\epsilon,t_0\leq t< \infty$$

则称平衡状态 $x_e$ 为李雅普诺夫意义下稳定。 其中实数 $\delta$ 与 $\epsilon$ 有关，一般情况下也与 $t_0$ 有关。如果 $\delta$ 与 $t_0$ 无关，则称这种平衡状态是一致稳定的。

• 渐进稳定
  如果平衡状态 $x_e$ 是稳定的，而且当 $t$ 无限增长时，轨线不仅不超出 $s(\epsilon)$ ，而且最终收敛于 $x_e$ ，则称这种平衡状态 $x_e$ 渐近稳定 。

• 大范围渐进稳定
  如果平衡状态 $x_e$ 是稳定的，而且从状态空间中所有初始状态出发的轨线都具有渐近稳定性，则称这种平衡状态 $x_e$ 大范围渐进稳定。
• 不稳定
  如果对于某个实数 $\epsilon>0$ 和任一实数 $δ ＞0$ ，不管 $\delta$ 这个实数多么小，由 $s(\delta)$ 内出发的状态轨线，至少有一个轨线越过 $s(\epsilon)$ ，则称这种平衡状态 $x_e$ 不稳定。

• 如果 $x( t )$ 有界，则称 $x_e$ 稳定 。如果 $x( t)$ 不仅有界而 $\lim_{t\to \infty} x(t) = 0$，收敛于原点，则称 $x_e$ 渐近稳定。 如桌 $x(t)$ 为无界，则称 $x_e$ 不稳定。
  在经典控制理论中，只有渐进稳定的系统才称作稳定系统。 只在李雅普诺夫意义下稳定，但不是渐近稳定的系统则称临界稳定系统，这在工程上属于不稳定系统。

2. 李雅普诺夫第一法（间接法）

• （状态稳定性）线性定常系统 $\sum:(A,b,c)$

$$\acute{x}=Ax+bu\\ y=cx$$

平衡状态 $x_e$ 渐进稳定的充要条件是矩阵 $A$ 的所有特征值均具有负实部。

• （输出稳定性）线性定常系统 $\sum:(A,b,c)$ 输出稳定的充要条件是其传递函数：

$$W(s)=c(sI-A)^{-1}b$$

的极点全部位于 $s$ 的左半平面。

3. 李雅普诺夫第二法

• 定理：
  设系统状态方程为 $\acute{x}=f(x)$
  在平衡状态 $x_e=0$ 的某领域内，标量函数 $V(x)$ 具有连续一阶偏导数，且满足
  （1） $V(x)$ 为正定的标量函数，即 $V(x)>0，（x \ne 0 ）;V(x)=0，（x = 0 ）$
  （2） $\acute{V}(x)$ 为负定的标量函数，即 $\acute{V}(x)<0，（x \ne 0 ）;\acute{V}(x)=0，（x = 0 ）$
  则 $x_e=0$是一致渐进稳定的。
  如果 $||x||\to \infty$ ，则 $x_e=0$ 是大范围渐进稳定。

4. 李雅普诺夫方法在线性定常系统中的应用

4.1 线性定常连续系统的稳定性

线性定常系统： $\acute{x}=Ax$

李雅普诺夫方程： $A^TP+PA=-Q，（Q一般取I）。$即： $A^TP+PA=-I$

当 $P$ 矩阵是正定矩阵时 $\to$ $x_e=0$ 为一致渐进稳定并且是一致大范围渐进稳定。

注： $P$ 矩阵为 $n\times n$ 正定的对称常值矩阵，即：

$$P= \begin{pmatrix} p_{11} & p_{12} \\ P_{12}& p_{22} \end{pmatrix}$$

能量函数 $V(x)=x^TPx$

4.2 线性定常离散系统的稳定性

线性定常离散系统： $x(k+1)=Gx(k)$

李雅普诺夫方程： $G^TPG-P=-Q，（Q一般取I）。$

当 $P$ 矩阵是正定矩阵时 $\to$ $x_e=0$ 为一致渐进稳定并且是一致大范围渐进稳定。

能量函数 $V[x(k)]=x^T(k)Px(k)$

5. 李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用

• 克拉索夫斯基法
  非线性定常系统状态方程：

$$\begin{cases} \acute{x}=f(x)\\[2ex] f(0)=0 \end{cases}$$

雅克比矩阵：

$$J(x)=\frac{\partial f(x)}{\partial x}=\begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} &\frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\[2ex] \frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2} & \cdots &\frac{\partial f_2}{\partial x_n} \\[2ex] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[2ex] \frac{\partial f_n}{\partial x_1}& \frac{\partial f_n}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_n}{\partial x_n} \\ \end{bmatrix}$$

$S(x)=J^T(x)W+WJ(x)$ $\underrightarrow{取W=I}$ $S(x)=J^T(x)+J(x)$
若 $S(x)$ 负定，则 $x_e=0$ 为一致渐进稳定。
如果 $||x||\to \infty，V(x)=f^T(x)f(x)\to \infty$ ，则 $x_e=0$ 是一致大范围渐进稳定的。

  本次的分享就到这里

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