现代控制理论基础丨状态空间描述

Author：AXYZdong 自动化专业 工科男
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1. 状态空间描述的建立

1.1 由系统框图建立空间状态描述

由图可知：

$$状态方程： \begin{cases} \acute{x_1}=\frac{K_3}{T_3}x_2\\[2ex] \acute{x_2}=-\frac{1}{T_2}x_2+\frac{K_2}{T_2}x_3\\[2ex] \acute{x_3}=-\frac{1}{T_1}x_3-\frac{K_1K_4}{T_1}x_1+\frac{K_1}{T_1}u\\ \end{cases}\\[2ex] 输出方程：y=x_1$$

写成矢量矩阵形式：

$$\acute{x} = \begin{pmatrix} 0 & \large\frac{K_3}{T_3} & 0\\[2ex] 0 & \large-\frac{1}{T_2} & \large\frac{K_2}{T_2}\\[2ex] \large-\frac{K_1K_4}{T_1} & 0 & \large-\frac{1}{T_1} \\ \end{pmatrix} x + \begin{pmatrix} 0\\[2ex] 0\\[2ex] \large\frac{K_1}{T_1}\\ \end{pmatrix}u \\[2ex] y= \begin{pmatrix} 1 ， 0， 0 \end{pmatrix}x_1$$

注：带零点环节的处理方法

1. 先展开部分分式
2. 得到等效方块图
3. 再变换成模拟结构图

$$\frac{s+z}{s+p}=1+\frac{z-p}{s+p}$$

1.2 由系统机理建立空间状态描述

步骤：

1. 根据系统机理建立微分方程或者差分方程
2. 选择有关的物理量作为状态变量
3. 导出状态空间表达式

例：电网络如图所示，输入量为电流源，并指定电容 $C_1$ 和 $C_2$ 上的电压作为输出，求此网络的状态空间表达式。
解：从节点 $a、b、c$ ，按基尔霍夫电流定律列出电流方程：

$$\begin{cases} i+i_3+i_1-C_2\acute{u_{c2}}=0\\[2ex] C_1\acute{u_{c1}}+i_1+i_2=0\\[2ex] C_2\acute{u_{c2}}+i_2-i_4=0\\ \end{cases}$$

选取状态变量：

$$x=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\\ x_3 \\ x_4 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_{c_1} \\ u_{c_2}\\ i_1 \\ i_2 \\ \end{pmatrix}$$

上述电流方程则变为：

$$\begin{cases} i+i_3+x_3-C_2\acute{x_2}=0\\[2ex] C_1\acute{x_1}+x_3+x_4=0\\[2ex] C_2\acute{x_2}+x_4-i_4=0\\ \end{cases}\tag7$$

从回路 $l_1、l_2、l_3$ ，按基尔霍夫电压定律列出电压方程：

$$\begin{cases} -L_1\acute{x_3}+x_1+R_1i_3=0\\[2ex] -x_1+L_2\acute{x_4}+R_2i_4=0\\[2ex] x_2-L_2\acute{x_4}+L_1\acute{x_3}=0\\ \end{cases}\tag8$$

（7）和（8）式联立消去独立变量 $i_3、i_4$ 得：

$$\begin{cases} \acute{x_1}=-\frac{1}{C_1}x_3-\frac{1}{C_1}x_4\\[2ex] R_1C_2\acute{x_2}-L_1\acute{x_3}=-x_1+R_1x_3+R_1i\\[2ex] R_2C_2\acute{x_2}+L_2\acute{x_4}=x_1-R_2x_4\\[2ex] -L\acute{x_3}+L_2\acute{x_4}=x_2 \end{cases}\tag9$$

（9）式解出 $\acute{x_1}、\acute{x_2}、\acute{x_3}、\acute{x_4}$，得到状态空间表达式：

2. 化输入-输出描述为状态空间描述及其几种标准形式

2.1 传递函数没有零点的实现

系统微分方程为：

$$y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+...+a_1\acute{y}+a_0y=b_0u(t)$$

相应系统传递函数：

$$W(s)=\frac{b_0}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_1s+a_0}$$

可选取一组状态变量：

$$\acute{x_1}=x_2\\[2ex] \acute{x_2}=x_3\\ \vdots \\ \acute{x_{n-1}}=x_n\\[2ex] \acute{x_n}=-a_0x_1-a_1x_2-...-a_{n-2}x_{n-1}-a_{n-1}x_n+u$$

