现代控制理论基础丨能控性和能观性

Author：AXYZdong 自动化专业 工科男
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1. 能控性及其判据

指外输入 $u(t)$ 对系统状态变量 $x(t)$ 和输出变量 $y(t)$ 的支配能力，它回答了 $u(t)$ 能否使 $x(t)$ 和 $y(t)$ 做任意转移的问题。

• 有些状态分量能受输入 $u(t)$ 的控制，有些则可能不受 $u(t)$ 的控制。受 $u(t)$ 控制的状态称为能控状态，不受 $u(t)$ 控制的状态称为不能控状态。

1.1 例子

例1：系统的结构图如下

显然， $u$ 只能控制 $x_1$ ，而不能影响 $x_2$ ，我们称状态变量 $x_1$ 是可控的，而 $x_2$ 是不可控的。

• 只要系统中有一个状态变量是不可控的，则该系统是状态不可控的。

例2：取 $i_L$ 和 $u_c$ 作为状态变量， $u$ 为输入， $y=u_c$ 为输出。

1. 当 $R_1R_4\neq R_2R_3$，状态可控；
2. 当 $R_1R_4= R_2R_3$ ， $u$ 只能控制 $i_L$，状态不可控。

1.2 能控性定义

对于线性定常系统：

如果存在一个分段连续系统的输入 $u(t)$，能在 $[t_0,t_f]$ 的有限时间内使得系统的某一初始状态 $x(t_0)$ 转移到任一终端状态 $x(t_f)$，则称此状态是能控的。

如果系统的所有状态都是能控的，则称系统是状态完全能控的。

根据初始状态和终端状态的不同位置，可以分为：

• 系统的状态能控性：（常用）
  初始状态为状态空间任意非零有限点；
  终端状态为状态空间原点，即零态。
• 系的状态能达性：
  初始状态为为状态空间原点，即零态；
  终端状态为状态空间任意非零有限点。

1.3 能控性判据

• 格拉姆矩阵法
  对于式（1）的系统状态能控的充分必要条件是矩阵 $W_c[0,t_1]$ 的秩为 $n$ ，其中

$$W_c[0,t_1]=\int_{0}^{t_1}e^{-A\tau}BB^Te^{-A^T\tau}d\tau$$

• 若式（1）系统能控，则 $n\times nr$ 能控性矩阵

$$Q_c= \begin{pmatrix} B & AB &A^2B&\cdots &A^{n-1}B \end{pmatrix}$$

满秩。即：

$$rankQ_c=n$$

式（1）的系统能控的充分必要条件是 $n\times (n+r)矩阵[\lambda I-A|B]$ 对 $A$ 的所有特征值 $\lambda_i$之秩都是 $n$。即：

$$rank[\lambda_i I-A|B]=n ，（i=1,2,...,n）$$

• 式（1）系统的矩阵 $A$ 特征值 $\lambda_i（i=1,2,...,n）$ 互异，将系统经过非奇异线性变换成对角阵

$$\acute{\overline{x}} =\begin{pmatrix} \lambda_1 & & 0 & \\[2ex] & \lambda_2 & & \\[2ex] & & \ddots & \\[2ex] & 0 & & \lambda_n \\ \end{pmatrix}\overline{x}+\overline{B}u$$

则系统能控的充分必要条件是矩阵 $\overline{B}$ 不包含元素全为零的行。

• 式（1）系统的矩阵 $A$ 具有重特征值 $\lambda_1（l_1重），\lambda_2（l_2重）,...,\lambda_k（l_k重）$ ，且 $\sum_{i=1}^{k}l_i=n，\lambda_i\neq \lambda_j（i\neq j）$ 经过非奇异线性变换得到约当阵

$$\acute{\overline{x}} =\begin{pmatrix} J_1 & & 0 & \\[2ex] & J_2 & & \\[2ex] & & \ddots & \\[2ex] & 0 & & J_n \\ \end{pmatrix}\overline{x}+\overline{B}u， J_i =\begin{pmatrix} \lambda_1 & 1 & &0 & \\[2ex] & \lambda_2 & 1 & \\[2ex] & & \ddots & \ddots \\ & 0 & & & 1 \\ & & & & \lambda_n \\ \end{pmatrix}$$

则系统能控的充分必要条件为矩阵 $\overline{B}$ 中与每一个约当子块最下面一行对应的行的元不全为零。

2. 能观测性及其判据

2.1 能观测性定义

如果在有限时间区间 $[t_0,t_1]（t_0可为0，t_1>t_0）$ 内，通过观测 $y(t)$，能够唯一确定系统的初始状态 $x(t_0)$， 则称系统状态在 $t_0$ 是能观测的。

如果对于任意的初始状态都能观测，则称系统是状态完全能观测的，简称系统状态能观测或系统是能观测的。

2.2 能观测性判据

• 格拉姆矩阵法

对于式（2）的系统状态能观测的充分必要条件是矩阵 $W_0[0,t_1]$ 满秩 ，其中

$$W_0[0,t_1]=\int_{0}^{t_1}e^{A^Tt}C^TCe^{At}dt$$

• 若式（2）系统能观测，则 $mn\times n$ 能观测性矩阵

$$Q_0= \begin{pmatrix} C\\[2ex] CA\\ \vdots \\[2ex] CA^{n-1} \end{pmatrix}$$

满秩。即：

$$rankQ_0=n$$

• PHB判别法

式（2）的系统能观测的充分必要条件是 $(n+m)\times n矩阵$

$$\begin{pmatrix} C\\[2ex] \cdots \\[2ex] \lambda_iI-A \end{pmatrix}$$

对 $A$ 的所有特征值 $\lambda_i$之秩都是 $n$。

• 若式（2）系统的矩阵 $A$ 特征值 $\lambda_i（i=1,2,...,n）$ 互异，将系统经过非奇异线性变换成对角阵

$$\acute{\overline{x}} =\begin{pmatrix} \lambda_1 & & 0 & \\[2ex] & \lambda_2 & & \\[2ex] & & \ddots & \\[2ex] & 0 & & \lambda_n \\ \end{pmatrix}\overline{x}+\overline{B}u\\[2ex] y=\overline{C}\overline{x}$$

则系统能观测的充分必要条件是矩阵 $\overline{C}$ 不包含元素全为零的列。

• 式（1）系统的矩阵 $A$ 具有重特征值 $\lambda_1（l_1重），\lambda_2（l_2重）,...,\lambda_k（l_k重）$ ，且 $\sum_{i=1}^{k}l_i=n，\lambda_i\neq \lambda_j（i\neq j）$ 经过非奇异线性变换得到约当阵

$$\acute{\overline{x}} =\begin{pmatrix} J_1 & & 0 & \\[2ex] & J_2 & & \\[2ex] & & \ddots & \\[2ex] & 0 & & J_n \\ \end{pmatrix}\overline{x}+\overline{B}u， J_i =\begin{pmatrix} \lambda_1 & 1 & &0 & \\[2ex] & \lambda_2 & 1 & \\[2ex] & & \ddots & \ddots \\ & 0 & & & 1 \\ & & & & \lambda_n \\ \end{pmatrix} \\[2ex] y=\overline{C}\overline{x}$$

则系统能观测的充分必要条件为矩阵 $\overline{C}$ 中与每一个约当子块第一列对应的列，其元不全为零。

  本次的分享就到这里

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