现代控制理论基础丨线性控制系统的运动分析

Author：AXYZdong 自动化专业 工科男
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1. 线性定常系统非齐次状态方程的解

1.1 线性系统的运动规律

若线性定常系统的非齐次状态方程 $\acute{x}=Ax+Bu,$ 初始状态为 $x(t_0)$ 的解存在，则解形式如下：

$$x(t)=e^{A(t-t_0)}x(t_0)+\int_{t_0}^{t}e^{A(t-\tau)}Bu(\tau)d\tau \tag 1 \\[2ex] 或： x(t)=\phi (t-t_0)x(t_0)+\int_{t_0}^{t}\phi (t-\tau)Bu(\tau)d\tau$$

• $\phi (t-t_0)x(t_0)$ ：初始状态引起的响应，零输入响应——自由运动

• $\int_{t_0}^{t}\phi (t-\tau)Bu(\tau)d\tau$：输入引起的响应，零状态响应——强迫运动

当 $t_0=0$ 时，

$$x(t)=\phi (t)x(0)+\int_{0}^{t}\phi (t-\tau)Bu(\tau)d\tau\\[2ex]$$

如果系统的输出方程为：

$$y(t)=Cx(t)+Du(t)$$

将式（1）代入上式得：

$$y(t)=Ce^{A(t-t_0)}x(t_0)+C\int_{t_0}^{t}e^{A(t-\tau)}Bu(\tau)d\tau+Du(t)$$

说明：与线性定常系统齐次状态方程的解不同，齐次状态方程的解仅由初始状态引起的响应组成。

例：设系统状态方程为：

$$令： \begin{cases} \acute{x_1}=x_2 \\[2ex] \acute{x_2}=-x_1-2x_2+u \end{cases}$$

试求当 $u(t)=\sin t+\cos t$ 时非齐次方程的解，且已知

$$\begin{pmatrix} x_1(0 )\\[2ex] x_2(0)\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\[2ex] 0\\ \end{pmatrix}$$

输出方程为： $y=x_1$

解：

$$A= \begin{pmatrix} 0 &1\\[2ex] -1 & -2\\ \end{pmatrix}， B = \begin{pmatrix} 0\\[2ex] 1\\ \end{pmatrix}， C= \begin{pmatrix} 1 &0\\ \end{pmatrix}$$

1. 求 $\phi (t)$

$$\phi(t)= \begin{pmatrix} (1+t)e^{-t} & te^{-t}\\[2ex] -te^{-t} & (1-t)e^{-t}\\ \end{pmatrix}$$

$$y=CX\\[2ex] =C\phi(t)x(0)+C\int^{t}_{0}\phi (t-\tau)Bu(\tau)d\tau\\[2ex] =(1+t)e^{-t}+\int^{t}_{0}(t-\tau)e^{-(t-\tau)}(\sin t+\cos t)d\tau\\[2ex] \implies y(t)=\frac{3}{2}e^{-t}+te^{-t}+\frac{1}{2}\sin t-\frac{1}{2}\cos t$$

1.2 特定输入下的状态响应

• [ ] 脉冲响应

$$当u(t)=K\delta(t)，x(0)=x_0时，\\[2ex] x(t)=e^{At}x_0+e^{At}BK$$

• [ ] 阶跃响应

$$当u(t)=K\cdot 1(t)，x(0)=x_0时，\\[2ex] x(t)=e^{At}x_0+A^{-1}(e^{At}-I)BK$$

• [ ] 斜坡响应

$$当u(t)=Kt\cdot 1(t)，x(0)=x_0时，\\[2ex] x(t)=e^{At}x_0+[A^{-2}(e^{At}-I)-A^{-1}t]BK$$

2. 线性时变系统的运动分析

线性时变系统方程为：

$$\begin{cases} \acute{x}(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)\\[2ex] y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t)\tag 2 \end{cases}$$

如果 $A(t)、B(t)、C(t)$ 的所有元素在时间区间上 $[t_0,\infty]$ 均是连续函数，则对于任意的初始状态 $x(t_0)$ 和输入向量 $u(t)$ ，系统状态方程的解存在并且唯一。

2.1 齐次状态方程的解

$$\acute{x}(t)=A(t)x(t)\\[2ex] 初始状态为x(t_0)，其解为：x(t)=\phi(t,t_0)x(t_0)$$

2.2 状态转移矩阵的计算

线性时变系统的状态转移矩阵 $\phi(t,t_0)$ 既是时间 $t$ 的函数，又是初始时刻 $t_0$ 的函数。 一般用级数近似法计算。

$$\phi(t,t_0)=I+\int_{t_0}^{t}A(\tau_0)d\tau_0+\int^{t}_{t_0}A(\tau_0)\int_{t_0}^{\tau_0}A(\tau_1)d\tau_1d\tau_0+\int^{t}_{t_0}A(\tau_0)\int_{t_0}^{\tau_0}A(\tau_1)\int_{t_0}^{\tau_1}A(\tau_2)d\tau_2d\tau_1d\tau_0+...$$

2.3 线性时变非齐次状态方程的解

将（2）中的状态方程重写为：

$$\begin{cases} \acute{x}(t)=A(t)x+B(t)u\\[2ex] x(t)|_{t=t_0}=x(t_0) \end{cases}$$

其解为：

$$x(t)=\phi (t,t_0)x(t_0)+\int_{t_0}^{t}\phi (t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau\\[2ex] x(t)=\phi (t,t_0)[x(t_0)+\int_{t_0}^{t}\phi (t_0,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau]$$

2.4 系统输出

对于系统方程（2）描述的线性时变系统，其输出为：

$$y(t)=C(t)\phi(t,t_0)x(t_0)+C(t)\int_{t_0}^{t}\phi(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau+D(t)u(t)$$

3. 线性定常系统的离散化

线性定常系统：

$$\begin{cases} \acute{x}=Ax+Bu\\[2ex] y=Cx+Du \end{cases}$$

离散化后系统方程为：

$$\begin{cases} x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)\\[2ex] y(k)=Cx(k)+Du(k) \end{cases}\\[3ex] 式中： \begin{cases} G= e^{AT}\\[2ex] H=[\int_{0}^{T}e^{A\tau}d\tau]B\\[2ex] C=C\\[2ex] D=D \end{cases}$$

• 先求 $e^{At}$ ，再求 $e^{AT}$ 。其中 $e^{At}$ 可利用【定义法】、【拉普拉斯变换法】、【凯莱-哈密顿定理】或【线性变换法】求出。

参考文献

[1]：刘豹，唐万生. 现代控制理论[M]. 北京：机械工业出版社，2006.7
[2]：王孝武. 现代控制理论基础[M]. 3版 北京：机械工业出版社，2013.7

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