输出方程：$$y=b_0x_1$$
表示成矩阵形式：

$$\begin{pmatrix} \acute{x_1} \\[2ex] \acute{x_2}\\[2ex] \vdots \\[2ex] \acute{x_{n-1}} \\[2ex] \acute{x_n} \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 &\cdots & 0 \\[2ex] 0 & 0 & 1 &\cdots & 0 \\[2ex] \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[2ex] 0 & 0 & 0 &\cdots & 1 \\[2ex] -a_{0} & -a_{1} & -a_2 & \cdots & -a_{n-1} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\[2ex] x_2\\[2ex] \vdots \\[2ex] x_{n-1}\\[2ex] x_n \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\[2ex] 0\\[2ex] \vdots \\[2ex] 0\\[2ex] 1 \\ \end{pmatrix}u\tag{10}$$

$$\acute{x}=Ax+bu\\[2ex] y=\begin{pmatrix} b_0，0 ， 0，\cdots， 0 \end{pmatrix}x_1 \\[2ex]$$

$$当矩阵 A 具有A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 &\cdots & 0 \\[2ex] 0 & 0 & 1 &\cdots & 0 \\[2ex] \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[2ex] 0 & 0 & 0 &\cdots & 1 \\[2ex] -a_{0} & -a_{1} & -a_2 & \cdots & -a_{n-1} \\ \end{pmatrix}时，称为友矩阵。$$

友矩阵的特点为：

• 主对角线上方元素均为1
• 最后一行的元素可去任意值
• 其余元素均为0

2.2 传递函数有零点的实现

系统微分方程为：

$$y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+...+a_1\acute{y}+a_0y=b_mu^{(m)}+b_{m-1}u^{(m-1)}+...+b_1\acute{u+}b_0u$$

相应系统传递函数：

$$W(s)=\frac{b_ms^m+b_{m-1}s^{m-1}+...+b_1s+b_0}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_1s+a_0}，m\leq n$$

在这种包含有输人函数导数情况下的实现问题，与前述实现的不同点主要在于选取合适的结构，使得状态方程中不包含输入函数的导数项，否则将给求解和物理实现带来麻烦。

为了说明方便，又不失一般性，这里先从三阶微分方程出发，找出其实现规律，然后推广到 n 阶系统。

设系统传递函数：

$$W(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{b_3s^3+b_{2}s^{2}+b_1s+b_0}{s^3+a_{2}s^{2} +a_1s+a_0}，m=n=3$$

上式可变换为：

$$W(s)=b_3+\frac{(b_2-a_2b_3)s^2+(b_1-a_1b_3)s+(b_0-a_0b_3)}{s^3+a_{2}s^{2} +a_1s+a_0}，m=n=3\\[3ex] 令：Y_1(s)=\frac{1}{s^3+a_{2}s^{2} +a_1s+a_0}U(s)\\[2ex] 则：Y(s)=b_3U(s)+Y_1(s)[(b_2-a_2b_3)s^2+(b_1-a_1b_3)s+(b_0-a_0b_3)]\\[2ex] 对上式求拉式反变换，可得：\\[2ex] y=b_3u+(b_2-a_2b_3)y^{(2)}_1+(b_1-a_1b_3)\acute{y_1}+(b_0-a_0b_3)y_1$$

可得系统模拟结构图：

选取状态变量：

$$\acute{x_1}=x_2\\[2ex] \acute{x_2}=x_3\\[2ex] \acute{x_3}=-a_0x_1-a_1x_2-a_{2}x_{3}+u\\[2ex] y=b_3u+(b_2-a_2b_3)x_3+(b_1-a_1b_3)x_2+(b_0-a_0b_3)x_1$$

表示成矩阵形式：

$$\begin{pmatrix} \acute{x_1} \\[2ex] \acute{x_2}\\[2ex] \acute{x_3} \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\[2ex] 0 & 0 & 1 \\[2ex] -a_{0} & -a_{1} & -a_2 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\[2ex] x_2\\[2ex] x_3 \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\[2ex] 0\\[2ex] 1 \\ \end{pmatrix}u\tag{11}$$

$$y=\begin{pmatrix} (b_0-a_0b_3)，(b_1-a_1b_3)，(b_2-a_2b_3) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\[2ex] x_2\\[2ex] x_3 \\ \end{pmatrix}+b_3u \\[2ex]$$

推广到 n 阶系统

$$\begin{pmatrix} \acute{x_1} \\[2ex] \acute{x_2}\\[2ex] \vdots \\[2ex] \acute{x_{n-1}} \\[2ex] \acute{x_n} \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 &\cdots & 0 \\[2ex] 0 & 0 & 1 &\cdots & 0 \\[2ex] \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[2ex] 0 & 0 & 0 &\cdots & 1 \\[2ex] -a_{0} & -a_{1} & -a_2 & \cdots & -a_{n-1} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\[2ex] x_2\\[2ex] \vdots \\[2ex] x_{n-1}\\[2ex] x_n \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\[2ex] 0\\[2ex] \vdots \\[2ex] 0\\[2ex] 1 \\ \end{pmatrix}u\\[3ex] y=\begin{pmatrix} (b_0-a_0b_n)，(b_1-a_1b_n)，...，(b_{n-1}-a_{n-1}b_n) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\\ \vdots \\ x_{n-1}\\ x_n \\ \end{pmatrix}+b_nu \\[2ex]$$

  本次的分享就到这里

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