现代控制理论基础丨状态转移矩阵

Author：AXYZdong 自动化专业 工科男
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1. 线性定常系统齐次状态方程的解

• 线性定常系统的运动

1. 自由运动：线性定常系统在没有控制的作用，即 $u=0$ 时，由初始状态引起的运动称自由运动。
   齐次状态方程的解： $\acute{x}=Ax，x(t)|_{t=0}=x(0)$
2. 强迫运动：线性定常系统在控制 $u$ 作用下的运动，称为强迫运动。
   非齐次状态方程的解： $\acute{x}=Ax+Bu，x(t)|_{t=0}=x(t_0)$

• 齐次状态方程： $\acute{x}=Ax$
  满足初始状态 $x(t)|_{t=0}=x(t_0)$ 的解是：

$$x(t)=e^{A(t-t_0)}x(t_0),t\geq t_0$$

满足初始状态 $x(t)|_{t=0}=x(0)$ 的解是：

$$x(t)=e^{At}x(0),t\geq 0$$

2. 状态转移矩阵

2.1 状态转移矩阵的含义

已知线性定常系统的齐次状态方程： $\acute{x}=Ax$

满足初始状态 $x(t)|_{t=0}=x(0)$ 的解是：

$$x(t)=e^{At}x(0),t\geq 0$$

满足初始状态 $x(t)|_{t=0}=x(t_0)$ 的解是：

$$x(t)=e^{A(t-t_0)}x(t_0),t\geq t_0$$

$$令： \begin{cases} e^{At}=\phi (t) \\[2ex] e^{A(t-t_0)}=\phi (t-t_0) \end{cases}，则有： \begin{cases} x(t)=\phi (t)x(0) \\[2ex] x(t)=\phi (t-t_0)x(t_0) \end{cases}$$

说明：

1、状态转移矩阵必须满足以下两个条件

2. [ ] 状态转移矩阵初始条件： $\phi (t-t_0)=I$
3. [ ] 状态方程本身： $\phi (t-t_0)=A\phi (t-t_0)$

2、对于线性定常系统来说，状态转移矩阵就是矩阵指数函数本身

3、状态转移矩阵的物理意义：从时间角度看，状态转移矩阵使状态向量随着时间的推移不断地作坐标变换，不断地在状态空间中作转移，故称为状态转移矩阵。

2.2 状态转移矩阵的基本性质

1. 不发生时间推移下的不变性

$$e^{A(t-t_0)}=e^{A0}=I$$

2. 传递性（组合性）

$$\phi (t_2-t_0)=\phi (t_2-t_1)\phi (t_1-t_0)$$

3. 可逆性

$e^{At}$ 总是非奇异的，必有逆存在，且： $(e^{At})^{-1}=e^{-At}$

4. 分解性

设 $A$ 为 $n\times n$ 阶矩阵 ， $t_1$ 、 $t_2$ 为两个独立自变量，则有：

$$e^{A(t_1+t_2)}=e^{At_1}e^{At_2}$$

5. 倍时性

$$[\phi(t)]^k=\phi (kt)$$

6. 微分性和交换性：

2.3 几个特殊的矩阵指数函数

• 若 $A$ 为对角线矩阵，即
  
  则：
• 若 $A$ 能够通过非奇异变换予以对角线化，即

$$T^{-1}AT=A$$

则：

• 若 $A$ 为约旦阵
  
  则：

2.4 $\phi(t)$ 或 $e^{At}$ 的计算

• 根据 $\phi(t)$ 或 $e^{At}$ 的定义直接计算
• 变为 $A$ 约旦标准型
• 利用拉氏反变换法求 $e^{At}$
• 应用凯莱–哈密顿定理求 $e^{At}$

  本次的分享就到这里

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