现代控制理论基础丨传递函数阵和状态矢量的线性变换

Author：AXYZdong 自动化专业 工科男
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1. 由状态空间表达式求传递函数阵

$$状态空间描述： \begin{cases} \acute{x}=Ax+Bu\\[2ex] y=Cx+Du \end{cases}$$

根据传递函数定义，对上式进行拉氏变换，并令 $x(0)=x_0=0$ ，得：

$$\begin{cases} sX(s)=AX(s)+BU(s)\\[2ex] Y(s)=CX(s)+DU(s) \end{cases}$$

整理上式得：

$$Y(s)=[C(sI-A)^{-1}B+D]U(s)$$

定义传递函数矩阵：

$$W(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=C(sI-A)^{-1}B+D =\begin{pmatrix} W_{11} & W_{12} & \cdots & W_{1r} \\ W_{21} & W_{22} & \cdots & W_{2r} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ W_{m1} & W_{m2} & \cdots & W_{mr} \\ \end{pmatrix}$$

说明：

• $dim(W(s))=m\times r，其中 dim(\cdot) 表示的 \cdot 维数\\[2ex]$
• $W_{ij}=\frac{Y_i(s)}{U_j(s)}，它表征第 j 个输入对第 i 个输出的传递关系。\\[2ex]$
• $同一系统，不同的状态空间表达式对应的W(s)是相同的。$

2 状态矢量的线性变换

2.1 系统状态空间表达式的非唯一性

对于一个给定的定常系统，可以选取许多种状态变量，相应地有许多种状态空间表达式描述同一系统，也就是说系统可以有多种结构形式。所选取的状态矢量之间，实际上是一种矢量的线性变换（或称坐标变换)。

$$设给定系统为： \begin{cases} \acute{x}=Ax+Bu，x(0)=x_0\\[2ex] y=Cx+Du \end{cases}\tag{12}$$

可以找到任意一个非奇异矩阵 $T$ ，将原状态矢量 $x$，作线性变换，得到另一状态矢量 $z$，设变换关系为：

$$x=Tz，即：z=T^{-1}x$$

代入式（12），得到新的状态空间表达式：

$$\begin{cases} \acute{z}=T^{-1}ATz+T^{-1}Bu，z(0)=T^{-1}x(0)=T^{-1}x_0\\[2ex] y=CTz+Du \end{cases}$$

由于 $T$ 为非奇异矩阵，故状态空间表达式为非唯一的。通常称 $T$ 为变换矩阵。

2.2 系统特征值的不变性及系统的不变量

• 系统特征值

$$\begin{cases} \acute{x}=Ax+Bu\\[2ex] y=Cx+Du \end{cases}$$

系统特征值就是系统矩阵 $A$ 的特征值，也即特征方程：

$$|\lambda I-A|=0 \tag{13}$$

的根。

• 系统的不变量与特征值的不变性
  同一系统，经非奇异变换后，得：

$$\begin{cases} \acute{z}=T^{-1}ATz+T^{-1}Bu，\\[2ex] y=CTz+Du \end{cases}$$

其特征方程为：

$$|\lambda I-T^{-1}AT|=0\tag{14}$$

式（13）与式（14）形式虽然不同，但实际是相等的，即系统的非奇异变换，其特征值是不变的。

• 特征矢量
  对于系统矩阵 $A$ ，若存在一非零向量 $p$ ，使得 $Ap=\lambda p$，则称 $p$ 为系统矩阵 $A$ 对应于特征值 $\lambda$ 的特征矢量。

2.3 状态空间表达式变换为约旦标准型

$$\acute{x}=Ax+Bu，y=Cx\\[2ex] 变换为：\acute{z}=Jz+T^{-1}Bu，y=CTx$$

根据系统矩阵 $A$ ，求其特征值，可以直接写出系统的约旦标准型矩阵 $J$ ：

• 无重根时

• 有重根时（ $q个重根\lambda_1$）

  本次的分享就到这里

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