现代控制理论基础丨对偶原理和能观能控标准型

Author：AXYZdong 自动化专业 工科男
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1. 对偶原理

有两个系统，一个系统 $\sum_1$ 为：

$$\begin{cases} \acute{x_1}=A_1x_1+B_1u_1\\[2ex] y_1=C_1x_1 \end{cases}$$

另一个系统 $\sum_2$ 为：

$$\begin{cases} \acute{x_2}=A_2x_2+B_2u_2\\[2ex] y_2=C_2x_2 \end{cases}$$

若满足：

$$A_2=A_1^T，B_2=C_1^T，C_2=B_1^T$$

则称系统 $\sum_1$ 与系统 $\sum_2$ 是互为对偶的。

式中， $x_1,x_2$ 为 $n$ 维状态矢量； $u_1,u_2$ 为 $r$ 与 $m$ 维控制矢量； $y_1,y_2$ 为 $m$ 与 $r$ 维输出矢量； $A_1,A_2$ 为 $n\times n$ 系统矩阵； $B_1,B_2$ 各为 $n\times r$ 与 $n\times m$ 维控制矩阵； $C_1,C_2$ 各为 $m\times n$ 与 $r\times n$ 维输出矩阵。

两个基本性质：

• 对偶的两个系统传递函数矩阵互为转置
• 对偶的两个系统特征值相同

对偶原理：
系统 $\sum_1（A_1,B_1,C_1）$ 和 $\sum_2（A_2,B_2,C_2）$ 是互为对偶的两个系统，则 $\sum_1$ 的能控性等价于 $\sum_2$ 能观性， $\sum_1$ 的能观性等价于 $\sum_2$ 能控性。或者说 ，若 $\sum_1$ 是状态完全能控的（完全能观的），则 $\sum_2$ 是状态完全能观的（完全能控的）

2. 能控标准型和能观测标准型

在实际应用中，常常根据所研究问题的需要， 将状态空间表达式化为相应的几种标准形式：

• 如约旦标准型对于状态转移矩阵的计算，可控性和可观性的分析是十分方便的；
• 对于系统的状态反馈则化为能控标准型是比较方便的；
• 对于系统状态观测器的设计以及系统辨识，则将系统状态空间表达式化为能观标准型是方便的。

把状态空间表达式化成能控标准型（能观标准型）的理论根据是状态的非奇异变换不改变其能控性（能观性），只有系统是状态完全能控的（能观的）才能化成能控（能观）标准型。

2.1 能控标准型

$$\begin{cases} \acute{x}=Ax+bu\\[2ex] y=Cx+du \end{cases}（1） \\[2ex]其中,x为n维向量，u和y为标量 \\[2ex]A，B，C，d为满足矩阵运算相应维数的矩阵。$$

设 $A$ 的特征多项式为：

$$det[\lambda I-A]=\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+...+a_1\lambda+a_0$$

系统（1）能控性矩阵：

$$Q_c= \begin{pmatrix} b & Ab &A^2b&\cdots &A^{n-1}b \end{pmatrix}$$

若系统能控，则： $rankQ_c=n$。

系统（1）能控，则通过线性变换将其变成如下形式的能控标准型。

$$\acute{\overline{x}} =\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 &\cdots & 0 \\[2ex] 0 & 0 & 1 &\cdots & 0 \\[2ex] \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[2ex] 0 & 0 & 0 &\cdots & 1 \\[2ex] -a_{0} & -a_{1} & -a_2 & \cdots & -a_{n-1} \\ \end{pmatrix} \overline{x} + \begin{pmatrix} 0 \\[2ex] 0\\[2ex] \vdots \\[2ex] 0\\[2ex] 1 \\ \end{pmatrix}u\\[2ex] y= \begin{pmatrix} \beta_0 & \beta_1 &\cdots &\beta_{n-1} \end{pmatrix}x+du$$

式中：

$$\begin{cases} \beta_0=C[A^{n-1}b+a_{n-1}A^{n-2}b+\cdots+a_1b]\\[2ex] \vdots \\[2ex] \beta_{n-2}=C(Ab+a_{n-1}b)\\[2ex] \beta_{n-1}=Cb \end{cases}$$

引入非奇异矩阵 $P$ 作变换：

$$\overline{x}=Px，或者：x=P^{-1}\overline{x}\\[2ex] \overline{A}=PAP^{-1}，\overline{b}=Pb，\overline{C}=CP^{-1}，\overline{d}=d\\[2ex] 式中：P=\begin{pmatrix} p_1 & p_2 &\cdots &p_n \end{pmatrix}^{-1}$$

由于系统能控，所以 $rank\begin{pmatrix} b & Ab &A^2b&\cdots &A^{n-1}b \end{pmatrix}=n$。列向量 $b,Ab,\cdots,A^{n-1}b$ 为 $n$ 个线性无关的列向量。由此可取：

$$\begin{pmatrix} p_1 & p_2 &\cdots &p_n \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} b & Ab &\cdots &A^{n-1}b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1}& 1 \\[2ex] a_2& a_3 & \cdots & 1 & 0 \\[2ex] \vdots & \vdots & \cdot & \vdots & \vdots \\[2ex] a_{n-1} &1 & \cdots & 0 & 0 \\[2ex] 1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ \end{pmatrix}$$

这样非奇异矩阵 $P$ 就可以求出。

2.2 能观测标准型

系统（1）能观测性矩阵：

$$Q_0= \begin{pmatrix} C \\[2ex] CA \\[2ex] \vdots \\[2ex] CA^{n-1} \end{pmatrix}$$

若系统能观测，则： $rankQ_0=n$。

系统（1）能观测，则通过线性变换将其变成如下形式的能观测标准型。

$$\acute{\overline{x}} =\begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_{0} \\[2ex] 1 & 0 & \cdots &0 & -a_{1} \\[2ex] 0 & 1 & \cdots & 0 & -a_{2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots& \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 1 & -a_{n-1} \\ \end{pmatrix} \overline{x} + \begin{pmatrix} \beta_0 \\[2ex] \beta_1\\[2ex] \vdots \\[2ex] \beta_{n-1}\\ \end{pmatrix}u\\[2ex] y= \begin{pmatrix} 0 & 0 &\cdots & 1 \end{pmatrix}x+du$$

式中：

$$\begin{cases} \beta_0=C[A^{n-1}b+a_{n-1}A^{n-2}b+\cdots+a_1b]\\[2ex] \vdots \\[2ex] \beta_{n-2}=C(Ab+a_{n-1}b)\\[2ex] \beta_{n-1}=Cb \end{cases}$$

变换矩阵可取：

$$P= \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1}& 1 \\[2ex] a_2& a_3 & \cdots & 1 & 0 \\[2ex] \vdots & \vdots & \cdot & \vdots & \vdots \\[2ex] a_{n-1} &1 & \cdots & 0 & 0 \\[2ex] 1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} C \\[2ex] CA \\[2ex] \vdots \\[2ex] CA^{n-1} \end{pmatrix}$$

这样非奇异矩阵 $P$ 就可以求出。

参考文献

[1]：刘豹，唐万生. 现代控制理论[M]. 北京：机械工业出版社，2006.7
[2]：王孝武. 现代控制理论基础[M]. 3版 北京：机械工业出版社，2013.7

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